Страница 234 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Сравните (855–856):

855. а) $3^2$ и $2^3$;

б) $2^5$ и $5^2$;

в) $0,5^2$ и $0,4^2$;

г) $1,1^2$ и $2,1^2$;

д) $(\frac{4}{5})^2$ и $(\frac{5}{4})^2$;

е) $(1\frac{1}{3})^3$ и $2,4^2$;

ж) $0,5^2$ и $0,5^3$;

з) $(\frac{4}{5})^2$ и $(\frac{4}{5})^3$;

и) $(-0,3)^2$ и $(-0,4)^2$.

а) Чтобы сравнить $3^2$ и $2^3$, вычислим значения каждого выражения.
$3^2 = 3 \cdot 3 = 9$.
$2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$.
Так как $9 > 8$, то $3^2 > 2^3$.
Ответ: $3^2 > 2^3$.

б) Чтобы сравнить $2^5$ и $5^2$, вычислим значения каждого выражения.
$2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$.
$5^2 = 5 \cdot 5 = 25$.
Так как $32 > 25$, то $2^5 > 5^2$.
Ответ: $2^5 > 5^2$.

в) Чтобы сравнить $0,5^2$ и $0,4^2$, можно сравнить их основания. Так как основания $0,5$ и $0,4$ положительны и $0,5 > 0,4$, то результат возведения в одну и ту же положительную степень сохранит знак неравенства.
$0,5^2 = 0,25$.
$0,4^2 = 0,16$.
Так как $0,25 > 0,16$, то $0,5^2 > 0,4^2$.
Ответ: $0,5^2 > 0,4^2$.

г) Сравниваем $1,1^2$ и $2,1^2$. Основания $1,1$ и $2,1$ положительны. Так как $1,1 < 2,1$, то при возведении в квадрат знак неравенства сохранится.
$1,1^2 = 1,21$.
$2,1^2 = 4,41$.
Так как $1,21 < 4,41$, то $1,1^2 < 2,1^2$.
Ответ: $1,1^2 < 2,1^2$.

д) Сравниваем $(\frac{4}{5})^2$ и $(\frac{5}{4})^2$. Сравним сначала основания $\frac{4}{5}$ и $\frac{5}{4}$.
$\frac{4}{5} = 0,8$.
$\frac{5}{4} = 1,25$.
Так как $0,8 < 1,25$, и основания положительны, то $(\frac{4}{5})^2 < (\frac{5}{4})^2$.
Другой способ: $\frac{4}{5} < 1$, поэтому $(\frac{4}{5})^2 < 1$. А $\frac{5}{4} > 1$, поэтому $(\frac{5}{4})^2 > 1$. Следовательно, $(\frac{4}{5})^2 < (\frac{5}{4})^2$.
Ответ: $(\frac{4}{5})^2 < (\frac{5}{4})^2$.

е) Сравниваем $(1\frac{1}{3})^3$ и $2,4^2$. Преобразуем оба числа для удобства сравнения.
$(1\frac{1}{3})^3 = (\frac{4}{3})^3 = \frac{4^3}{3^3} = \frac{64}{27}$.
$2,4^2 = (\frac{24}{10})^2 = (\frac{12}{5})^2 = \frac{12^2}{5^2} = \frac{144}{25}$.
Сравним дроби $\frac{64}{27}$ и $\frac{144}{25}$.
$\frac{64}{27} \approx 2,37$.
$\frac{144}{25} = 5,76$.
Так как $2,37 < 5,76$, то $(1\frac{1}{3})^3 < 2,4^2$.
Ответ: $(1\frac{1}{3})^3 < 2,4^2$.

ж) Сравниваем $0,5^2$ и $0,5^3$. Основание $0,5$ находится в интервале $(0; 1)$. При возведении такого числа в большую степень, результат будет меньше. Так как показатель степени $3 > 2$, то $0,5^3 < 0,5^2$.
Проверим вычислением:
$0,5^2 = 0,25$.
$0,5^3 = 0,125$.
Так как $0,25 > 0,125$, то $0,5^2 > 0,5^3$.
Ответ: $0,5^2 > 0,5^3$.

з) Сравниваем $(\frac{4}{5})^2$ и $(\frac{4}{5})^3$. Основание $\frac{4}{5} = 0,8$ находится в интервале $(0; 1)$. Для таких оснований, чем больше показатель степени, тем меньше значение. Так как $3 > 2$, то $(\frac{4}{5})^3 < (\frac{4}{5})^2$.
Проверим вычислением:
$(\frac{4}{5})^2 = \frac{16}{25} = \frac{80}{125}$.
$(\frac{4}{5})^3 = \frac{64}{125}$.
Так как $\frac{80}{125} > \frac{64}{125}$, то $(\frac{4}{5})^2 > (\frac{4}{5})^3$.
Ответ: $(\frac{4}{5})^2 > (\frac{4}{5})^3$.

и) Сравниваем $(-0,3)^2$ и $(-0,4)^2$. При возведении в четную степень (в данном случае в квадрат) отрицательное число становится положительным.
$(-0,3)^2 = (-0,3) \cdot (-0,3) = 0,09$.
$(-0,4)^2 = (-0,4) \cdot (-0,4) = 0,16$.
Так как $0,09 < 0,16$, то $(-0,3)^2 < (-0,4)^2$.
Можно также отметить, что для отрицательных чисел $x$ функция $y=x^2$ убывает (т.е. чем меньше число, тем больше его квадрат). Так как $-0,4 < -0,3$, то $(-0,4)^2 > (-0,3)^2$, что приводит к тому же результату.
Ответ: $(-0,3)^2 < (-0,4)^2$.

856. а) $(\frac{1}{2})^5$ и $(\frac{3}{4})^3$;

б) $(\frac{1}{3})^5$ и $(\frac{1}{9})^2$;

в) $(-\frac{1}{2})^5$ и $(-\frac{3}{4})^3$;

г) $(-\frac{2}{5})^3$ и $(-\frac{1}{2})^5$;

д) $(-\frac{1}{3})^2 \cdot (-\frac{1}{2})$ и $(-\frac{1}{6})^2$;

е) $(-\frac{1}{5})^2 \cdot (-\frac{3}{4})$ и $(-\frac{3}{4})^2$;

ж) $1\frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot \left(1\frac{1}{4} - \frac{1}{9} \cdot \left(1\frac{1}{2}\right)^2\right)$ и 1;

3) $\frac{1}{2} \cdot \left(\left(2\frac{1}{3}\right)^2 - 31 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2\right) - 1$ и 1.

а) Сравним значения выражений $(\frac{1}{2})^5$ и $(\frac{3}{4})^3$.

Вычислим значение первого выражения: $(\frac{1}{2})^5 = \frac{1^5}{2^5} = \frac{1}{32}$.

Вычислим значение второго выражения: $(\frac{3}{4})^3 = \frac{3^3}{4^3} = \frac{27}{64}$.

Для сравнения дробей $\frac{1}{32}$ и $\frac{27}{64}$ приведем их к общему знаменателю 64.

$\frac{1}{32} = \frac{1 \cdot 2}{32 \cdot 2} = \frac{2}{64}$.

Так как $2 < 27$, то $\frac{2}{64} < \frac{27}{64}$.

Следовательно, $(\frac{1}{2})^5 < (\frac{3}{4})^3$.

Ответ: $(\frac{1}{2})^5 < (\frac{3}{4})^3$.

б) Сравним значения выражений $(\frac{1}{3})^5$ и $(\frac{1}{9})^2$.

Вычислим значение первого выражения: $(\frac{1}{3})^5 = \frac{1^5}{3^5} = \frac{1}{243}$.

Вычислим значение второго выражения: $(\frac{1}{9})^2 = \frac{1^2}{9^2} = \frac{1}{81}$.

Сравним дроби $\frac{1}{243}$ и $\frac{1}{81}$. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше.

Так как $243 > 81$, то $\frac{1}{243} < \frac{1}{81}$.

Следовательно, $(\frac{1}{3})^5 < (\frac{1}{9})^2$.

Ответ: $(\frac{1}{3})^5 < (\frac{1}{9})^2$.

в) Сравним значения выражений $(-\frac{1}{2})^5$ и $(-\frac{3}{4})^3$.

Так как степени нечетные, оба результата будут отрицательными.

Вычислим значение первого выражения: $(-\frac{1}{2})^5 = -(\frac{1}{2})^5 = -\frac{1}{32}$.

Вычислим значение второго выражения: $(-\frac{3}{4})^3 = -(\frac{3}{4})^3 = -\frac{27}{64}$.

Сравним отрицательные числа $-\frac{1}{32}$ и $-\frac{27}{64}$. Для этого сравним их модули: $|\frac{-1}{32}| = \frac{1}{32}$ и $|\frac{-27}{64}| = \frac{27}{64}$.

Из пункта а) мы знаем, что $\frac{1}{32} < \frac{27}{64}$.

Из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше.

Следовательно, $-\frac{1}{32} > -\frac{27}{64}$, а значит $(-\frac{1}{2})^5 > (-\frac{3}{4})^3$.

Ответ: $(-\frac{1}{2})^5 > (-\frac{3}{4})^3$.

г) Сравним значения выражений $(-\frac{2}{5})^3$ и $(-\frac{1}{2})^5$.

Так как степени нечетные, оба результата будут отрицательными.

Вычислим значение первого выражения: $(-\frac{2}{5})^3 = -(\frac{2}{5})^3 = -\frac{2^3}{5^3} = -\frac{8}{125}$.

Вычислим значение второго выражения: $(-\frac{1}{2})^5 = -(\frac{1}{2})^5 = -\frac{1^5}{2^5} = -\frac{1}{32}$.

Сравним модули этих чисел: $\frac{8}{125}$ и $\frac{1}{32}$. Приведем к общему знаменателю $125 \cdot 32 = 4000$.

$\frac{8}{125} = \frac{8 \cdot 32}{125 \cdot 32} = \frac{256}{4000}$.

$\frac{1}{32} = \frac{1 \cdot 125}{32 \cdot 125} = \frac{125}{4000}$.

Так как $256 > 125$, то $\frac{256}{4000} > \frac{125}{4000}$, значит $\frac{8}{125} > \frac{1}{32}$.

Из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше, следовательно, $-\frac{8}{125} < -\frac{1}{32}$.

Ответ: $(-\frac{2}{5})^3 < (-\frac{1}{2})^5$.

д) Сравним значения выражений $(-\frac{1}{3})^2 \cdot (-\frac{1}{2})$ и $(-\frac{1}{6})^2$.

Вычислим значение первого выражения: $(-\frac{1}{3})^2 \cdot (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{9} \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{18}$.

Вычислим значение второго выражения: $(-\frac{1}{6})^2 = \frac{1}{36}$.

Сравниваем $-\frac{1}{18}$ и $\frac{1}{36}$. Любое отрицательное число меньше любого положительного.

Следовательно, $-\frac{1}{18} < \frac{1}{36}$.

Ответ: $(-\frac{1}{3})^2 \cdot (-\frac{1}{2}) < (-\frac{1}{6})^2$.

е) Сравним значения выражений $(\frac{1}{5})^2 \cdot (-\frac{3}{4})$ и $(-\frac{3}{4})^2$.

Вычислим значение первого выражения: $(\frac{1}{5})^2 \cdot (-\frac{3}{4}) = \frac{1}{25} \cdot (-\frac{3}{4}) = -\frac{3}{100}$.

Вычислим значение второго выражения: $(-\frac{3}{4})^2 = \frac{9}{16}$.

Сравниваем $-\frac{3}{100}$ и $\frac{9}{16}$. Любое отрицательное число меньше любого положительного.

Следовательно, $-\frac{3}{100} < \frac{9}{16}$.

Ответ: $(\frac{1}{5})^2 \cdot (-\frac{3}{4}) < (-\frac{3}{4})^2$.

ж) Сравним значение выражения $1\frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot (1\frac{1}{4} - \frac{1}{9} \cdot (1\frac{1}{2})^2)$ и 1.

Вычислим значение выражения по частям. Сначала переведем смешанные числа в неправильные дроби:

$1\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$; $1\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$; $1\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$.

1. $(1\frac{1}{2})^2 = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$.

2. $\frac{1}{9} \cdot \frac{9}{4} = \frac{1}{4}$.

3. $1\frac{1}{4} - \frac{1}{4} = \frac{5}{4} - \frac{1}{4} = \frac{4}{4} = 1$.

4. $\frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3}$.

5. $1\frac{1}{3} - \frac{1}{3} = \frac{4}{3} - \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1$.

Сравниваем полученный результат 1 с числом 1. Они равны.

Ответ: $1\frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot (1\frac{1}{4} - \frac{1}{9} \cdot (1\frac{1}{2})^2) = 1$.

з) Сравним значение выражения $\frac{1}{2} \cdot ((2\frac{1}{3})^2 - 31 \cdot (\frac{1}{3})^2) - 1$ и 1.

Вычислим значение выражения по частям. Переведем $2\frac{1}{3}$ в неправильную дробь: $2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$.

1. $(2\frac{1}{3})^2 = (\frac{7}{3})^2 = \frac{49}{9}$.

2. $(\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$.

3. $31 \cdot \frac{1}{9} = \frac{31}{9}$.

4. $\frac{49}{9} - \frac{31}{9} = \frac{49-31}{9} = \frac{18}{9} = 2$.

5. $\frac{1}{2} \cdot 2 = 1$.

6. $1 - 1 = 0$.

Сравниваем полученный результат 0 с числом 1. Так как $0 < 1$, то и исходное выражение меньше 1.

Ответ: $\frac{1}{2} \cdot ((2\frac{1}{3})^2 - 31 \cdot (\frac{1}{3})^2) - 1 < 1$.

Расположите в порядке возрастания значений числовых выражений

(857–858):

857. a) $(\frac{1}{3})^2$, $\frac{2}{3}$, $(-\frac{1}{3})^3$, $\frac{5}{9}$;

б) $\frac{1}{2}$, $(-\frac{1}{4})^3$, $(\frac{3}{2})^2$, $(-1\frac{1}{3})^3$.

а) Чтобы расположить числовые выражения в порядке возрастания, необходимо вычислить значение каждого из них.
1. $(\frac{1}{3})^2 = \frac{1^2}{3^2} = \frac{1}{9}$
2. $\frac{2}{3}$
3. $(-\frac{1}{3})^3 = (-1)^3 \cdot \frac{1^3}{3^3} = -\frac{1}{27}$
4. $\frac{5}{9}$
Теперь у нас есть числа: $\frac{1}{9}$, $\frac{2}{3}$, $-\frac{1}{27}$ и $\frac{5}{9}$.
Для их сравнения приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 9, 3 и 27 равен 27.
$\frac{1}{9} = \frac{1 \cdot 3}{9 \cdot 3} = \frac{3}{27}$
$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 9}{3 \cdot 9} = \frac{18}{27}$
$\frac{5}{9} = \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} = \frac{15}{27}$
Таким образом, мы сравниваем числа: $\frac{3}{27}$, $\frac{18}{27}$, $-\frac{1}{27}$ и $\frac{15}{27}$.
Располагаем их в порядке возрастания (от наименьшего к наибольшему):
$-\frac{1}{27} < \frac{3}{27} < \frac{15}{27} < \frac{18}{27}$
Теперь заменим полученные дроби на исходные выражения:
$(-\frac{1}{3})^3 < (\frac{1}{3})^2 < \frac{5}{9} < \frac{2}{3}$
Ответ: $(-\frac{1}{3})^3, (\frac{1}{3})^2, \frac{5}{9}, \frac{2}{3}$.

б) Вычислим значение каждого выражения.
1. $\frac{1}{2}$
2. $(-\frac{1}{4})^3 = (-1)^3 \cdot \frac{1^3}{4^3} = -\frac{1}{64}$
3. $(\frac{3}{2})^2 = \frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4}$
4. $(-1\frac{1}{3})^3 = (-\frac{4}{3})^3 = (-1)^3 \cdot \frac{4^3}{3^3} = -\frac{64}{27}$
Теперь нам нужно сравнить числа: $\frac{1}{2}$, $-\frac{1}{64}$, $\frac{9}{4}$ и $-\frac{64}{27}$.
Сначала сравним отрицательные числа: $-\frac{1}{64}$ и $-\frac{64}{27}$.
Так как $\frac{64}{27} > \frac{1}{64}$, то из этого следует, что $-\frac{64}{27} < -\frac{1}{64}$.
Теперь сравним положительные числа: $\frac{1}{2}$ и $\frac{9}{4}$.
Приведем их к общему знаменателю 4: $\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$.
Так как $\frac{2}{4} < \frac{9}{4}$, то $\frac{1}{2} < \frac{9}{4}$.
Объединяя результаты, получаем следующий порядок возрастания (отрицательные числа всегда меньше положительных):
$-\frac{64}{27} < -\frac{1}{64} < \frac{1}{2} < \frac{9}{4}$
Заменим числа на исходные выражения:
$(-1\frac{1}{3})^3 < (-\frac{1}{4})^3 < \frac{1}{2} < (\frac{3}{2})^2$
Ответ: $(-1\frac{1}{3})^3, (-\frac{1}{4})^3, \frac{1}{2}, (\frac{3}{2})^2$.

