Страница 227 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

800. Вычислите:

а) $3 - 2;$

б) $-3 - 2;$

в) $-6 + 5;$

г) $2 - 7;$

д) $5 - 2 - 3;$

е) $4 + 1 - 8;$

ж) $-2 - 2 + 5;$

з) $-4 - 1 - 5;$

и) $-4 + 5 + 2;$

к) $4 + 2 - 9 - 1;$

л) $2 - 5 - 6 + 1;$

м) $-3 - 5 - 4 + 7.$

а) Выполним вычитание двух положительных чисел:

$3 - 2 = 1$

Ответ: 1

б) Вычитание числа 2 из -3 эквивалентно сложению двух отрицательных чисел -3 и -2. Складываем их модули и ставим знак минус:

$-3 - 2 = -(3 + 2) = -5$

Ответ: -5

в) Складываем числа с разными знаками. Из большего модуля вычитаем меньший и ставим знак числа с большим модулем (в данном случае, знак минус от числа -6):

$-6 + 5 = -(6 - 5) = -1$

Ответ: -1

г) Вычитаем из меньшего числа большее. Результат будет отрицательным. Из большего модуля вычитаем меньший:

$2 - 7 = -(7 - 2) = -5$

Ответ: -5

д) Выполняем действия последовательно слева направо:

$5 - 2 - 3 = (5 - 2) - 3 = 3 - 3 = 0$

Ответ: 0

е) Выполняем действия последовательно слева направо:

$4 + 1 - 8 = (4 + 1) - 8 = 5 - 8 = -3$

Ответ: -3

ж) Выполняем действия последовательно слева направо:

$-2 - 2 + 5 = (-2 - 2) + 5 = -4 + 5 = 1$

Ответ: 1

з) Складываем три отрицательных числа. Складываем их модули и ставим знак минус:

$-4 - 1 - 5 = -(4 + 1 + 5) = -10$

Ответ: -10

и) Выполняем действия последовательно слева направо:

$-4 + 5 + 2 = (-4 + 5) + 2 = 1 + 2 = 3$

Ответ: 3

к) Сгруппируем положительные и отрицательные слагаемые для удобства:

$4 + 2 - 9 - 1 = (4 + 2) - (9 + 1) = 6 - 10 = -4$

Ответ: -4

л) Сгруппируем положительные и отрицательные слагаемые для удобства:

$2 - 5 - 6 + 1 = (2 + 1) - (5 + 6) = 3 - 11 = -8$

Ответ: -8

м) Сгруппируем положительные и отрицательные слагаемые для удобства:

$-3 - 5 - 4 + 7 = 7 - (3 + 5 + 4) = 7 - 12 = -5$

Ответ: -5

801. Вычислите:

a) $100 + 99 + 98 + 97 + 96 + \dots - 96 - 97 - 98 - 99 - 100;$

б) $100 \cdot 99 \cdot 98 \cdot 97 \cdot 96 \cdot \dots \cdot (-96) \cdot (-97) \cdot (-98) \cdot (-99) \cdot (-100).$

а) Данное выражение представляет собой сумму целых чисел. Запись $100 + 99 + 98 + 97 + 96 + \dots - 96 - 97 - 98 - 99 - 100$ можно понимать как сумму всех целых чисел от $-100$ до $100$. Многоточие (...) между $+96$ и $-96$ подразумевает, что в сумму включены все целые числа между ними, то есть $95, 94, \dots, 1, 0, -1, \dots, -95$.

Таким образом, мы вычисляем сумму: $S = 100 + 99 + \dots + 1 + 0 + (-1) + \dots + (-99) + (-100)$.

Для вычисления этой суммы сгруппируем слагаемые в пары противоположных по знаку чисел:

$S = (100 - 100) + (99 - 99) + (98 - 98) + \dots + (1 - 1) + 0$

Сумма каждой такой пары равна нулю:

$100 - 100 = 0$

$99 - 99 = 0$

... и так далее до

$1 - 1 = 0$

В результате все слагаемые, кроме нуля, взаимно уничтожаются. Итоговая сумма представляет собой сумму нулей, что равно нулю.

