Номер 860, страница 235 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Действительные числа. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 860, страница 235.

Условие.

Расположите числа в порядке возрастания (860—861):

860. а) $\frac{2}{7}$; $\frac{5}{21}$; $\frac{11}{40}$; $\frac{3}{11}$; $0,(28);$

б) $2,(5)$; $2,5$; $2,(56);$

в) $-2,(1)$; $-2,1$; $-2,(01);$

г) $-0,(4)$; $-\frac{1}{3}$; $-\frac{1}{4},$

д) $3,145926$; $\frac{22}{7}$; $3,(14);$

е) $-3,(3)$; $-3\frac{2}{9}$; $-3\frac{2}{3}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Для того чтобы расположить числа $\frac{2}{7}$; $\frac{5}{21}$; $\frac{11}{40}$; $\frac{3}{11}$; $0,(28)$ в порядке возрастания, представим их в виде десятичных дробей.

$\frac{2}{7} \approx 0,2857...$

$\frac{5}{21} \approx 0,2380...$

$\frac{11}{40} = 0,275$

$\frac{3}{11} = 0,(27) = 0,2727...$

$0,(28) = 0,2828...$

Сравнивая полученные десятичные дроби по разрядам, получаем:

$0,2380... < 0,2727... < 0,275 < 0,2828... < 0,2857...$

Следовательно, в порядке возрастания числа располагаются так: $\frac{5}{21}$; $\frac{3}{11}$; $\frac{11}{40}$; $0,(28)$; $\frac{2}{7}$.

Ответ: $\frac{5}{21}$; $\frac{3}{11}$; $\frac{11}{40}$; $0,(28)$; $\frac{2}{7}$.

б) Чтобы расположить числа $2,(5)$; $2,5$; $2,(56)$ в порядке возрастания, запишем их в развернутом виде:

$2,(5) = 2,5555...$

$2,5 = 2,5000...$

$2,(56) = 2,5656...$

Сравниваем цифры в разрядах, двигаясь слева направо. Целые части и разряд десятых у всех чисел одинаковы. Сравним разряд сотых: у $2,5$ это $0$, у $2,(5)$ это $5$, у $2,(56)$ это $6$.

Так как $0 < 5 < 6$, то и $2,5 < 2,(5) < 2,(56)$.

Ответ: $2,5$; $2,(5)$; $2,(56)$.

в) Чтобы расположить отрицательные числа $-2,(1)$; $-2,1$; $-2,(01)$ в порядке возрастания, нужно сравнить их модули. Меньшим будет то число, модуль которого больше.

Найдем и сравним модули данных чисел:

$|-2,(1)| = 2,(1) = 2,111...$

$|-2,1| = 2,1 = 2,100...$

$|-2,(01)| = 2,(01) = 2,0101...$

Расположим модули в порядке возрастания: $2,0101... < 2,100... < 2,111...$, что соответствует $2,(01) < 2,1 < 2,(1)$.

Для отрицательных чисел порядок будет обратным: $-2,(1) < -2,1 < -2,(01)$.

Ответ: $-2,(1)$; $-2,1$; $-2,(01)$.

г) Сравним отрицательные числа $-0,(4)$; $-\frac{1}{3}$; $-\frac{1}{4}$. Меньшим будет то число, модуль которого больше.

Представим модули чисел в виде десятичных дробей:

$|-0,(4)| = 0,(4) = 0,444...$

$|-\frac{1}{3}| = \frac{1}{3} = 0,(3) = 0,333...$

$|-\frac{1}{4}| = \frac{1}{4} = 0,25$

Расположим модули в порядке возрастания: $0,25 < 0,333... < 0,444...$, то есть $|\-\frac{1}{4}| < |-\frac{1}{3}| < |-0,(4)|$.

Следовательно, для отрицательных чисел порядок будет обратным: $-0,(4) < -\frac{1}{3} < -\frac{1}{4}$.

Ответ: $-0,(4)$; $-\frac{1}{3}$; $-\frac{1}{4}$.

д) Сравним числа $3,145926$; $\frac{22}{7}$; $3,(14)$. Представим все числа в виде десятичных дробей.

$3,145926$

$\frac{22}{7} \approx 3,142857...$

$3,(14) = 3,141414...$

Сравниваем дроби поразрядно. Целая часть и первые две цифры после запятой ($14$) у всех чисел совпадают. Сравним третью цифру после запятой: у $3,(14)$ это $1$, у $\frac{22}{7}$ это $2$, у $3,145926$ это $5$.

Так как $1 < 2 < 5$, то $3,(14) < \frac{22}{7} < 3,145926$.

Ответ: $3,(14)$; $\frac{22}{7}$; $3,145926$.

е) Сравним отрицательные числа $-3,(3)$; $-3\frac{2}{9}$; $-3\frac{2}{3}$. Меньшим будет то число, модуль которого больше.

Представим модули чисел в виде смешанных дробей с одинаковым знаменателем $9$.

$|-3,(3)| = 3,(3) = 3 + 0,(3) = 3 + \frac{3}{9} = 3\frac{3}{9}$

$|-3\frac{2}{9}| = 3\frac{2}{9}$

$|-3\frac{2}{3}| = 3\frac{2}{3} = 3\frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} = 3\frac{6}{9}$

Сравним модули: $3\frac{2}{9} < 3\frac{3}{9} < 3\frac{6}{9}$. Это значит, что $3\frac{2}{9} < 3,(3) < 3\frac{2}{3}$.

Для отрицательных чисел порядок будет обратным: $-3\frac{2}{3} < -3,(3) < -3\frac{2}{9}$.

Ответ: $-3\frac{2}{3}$; $-3,(3)$; $-3\frac{2}{9}$.