858. а) $(-0,5)^2$, -16,1 и 4;

б) $(-5)^3$, 0,1 и $2,1^3$;

в) $8 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$, $8 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^2$ и $8 : \left(-\frac{1}{2}\right)$.

а)

Необходимо вычислить значение выражения $(-0,5)^2$. Числа -16,1 и 4 уже представлены в окончательном виде.

Возведение в квадрат — это умножение числа на само себя. Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом.

$(-0,5)^2 = (-0,5) \cdot (-0,5) = 0,25$.

Таким образом, числовой ряд после вычисления выглядит так: 0,25; -16,1; 4.

Ответ: 0,25.

б)

Необходимо вычислить значения выражений $(-5)^3$ и $2,1^3$. Число 0,1 уже представлено в окончательном виде.

1. Вычислим первое выражение. Возведение отрицательного числа в нечетную степень (в куб) дает в результате отрицательное число:

$(-5)^3 = (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) = 25 \cdot (-5) = -125$.

2. Вычислим второе выражение:

$2,1^3 = 2,1 \cdot 2,1 \cdot 2,1 = 4,41 \cdot 2,1 = 9,261$.

Таким образом, числовой ряд после вычислений выглядит так: -125; 0,1; 9,261.

Ответ: -125 и 9,261.

в)

Необходимо вычислить значения трех данных выражений.

1. Вычислим значение первого выражения:

$8 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{8 \cdot 1}{2} = -\frac{8}{2} = -4$.

2. Вычислим значение второго выражения. Сначала выполним возведение в степень, а затем умножение:

$\left(-\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$

$8 \cdot \frac{1}{4} = \frac{8}{4} = 2$.

3. Вычислим значение третьего выражения. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь (в данном случае на -2):

$8 : \left(-\frac{1}{2}\right) = 8 \cdot (-2) = -16$.

Ответ: -4; 2; -16.

859. Сравните значения числовых выражений:

а) $(-0,2)^3 \cdot 10^5$ и $(- \frac{6}{10})^2$;

б) $1,2^2$ и $1,(4)$;

в) $2,(5)$ и $(3 \frac{2}{9} + 1 \frac{8}{9}) \cdot \frac{1}{2}$;

г) $(-0,5)^2 \cdot (-5)^3$ и $-31,(3)$;

д) $9^2 \cdot (\frac{1}{3})^5$ и $0,333$;

е) $16^2 \cdot 8^3 \cdot 0,25^8$ и $2$.

а) Для сравнения выражений $ (-0,2)^3 \cdot 10^5 $ и $ \left(-\frac{6}{10}\right)^2 $ вычислим значение каждого из них.
Вычисляем первое выражение:
$ (-0,2)^3 \cdot 10^5 = -0,008 \cdot 100000 = -800 $.
Вычисляем второе выражение:
$ \left(-\frac{6}{10}\right)^2 = (-0,6)^2 = 0,36 $.
Теперь сравним полученные значения: $ -800 $ и $ 0,36 $.
Так как любое отрицательное число меньше любого положительного, $ -800 < 0,36 $.
Следовательно, $ (-0,2)^3 \cdot 10^5 < \left(-\frac{6}{10}\right)^2 $.
Ответ: $ (-0,2)^3 \cdot 10^5 < \left(-\frac{6}{10}\right)^2 $.