$S = 0 + 0 + \dots + 0 + 0 = 0$

Ответ: 0

б) Данное выражение представляет собой произведение целых чисел. Запись $100 \cdot 99 \cdot 98 \cdot 97 \cdot 96 \cdot \dots \cdot (-96) \cdot (-97) \cdot (-98) \cdot (-99) \cdot (-100)$ означает произведение всех целых чисел от $100$ до $-100$.

Многоточие (...) между $96$ и $(-96)$ подразумевает, что в произведение включены все целые числа между ними, то есть $95, 94, \dots, 1, 0, -1, \dots, -95$.

Таким образом, полное произведение выглядит так:

$P = 100 \cdot 99 \cdot 98 \cdot \dots \cdot 2 \cdot 1 \cdot 0 \cdot (-1) \cdot (-2) \cdot \dots \cdot (-99) \cdot (-100)$

В этой последовательности множителей присутствует число 0. Согласно свойству умножения, произведение любого набора чисел, в котором есть множитель, равный нулю, равно нулю.

То есть, $P = (100 \cdot 99 \cdot \dots \cdot 1) \cdot 0 \cdot ((-1) \cdot (-2) \cdot \dots \cdot (-100)) = 0$.

Ответ: 0

802. Найдите значение выражения:

а) $|-2|+|-1|;$

б) $|7|-|-11|;$

в) $|5-7|;$

г) $7-|-5-67|.$

а) Чтобы найти значение выражения $|-2| + |-1|$, сначала найдем значение каждого модуля по отдельности.

Модуль числа — это расстояние от этого числа до нуля на координатной прямой, поэтому модуль любого числа является неотрицательной величиной. Модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу, а модуль положительного числа или нуля равен самому числу.

Вычисляем модули:

$|-2| = 2$

$|-1| = 1$

Теперь складываем полученные значения:

$|-2| + |-1| = 2 + 1 = 3$

Ответ: 3

б) Чтобы найти значение выражения $|7| - |-11|$, сначала найдем значение каждого модуля.

Вычисляем модули:

$|7| = 7$

$|-11| = 11$

Теперь выполняем вычитание:

$|7| - |-11| = 7 - 11 = -4$

Ответ: -4

в) Чтобы найти значение выражения $|5 - 7|$, сначала выполним действие внутри знака модуля.

Выполняем вычитание внутри модуля:

$5 - 7 = -2$

Теперь находим модуль полученного результата:

$|-2| = 2$

Ответ: 2

г) Чтобы найти значение выражения $7 - |-5 - 67|$, сначала выполним действие внутри знака модуля.

Выполняем сложение отрицательных чисел внутри модуля:

$-5 - 67 = -72$

Теперь находим модуль полученного результата:

$|-72| = 72$

Подставляем найденное значение обратно в выражение и выполняем вычитание:

$7 - |-72| = 7 - 72 = -65$

Ответ: -65

Вычислите (803–804):

803. а) $(-2)^2$; $(-2)^3$; $(-2)^4$; $(-2)^5$;

б) $-3^4$; $(-7)^2$; $0^{10}$; $(-1)^5$; $-1^3$;

в) $(-1)^{11} - (-1)^{11}$;

г) $(-1)^4 - (-1)^3 - (-1)^2;

д) $(-2)^5 - (-3)^3;

е) $(-1)^2 + (-1)^3 + (-1)^4.

а)
Для вычисления степеней отрицательного числа важно помнить правило: отрицательное число, возведенное в четную степень, дает положительный результат, а возведенное в нечетную степень — отрицательный.
$(-2)^2 = (-2) \cdot (-2) = 4$
$(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8$
$(-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 16$
$(-2)^5 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -32$
Ответ: 4; -8; 16; -32.

б)
В этих примерах важно различать выражения вида $(-a)^n$ и $-a^n$. В первом случае в степень возводится отрицательное число $-a$ (вместе со знаком), а во втором — только число $a$, и перед результатом ставится знак минус.
$-3^4 = -(3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3) = -81$ (степень относится только к числу 3)
$(-7)^2 = (-7) \cdot (-7) = 49$ (в степень возводится число -7)
$0^{10} = 0$ (ноль в любой положительной степени равен нулю)
$(-1)^5 = -1$ (число -1 в нечетной степени равно -1)
$-1^3 = -(1 \cdot 1 \cdot 1) = -1$ (степень относится только к числу 1)
Ответ: -81; 49; 0; -1; -1.

