Страница 224 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

777. Ищем информацию. Используя учебник, справочную литературу и Интернет, подготовьте сообщение:

а) о Л. Ф. Магницком и его «Арифметике»;

б) о способах решения линейных диофантовых уравнений.

a) о Л. Ф. Магницком и его «Арифметике»;

Леонтий Филиппович Магницкий (1669–1739) — выдающийся русский математик и педагог, сыгравший ключевую роль в становлении российского образования в эпоху Петра I. Его настоящая фамилия, предположительно, Телятин. Прозвище «Магницкий» было дано ему Петром Великим, который, восхищенный знаниями молодого человека, сравнил его способность притягивать к себе учеников, словно магнит.

Магницкий был одним из первых преподавателей Школы математических и навигацких наук в Москве, основанной в 1701 году. В этой школе он проработал почти всю свою жизнь, обучая будущих морских офицеров, инженеров, геодезистов и государственных служащих.

Главным трудом жизни Л. Ф. Магницкого стала его знаменитая «Арифметика, сиречь наука числительная…», изданная в 1703 году. Эта книга стала первым в России печатным учебником по математике. Однако по своему содержанию она была гораздо шире, чем просто учебник арифметики. Это была настоящая математическая энциклопедия своего времени. Помимо арифметических действий с целыми и дробными числами, в ней излагались основы алгебры, геометрии, тригонометрии, а также содержались практические разделы, посвященные навигации, геодезии, торговому делу и артиллерии.

Книга была написана живым и понятным языком, содержала множество задач с подробными решениями и пояснениями. Материал излагался систематически, от простого к сложному. «Арифметика» Магницкого на протяжении более полувека оставалась основным учебным пособием по математике в России. Великий русский ученый М. В. Ломоносов называл «Арифметику» Магницкого и «Грамматику» Смотрицкого «вратами своей учености». Таким образом, труд Магницкого заложил фундамент для развития точных наук и инженерного образования в России.

Ответ:

б) о способах решения линейных диофантовых уравнений.

Линейным диофантовым уравнением с двумя переменными называется уравнение вида $ax + by = c$, где $a, b, c$ — заданные целые числа, а $x, y$ — неизвестные, целочисленные решения которых требуется найти.

Основная теорема, касающаяся таких уравнений, гласит: уравнение $ax + by = c$ имеет решения в целых числах тогда и только тогда, когда число $c$ делится нацело на наибольший общий делитель (НОД) чисел $a$ и $b$. То есть, $c \vdots \text{НОД}(a, b)$. Если это условие не выполняется, уравнение не имеет целочисленных решений.

Основной метод решения линейных диофантовых уравнений — это использование расширенного алгоритма Евклида. Процесс решения можно разбить на несколько шагов:

Шаг 1: Проверка разрешимости. С помощью алгоритма Евклида находится $d = \text{НОД}(a, b)$. Затем проверяется, делится ли $c$ на $d$. Если нет, решений в целых числах нет. Если да, переходим к следующему шагу.

Шаг 2: Нахождение частного решения. С помощью расширенного алгоритма Евклида (двигаясь в обратном порядке по шагам обычного алгоритма Евклида) находят такие целые числа $x'$ и $y'$, что $ax' + by' = d$. Получив это равенство, мы нашли частное решение $(x', y')$ для уравнения $ax + by = d$. Чтобы найти частное решение $(x_0, y_0)$ для исходного уравнения $ax + by = c$, нужно домножить $x'$ и $y'$ на коэффициент $k = c/d$. Таким образом, частное решение будет: $x_0 = x' \cdot \frac{c}{d}$ и $y_0 = y' \cdot \frac{c}{d}$.

Шаг 3: Запись общего решения. Зная одно частное решение $(x_0, y_0)$, можно записать формулы для всех целочисленных решений уравнения. Общее решение имеет вид:

$x = x_0 + \frac{b}{d} \cdot t$

$y = y_0 - \frac{a}{d} \cdot t$

где $t$ — любое целое число ($t \in \mathbb{Z}$).

Пример: Решим уравнение $54x + 20y = 14$.

1. Найдем $\text{НОД}(54, 20)$ с помощью алгоритма Евклида:

$54 = 2 \cdot 20 + 14$

$20 = 1 \cdot 14 + 6$

$14 = 2 \cdot 6 + 2$

$6 = 3 \cdot 2 + 0$

Следовательно, $d = \text{НОД}(54, 20) = 2$. Проверяем условие: $c=14$, $14 \vdots 2$. Условие выполняется, значит, решения существуют.

2. Найдем частное решение. Выразим $d=2$ через $54$ и $20$, используя шаги алгоритма Евклида в обратном порядке:

Из предпоследней строки: $2 = 14 - 2 \cdot 6$

Из строки выше: $6 = 20 - 1 \cdot 14$. Подставим это в выражение для $2$:

$2 = 14 - 2 \cdot (20 - 1 \cdot 14) = 14 - 2 \cdot 20 + 2 \cdot 14 = 3 \cdot 14 - 2 \cdot 20$

Из самой первой строки: $14 = 54 - 2 \cdot 20$. Подставим это в последнее выражение:

$2 = 3 \cdot (54 - 2 \cdot 20) - 2 \cdot 20 = 3 \cdot 54 - 6 \cdot 20 - 2 \cdot 20 = 3 \cdot 54 - 8 \cdot 20$

Мы получили равенство $54 \cdot (3) + 20 \cdot (-8) = 2$. Это частное решение $(x'=3, y'=-8)$ для уравнения $54x+20y=2$.

Для нашего уравнения $54x + 20y = 14$, коэффициент $k = c/d = 14/2 = 7$.

Частное решение $(x_0, y_0)$ для исходного уравнения: $x_0 = x' \cdot 7 = 3 \cdot 7 = 21$, $y_0 = y' \cdot 7 = -8 \cdot 7 = -56$.

Проверка: $54 \cdot 21 + 20 \cdot (-56) = 1134 - 1120 = 14$. Верно.

3. Запишем общее решение, используя $d=2$:

$x = x_0 + \frac{b}{d} t = 21 + \frac{20}{2} t = 21 + 10t$

$y = y_0 - \frac{a}{d} t = -56 - \frac{54}{2} t = -56 - 27t$

Общее решение: $(x, y) = (21 + 10t, -56 - 27t)$, где $t \in \mathbb{Z}$.

Ответ: