Номер 855, страница 234 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Действительные числа. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 855, страница 234.

Условие.

Сравните (855–856):

855. а) $3^2$ и $2^3$;

б) $2^5$ и $5^2$;

в) $0,5^2$ и $0,4^2$;

г) $1,1^2$ и $2,1^2$;

д) $(\frac{4}{5})^2$ и $(\frac{5}{4})^2$;

е) $(1\frac{1}{3})^3$ и $2,4^2$;

ж) $0,5^2$ и $0,5^3$;

з) $(\frac{4}{5})^2$ и $(\frac{4}{5})^3$;

и) $(-0,3)^2$ и $(-0,4)^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Чтобы сравнить $3^2$ и $2^3$, вычислим значения каждого выражения.
$3^2 = 3 \cdot 3 = 9$.
$2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$.
Так как $9 > 8$, то $3^2 > 2^3$.
Ответ: $3^2 > 2^3$.

б) Чтобы сравнить $2^5$ и $5^2$, вычислим значения каждого выражения.
$2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$.
$5^2 = 5 \cdot 5 = 25$.
Так как $32 > 25$, то $2^5 > 5^2$.
Ответ: $2^5 > 5^2$.

в) Чтобы сравнить $0,5^2$ и $0,4^2$, можно сравнить их основания. Так как основания $0,5$ и $0,4$ положительны и $0,5 > 0,4$, то результат возведения в одну и ту же положительную степень сохранит знак неравенства.
$0,5^2 = 0,25$.
$0,4^2 = 0,16$.
Так как $0,25 > 0,16$, то $0,5^2 > 0,4^2$.
Ответ: $0,5^2 > 0,4^2$.

г) Сравниваем $1,1^2$ и $2,1^2$. Основания $1,1$ и $2,1$ положительны. Так как $1,1 < 2,1$, то при возведении в квадрат знак неравенства сохранится.
$1,1^2 = 1,21$.
$2,1^2 = 4,41$.
Так как $1,21 < 4,41$, то $1,1^2 < 2,1^2$.
Ответ: $1,1^2 < 2,1^2$.

д) Сравниваем $(\frac{4}{5})^2$ и $(\frac{5}{4})^2$. Сравним сначала основания $\frac{4}{5}$ и $\frac{5}{4}$.
$\frac{4}{5} = 0,8$.
$\frac{5}{4} = 1,25$.
Так как $0,8 < 1,25$, и основания положительны, то $(\frac{4}{5})^2 < (\frac{5}{4})^2$.
Другой способ: $\frac{4}{5} < 1$, поэтому $(\frac{4}{5})^2 < 1$. А $\frac{5}{4} > 1$, поэтому $(\frac{5}{4})^2 > 1$. Следовательно, $(\frac{4}{5})^2 < (\frac{5}{4})^2$.
Ответ: $(\frac{4}{5})^2 < (\frac{5}{4})^2$.

е) Сравниваем $(1\frac{1}{3})^3$ и $2,4^2$. Преобразуем оба числа для удобства сравнения.
$(1\frac{1}{3})^3 = (\frac{4}{3})^3 = \frac{4^3}{3^3} = \frac{64}{27}$.
$2,4^2 = (\frac{24}{10})^2 = (\frac{12}{5})^2 = \frac{12^2}{5^2} = \frac{144}{25}$.
Сравним дроби $\frac{64}{27}$ и $\frac{144}{25}$.
$\frac{64}{27} \approx 2,37$.
$\frac{144}{25} = 5,76$.
Так как $2,37 < 5,76$, то $(1\frac{1}{3})^3 < 2,4^2$.
Ответ: $(1\frac{1}{3})^3 < 2,4^2$.

ж) Сравниваем $0,5^2$ и $0,5^3$. Основание $0,5$ находится в интервале $(0; 1)$. При возведении такого числа в большую степень, результат будет меньше. Так как показатель степени $3 > 2$, то $0,5^3 < 0,5^2$.
Проверим вычислением:
$0,5^2 = 0,25$.
$0,5^3 = 0,125$.
Так как $0,25 > 0,125$, то $0,5^2 > 0,5^3$.
Ответ: $0,5^2 > 0,5^3$.

з) Сравниваем $(\frac{4}{5})^2$ и $(\frac{4}{5})^3$. Основание $\frac{4}{5} = 0,8$ находится в интервале $(0; 1)$. Для таких оснований, чем больше показатель степени, тем меньше значение. Так как $3 > 2$, то $(\frac{4}{5})^3 < (\frac{4}{5})^2$.
Проверим вычислением:
$(\frac{4}{5})^2 = \frac{16}{25} = \frac{80}{125}$.
$(\frac{4}{5})^3 = \frac{64}{125}$.
Так как $\frac{80}{125} > \frac{64}{125}$, то $(\frac{4}{5})^2 > (\frac{4}{5})^3$.
Ответ: $(\frac{4}{5})^2 > (\frac{4}{5})^3$.

и) Сравниваем $(-0,3)^2$ и $(-0,4)^2$. При возведении в четную степень (в данном случае в квадрат) отрицательное число становится положительным.
$(-0,3)^2 = (-0,3) \cdot (-0,3) = 0,09$.
$(-0,4)^2 = (-0,4) \cdot (-0,4) = 0,16$.
Так как $0,09 < 0,16$, то $(-0,3)^2 < (-0,4)^2$.
Можно также отметить, что для отрицательных чисел $x$ функция $y=x^2$ убывает (т.е. чем меньше число, тем больше его квадрат). Так как $-0,4 < -0,3$, то $(-0,4)^2 > (-0,3)^2$, что приводит к тому же результату.
Ответ: $(-0,3)^2 < (-0,4)^2$.