в)
Вычислим значение $(-1)^{11}$. Так как показатель степени 11 является нечетным числом, результат будет отрицательным: $(-1)^{11} = -1$.
Подставим это значение в исходное выражение:
$(-1)^{11} - (-1)^{11} = -1 - (-1) = -1 + 1 = 0$
Ответ: 0.

г)
Сначала вычислим каждую степень по отдельности, помня, что -1 в четной степени равно 1, а в нечетной -1:
$(-1)^4 = 1$ (показатель 4 — четный)
$(-1)^3 = -1$ (показатель 3 — нечетный)
$(-1)^2 = 1$ (показатель 2 — четный)
Теперь подставим полученные значения в выражение и вычислим результат:
$(-1)^4 - (-1)^3 - (-1)^2 = 1 - (-1) - 1 = 1 + 1 - 1 = 1$
Ответ: 1.

д)
Вычислим значение каждой степени в выражении:
$(-2)^5 = -32$ (основание отрицательное, показатель 5 — нечетный)
$(-3)^3 = -27$ (основание отрицательное, показатель 3 — нечетный)
Подставим значения в выражение и выполним вычитание:
$(-2)^5 - (-3)^3 = -32 - (-27) = -32 + 27 = -5$
Ответ: -5.

е)
Вычислим значение каждой степени, входящей в сумму:
$(-1)^2 = 1$ (показатель 2 — четный)
$(-1)^3 = -1$ (показатель 3 — нечетный)
$(-1)^4 = 1$ (показатель 4 — четный)
Подставим значения в выражение и сложим их:
$(-1)^2 + (-1)^3 + (-1)^4 = 1 + (-1) + 1 = 1 - 1 + 1 = 1$
Ответ: 1.

804. a) $3 \cdot (-2)^2$;
б) $-4 \cdot (-3)^3$;
в) $-(-3)^4$;
г) $-(-2)^3$;
д) $-(-0,3)^2$;
е) $-(-0,5)^3$;
ж) $(-3^2)^3$;
з) $(-1)^{1999}$;
и) $(-1)^k + (-1)^{k+1}$, где $k$ — целое число.

а) $3 \cdot (-2)^2$. Сначала вычисляем значение степени: $(-2)^2 = 4$. Затем выполняем умножение: $3 \cdot 4 = 12$.
Ответ: 12.

б) $-4 \cdot (-3)^3$. Сначала вычисляем значение степени: $(-3)^3 = -27$. Затем выполняем умножение. Произведение двух отрицательных чисел положительно: $-4 \cdot (-27) = 108$.
Ответ: 108.

в) $-(-3)^4$. Сначала вычисляем степень числа в скобках. Так как показатель степени четный, результат будет положительным: $(-3)^4 = 81$. Затем применяем знак минуса, стоящий перед скобками: $-(81) = -81$.
Ответ: -81.

г) $-(-2)^3$. Сначала вычисляем степень числа в скобках. Так как показатель степени нечетный, результат будет отрицательным: $(-2)^3 = -8$. Затем применяем знак минуса перед скобками: $-(-8) = 8$.
Ответ: 8.

д) $-(-0,3)^2$. Сначала вычисляем степень: $(-0,3)^2 = 0,09$. Затем применяем знак минуса, который стоит перед скобкой: $-(0,09) = -0,09$.
Ответ: -0,09.

е) $-(-0,5)^3$. Сначала вычисляем степень: $(-0,5)^3 = -0,125$. Затем применяем знак минуса, который стоит перед скобкой: $-(-0,125) = 0,125$.
Ответ: 0,125.

ж) $(-3^2)^3$. Сначала вычисляем выражение в скобках. Возведение в степень имеет более высокий приоритет, чем унарный минус, поэтому сначала вычисляем $3^2 = 9$, а затем применяем минус: $-3^2 = -9$. Теперь возводим результат в куб: $(-9)^3 = -729$.
Ответ: -729.

з) $(-1)^{1999}$. Число $-1$ возводится в нечетную степень $1999$. Если $-1$ возвести в любую нечетную степень, результат всегда будет $-1$.
Ответ: -1.