б) Для сравнения выражений $ 1,2^2 $ и $ 1,(4) $ вычислим и преобразуем их.
Вычисляем первое выражение:
$ 1,2^2 = 1,44 $.
Преобразуем второе число, периодическую дробь $ 1,(4) $, в обыкновенную дробь.Пусть $ x = 1,(4) = 1,444... $. Тогда $ 10x = 14,444... $.
$ 10x - x = 14,444... - 1,444... \Rightarrow 9x = 13 \Rightarrow x = \frac{13}{9} $.
Для сравнения переведем $ \frac{13}{9} $ в десятичную дробь: $ \frac{13}{9} = 1,444... $
Теперь сравним полученные значения: $ 1,44 $ и $ 1,444... $.
$ 1,440 < 1,444... $, следовательно $ 1,44 < 1,(4) $.
Ответ: $ 1,2^2 < 1,(4) $.

в) Для сравнения выражений $ 2,(5) $ и $ \left(3\frac{2}{9} + 1\frac{8}{9}\right) \cdot \frac{1}{2} $ преобразуем и вычислим их.
Преобразуем первое число, периодическую дробь $ 2,(5) $, в обыкновенную дробь.
Пусть $ x = 2,(5) = 2,555... $. Тогда $ 10x = 25,555... $.
$ 10x - x = 25,555... - 2,555... \Rightarrow 9x = 23 \Rightarrow x = \frac{23}{9} $.
Вычисляем второе выражение:
$ \left(3\frac{2}{9} + 1\frac{8}{9}\right) \cdot \frac{1}{2} = \left(\frac{3 \cdot 9 + 2}{9} + \frac{1 \cdot 9 + 8}{9}\right) \cdot \frac{1}{2} = \left(\frac{29}{9} + \frac{17}{9}\right) \cdot \frac{1}{2} = \frac{46}{9} \cdot \frac{1}{2} = \frac{23}{9} $.
Теперь сравним полученные значения: $ \frac{23}{9} $ и $ \frac{23}{9} $.
Значения равны.
Ответ: $ 2,(5) = \left(3\frac{2}{9} + 1\frac{8}{9}\right) \cdot \frac{1}{2} $.

г) Для сравнения выражений $ (-0,5)^2 \cdot (-5)^3 $ и $ -31,(3) $ вычислим и преобразуем их.
Вычисляем первое выражение:
$ (-0,5)^2 \cdot (-5)^3 = 0,25 \cdot (-125) = -\frac{1}{4} \cdot 125 = -\frac{125}{4} = -31,25 $.
Преобразуем второе число, периодическую дробь $ -31,(3) $.
$ 0,(3) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} $.
$ -31,(3) = -(31 + 0,(3)) = -\left(31 + \frac{1}{3}\right) = -31\frac{1}{3} \approx -31,333... $
Теперь сравним полученные значения: $ -31,25 $ и $ -31,333... $.
При сравнении отрицательных чисел большим является то, модуль которого меньше.
$ |-31,25| < |-31,333...| $, следовательно $ -31,25 > -31,333... $.
Ответ: $ (-0,5)^2 \cdot (-5)^3 > -31,(3) $.

д) Для сравнения выражений $ 9^2 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^5 $ и $ 0,333 $ вычислим значение первого выражения.
Используем свойства степеней, приведя основания к общему числу 3:
$ 9^2 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^5 = (3^2)^2 \cdot (3^{-1})^5 = 3^4 \cdot 3^{-5} = 3^{4-5} = 3^{-1} = \frac{1}{3} $.
Второе число равно $ 0,333 $.
Теперь сравним $ \frac{1}{3} $ и $ 0,333 $.
Известно, что $ \frac{1}{3} = 0,3333... = 0,(3) $.
$ 0,3333... > 0,333 $.
Следовательно, $ 9^2 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^5 > 0,333 $.
Ответ: $ 9^2 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^5 > 0,333 $.

е) Для сравнения выражений $ 16^2 \cdot 8^3 \cdot 0,25^8 $ и $ 2 $ вычислим значение первого выражения.
Приведем все множители к основанию 2:
$ 16 = 2^4 $
$ 8 = 2^3 $
$ 0,25 = \frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2} $
Подставим эти значения в выражение:
$ 16^2 \cdot 8^3 \cdot 0,25^8 = (2^4)^2 \cdot (2^3)^3 \cdot (2^{-2})^8 = 2^8 \cdot 2^9 \cdot 2^{-16} = 2^{8+9-16} = 2^{17-16} = 2^1 = 2 $.
Теперь сравним полученное значение $ 2 $ со вторым числом $ 2 $.
Значения равны.
Ответ: $ 16^2 \cdot 8^3 \cdot 0,25^8 = 2 $.