и) $(-1)^k + (-1)^{k+1}$, где $k$ — целое число. Можно вынести общий множитель $(-1)^k$ за скобки: $(-1)^k + (-1)^{k+1} = (-1)^k \cdot (1 + (-1)^1) = (-1)^k \cdot (1 - 1) = (-1)^k \cdot 0 = 0$. Значение выражения равно 0 для любого целого $k$.
Ответ: 0.

805. Сократите дробь:

а) $ \frac{24}{36} $;

б) $ \frac{108}{252} $;

в) $ \frac{144}{216} $;

г) $ \frac{1800}{4500} $.

а) Чтобы сократить дробь $\frac{24}{36}$, необходимо найти наибольший общий делитель (НОД) для числителя 24 и знаменателя 36, а затем разделить на него и числитель, и знаменатель.
Разложим числа 24 и 36 на простые множители:
$24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$
$36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3^2$
НОД(24, 36) находится как произведение общих простых множителей в наименьшей степени: $2^2 \cdot 3^1 = 4 \cdot 3 = 12$.
Сокращаем дробь, разделив числитель и знаменатель на 12:
$\frac{24}{36} = \frac{24 \div 12}{36 \div 12} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$

б) Чтобы сократить дробь $\frac{108}{252}$, найдем НОД для чисел 108 и 252.
Разложим на простые множители:
$108 = 2 \cdot 54 = 2 \cdot 2 \cdot 27 = 2^2 \cdot 3^3$
$252 = 2 \cdot 126 = 2 \cdot 2 \cdot 63 = 2^2 \cdot 3 \cdot 21 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 7$
НОД(108, 252) = $2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$.
Разделим числитель и знаменатель на 36:
$\frac{108}{252} = \frac{108 \div 36}{252 \div 36} = \frac{3}{7}$.
Ответ: $\frac{3}{7}$

в) Чтобы сократить дробь $\frac{144}{216}$, найдем НОД для чисел 144 и 216.
Разложим на простые множители:
$144 = 12 \cdot 12 = (2^2 \cdot 3) \cdot (2^2 \cdot 3) = 2^4 \cdot 3^2$
$216 = 6 \cdot 36 = (2 \cdot 3) \cdot (6 \cdot 6) = 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3^3$
НОД(144, 216) = $2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72$.
Разделим числитель и знаменатель на 72:
$\frac{144}{216} = \frac{144 \div 72}{216 \div 72} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$

г) Чтобы сократить дробь $\frac{1800}{4500}$, можно сначала упростить ее, разделив числитель и знаменатель на 100, так как оба числа заканчиваются на два нуля.
$\frac{1800}{4500} = \frac{18 \cdot 100}{45 \cdot 100} = \frac{18}{45}$.
Теперь сократим полученную дробь $\frac{18}{45}$. Найдем НОД для 18 и 45.
Разложим на простые множители:
$18 = 2 \cdot 9 = 2 \cdot 3^2$
$45 = 5 \cdot 9 = 5 \cdot 3^2$
НОД(18, 45) = $3^2 = 9$.
Разделим числитель и знаменатель дроби $\frac{18}{45}$ на 9:
$\frac{18}{45} = \frac{18 \div 9}{45 \div 9} = \frac{2}{5}$.
Ответ: $\frac{2}{5}$

806. Вместо звёздочки подберите число так, чтобы равенство было верным:

а) $\frac{6}{9} = \frac{\ast}{3}$

б) $\frac{28}{40} = \frac{\ast}{10}$

в) $\frac{12}{32} = \frac{3}{\ast}$

г) $\frac{15}{75} = \frac{1}{\ast}$

д) $\frac{64}{36} = 1\frac{7}{\ast}$

е) $\frac{276}{108} = 2\frac{\ast}{9}$

ж) $7 = \frac{\ast}{2}$

з) $1\frac{1}{3} = \frac{\ast}{3}$

а) В равенстве $\frac{6}{9} = \frac{*}{3}$ знаменатель второй дроби (3) меньше знаменателя первой дроби (9). Чтобы найти, во сколько раз он уменьшился, разделим 9 на 3: $9 \div 3 = 3$. Это означает, что дробь $\frac{6}{9}$ была сокращена на 3. Чтобы равенство было верным, числитель также нужно разделить на 3. Выполним деление: $6 \div 3 = 2$. Таким образом, вместо звёздочки нужно поставить число 2.
Ответ: 2

б) В равенстве $\frac{28}{40} = \frac{*}{10}$ знаменатель второй дроби (10) меньше знаменателя первой дроби (40). Найдём, во сколько раз он уменьшился: $40 \div 10 = 4$. Следовательно, дробь $\frac{28}{40}$ была сокращена на 4. Чтобы равенство сохранилось, необходимо числитель 28 также разделить на 4. Вычисляем: $28 \div 4 = 7$. Вместо звёздочки должно стоять число 7.
Ответ: 7

в) В равенстве $\frac{12}{32} = \frac{3}{*}$ числитель второй дроби (3) меньше числителя первой дроби (12). Найдём, во сколько раз он уменьшился: $12 \div 3 = 4$. Это означает, что дробь $\frac{12}{32}$ была сокращена на 4. Для сохранения равенства знаменатель 32 также необходимо разделить на 4. Вычисляем: $32 \div 4 = 8$. Значит, вместо звёздочки нужно вписать число 8.
Ответ: 8

г) В равенстве $\frac{15}{75} = \frac{1}{*}$ числитель второй дроби (1) меньше числителя первой дроби (15). Найдём, во сколько раз он уменьшился: $15 \div 1 = 15$. Следовательно, дробь $\frac{15}{75}$ была сокращена на 15. Знаменатель 75 также нужно разделить на 15. Выполняем деление: $75 \div 15 = 5$. Вместо звёздочки должно быть число 5.
Ответ: 5

д) В равенстве $\frac{64}{36} = 1\frac{7}{*}$, сначала преобразуем неправильную дробь $\frac{64}{36}$ в смешанное число. Для этого разделим числитель на знаменатель с остатком: $64 \div 36 = 1$ (остаток $64 - 36 \cdot 1 = 28$). Таким образом, $\frac{64}{36} = 1\frac{28}{36}$. Теперь равенство выглядит так: $1\frac{28}{36} = 1\frac{7}{*}$. Целые части равны, значит, должны быть равны и дробные части: $\frac{28}{36} = \frac{7}{*}$. Числитель уменьшился в $28 \div 7 = 4$ раза. Значит, и знаменатель нужно уменьшить в 4 раза: $36 \div 4 = 9$. Вместо звёздочки ставим число 9.
Ответ: 9

е) В равенстве $\frac{276}{108} = 2\frac{*}{9}$ преобразуем неправильную дробь $\frac{276}{108}$ в смешанное число. Разделим 276 на 108: $276 \div 108 = 2$ (остаток $276 - 108 \cdot 2 = 276 - 216 = 60$). Получаем $\frac{276}{108} = 2\frac{60}{108}$. Теперь равенство имеет вид: $2\frac{60}{108} = 2\frac{*}{9}$. Целые части равны. Приравняем дробные части: $\frac{60}{108} = \frac{*}{9}$. Знаменатель уменьшился в $108 \div 9 = 12$ раз. Следовательно, числитель также нужно уменьшить в 12 раз: $60 \div 12 = 5$. Вместо звёздочки ставим число 5.
Ответ: 5

ж) В равенстве $7 = \frac{*}{2}$ нужно представить целое число 7 в виде дроби со знаменателем 2. Чтобы найти числитель этой дроби, нужно целое число умножить на знаменатель: $7 \times 2 = 14$. Таким образом, $7 = \frac{14}{2}$. Вместо звёздочки должно стоять число 14.
Ответ: 14

з) В равенстве $1\frac{1}{3} = \frac{*}{3}$ нужно преобразовать смешанное число $1\frac{1}{3}$ в неправильную дробь. Для этого целую часть умножаем на знаменатель и прибавляем числитель: $1 \times 3 + 1 = 4$. Этот результат будет новым числителем, а знаменатель остаётся прежним. Получаем $1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$. Сравнивая с исходным равенством, видим, что вместо звёздочки нужно поставить число 4.
Ответ: 4

807. Доказываем. Докажите, что:

а) $\frac{171717}{252525} = \frac{1717}{2525} = \frac{17}{25}$;

б) $\frac{313131}{757575} = \frac{3131}{7575} = \frac{31}{75}$.

а) Для доказательства равенства $\frac{171717}{252525} = \frac{1717}{2525} = \frac{17}{25}$ необходимо показать, что первые две дроби можно сократить до вида $\frac{17}{25}$.
Рассмотрим первую дробь $\frac{171717}{252525}$. Представим числитель и знаменатель в виде произведения: $171717 = 17 \times 10101$ и $252525 = 25 \times 10101$. Сократив дробь на общий множитель $10101$, получим:
$\frac{171717}{252525} = \frac{17 \times 10101}{25 \times 10101} = \frac{17}{25}$.
Теперь рассмотрим вторую дробь $\frac{1717}{2525}$. Аналогично, $1717 = 17 \times 101$ и $2525 = 25 \times 101$. Сократив дробь на общий множитель $101$, получим:
$\frac{1717}{2525} = \frac{17 \times 101}{25 \times 101} = \frac{17}{25}$.
Поскольку обе дроби равны $\frac{17}{25}$, исходное равенство доказано.

Ответ: Равенство верно, так как обе дроби $\frac{171717}{252525}$ и $\frac{1717}{2525}$ после сокращения на $10101$ и $101$ соответственно, равны $\frac{17}{25}$.

б) Для доказательства равенства $\frac{313131}{757575} = \frac{3131}{7575} = \frac{31}{75}$ применим тот же подход.
Упростим первую дробь $\frac{313131}{757575}$. Разложим числитель и знаменатель на множители: $313131 = 31 \times 10101$ и $757575 = 75 \times 10101$. Сократим на общий множитель $10101$:
$\frac{313131}{757575} = \frac{31 \times 10101}{75 \times 10101} = \frac{31}{75}$.
Упростим вторую дробь $\frac{3131}{7575}$. Разложим числитель и знаменатель на множители: $3131 = 31 \times 101$ и $7575 = 75 \times 101$. Сократим на общий множитель $101$:
$\frac{3131}{7575} = \frac{31 \times 101}{75 \times 101} = \frac{31}{75}$.
Так как обе дроби равны $\frac{31}{75}$, исходное равенство доказано.

Ответ: Равенство верно, так как обе дроби $\frac{313131}{757575}$ и $\frac{3131}{7575}$ после сокращения на $10101$ и $101$ соответственно, равны $\frac{31}{75}$.

808. Укажите число, обратное данному числу:

а) $2$;

б) $\frac{1}{5}$;

в) $2\frac{1}{3}$;

г) $1,3$.

а) Числом, обратным данному, называется такое число, при умножении на которое исходное число даёт в результате единицу. Чтобы найти число, обратное целому числу 2, представим его в виде обыкновенной дроби: $2 = \frac{2}{1}$.
Число, обратное дроби $\frac{a}{b}$, это дробь $\frac{b}{a}$.
Следовательно, для дроби $\frac{2}{1}$ обратной будет дробь $\frac{1}{2}$.
Проверим: $2 \times \frac{1}{2} = \frac{2}{1} \times \frac{1}{2} = \frac{2 \times 1}{1 \times 2} = \frac{2}{2} = 1$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

б) Дана обыкновенная дробь $\frac{1}{5}$.
Чтобы найти обратное число, необходимо поменять местами числитель и знаменатель дроби.
Таким образом, числом, обратным $\frac{1}{5}$, является $\frac{5}{1}$, что равно 5.
Проверим: $\frac{1}{5} \times 5 = \frac{1}{5} \times \frac{5}{1} = \frac{1 \times 5}{5 \times 1} = \frac{5}{5} = 1$.
Ответ: 5.

в) Дано смешанное число $2\frac{1}{3}$.
Для нахождения обратного числа сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь.
$2\frac{1}{3} = \frac{2 \times 3 + 1}{3} = \frac{6 + 1}{3} = \frac{7}{3}$.
Теперь найдем число, обратное дроби $\frac{7}{3}$. Для этого поменяем местами числитель и знаменатель.
Искомое обратное число — $\frac{3}{7}$.
Проверим: $2\frac{1}{3} \times \frac{3}{7} = \frac{7}{3} \times \frac{3}{7} = \frac{7 \times 3}{3 \times 7} = \frac{21}{21} = 1$.
Ответ: $\frac{3}{7}$.

г) Дано десятичное число 1,3.
Для нахождения обратного числа сначала представим десятичную дробь в виде обыкновенной дроби.
$1,3 = 1\frac{3}{10} = \frac{10 \times 1 + 3}{10} = \frac{13}{10}$.
Теперь найдем число, обратное дроби $\frac{13}{10}$, поменяв местами числитель и знаменатель.
Искомое обратное число — $\frac{10}{13}$.
Проверим: $1,3 \times \frac{10}{13} = \frac{13}{10} \times \frac{10}{13} = \frac{13 \times 10}{10 \times 13} = \frac{130}{130} = 1$.
Ответ: $\frac{10}{13}$.

809. Сравните числа:

а) $⅞$ и $⅝;$

б) $1&frac17;$ и $&frac87;;$

в) $½$ и $⅓;$

г) $⅗$ и $¾;$

д) $⅔$ и $¾;$

е) $&frac{10}{7};$ и $1&frac36;.$

а) Чтобы сравнить дроби $ \frac{7}{8} $ и $ \frac{5}{8} $, нужно посмотреть на их числители, так как знаменатели у них одинаковые. У дроби с большим числителем значение больше. Поскольку $ 7 > 5 $, то $ \frac{7}{8} > \frac{5}{8} $.
Ответ: $ \frac{7}{8} > \frac{5}{8} $.

б) Сравним смешанное число $ 1\frac{1}{7} $ и неправильную дробь $ \frac{8}{7} $. Для этого представим смешанное число в виде неправильной дроби: $ 1\frac{1}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{8}{7} $. Теперь сравним $ \frac{8}{7} $ и $ \frac{8}{7} $. Эти дроби равны.
Ответ: $ 1\frac{1}{7} = \frac{8}{7} $.

в) Чтобы сравнить дроби $ \frac{1}{2} $ и $ \frac{1}{3} $ с разными знаменателями, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 2 и 3 — это 6.
$ \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{3}{6} $
$ \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{2}{6} $
Теперь сравним дроби с одинаковыми знаменателями: $ \frac{3}{6} $ и $ \frac{2}{6} $. Так как $ 3 > 2 $, то $ \frac{3}{6} > \frac{2}{6} $, а значит $ \frac{1}{2} > \frac{1}{3} $.
Ответ: $ \frac{1}{2} > \frac{1}{3} $.

г) Сравним дроби $ \frac{3}{5} $ и $ \frac{3}{4} $. У этих дробей одинаковые числители. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Так как $ 4 < 5 $, то $ \frac{3}{4} > \frac{3}{5} $.
Ответ: $ \frac{3}{5} < \frac{3}{4} $.

д) Чтобы сравнить дроби $ \frac{2}{3} $ и $ \frac{3}{4} $, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3 и 4 — это 12.
$ \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12} $
$ \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12} $
Сравниваем $ \frac{8}{12} $ и $ \frac{9}{12} $. Поскольку $ 8 < 9 $, то $ \frac{8}{12} < \frac{9}{12} $, следовательно $ \frac{2}{3} < \frac{3}{4} $.
Ответ: $ \frac{2}{3} < \frac{3}{4} $.

е) Сравним неправильную дробь $ \frac{10}{7} $ и смешанное число $ 1\frac{3}{6} $. Сначала преобразуем оба числа для удобства сравнения. Выделим целую часть из дроби $ \frac{10}{7} $: $ \frac{10}{7} = 1\frac{3}{7} $. Сократим дробную часть у смешанного числа $ 1\frac{3}{6} = 1\frac{1}{2} $. Теперь нужно сравнить $ 1\frac{3}{7} $ и $ 1\frac{1}{2} $. Целые части у них равны (1), поэтому сравним их дробные части: $ \frac{3}{7} $ и $ \frac{1}{2} $. Приведем их к общему знаменателю 14:
$ \frac{3}{7} = \frac{3 \cdot 2}{7 \cdot 2} = \frac{6}{14} $
$ \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 7}{2 \cdot 7} = \frac{7}{14} $
Так как $ 6 < 7 $, то $ \frac{6}{14} < \frac{7}{14} $, а значит $ \frac{3}{7} < \frac{1}{2} $. Следовательно, $ 1\frac{3}{7} < 1\frac{1}{2} $, что означает $ \frac{10}{7} < 1\frac{3}{6} $.
Ответ: $ \frac{10}{7} < 1\frac{3}{6} $.