Номер 863, страница 235 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Действительные числа. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 863, страница 235.

Условие.

863. Укажите все числа $a$ и $b$, для которых верно равенство:

а) $a + b = 0$;

б) $a - b = 0$;

в) $a \cdot b = 0$;

г) $a \cdot b = b$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а) Равенство $a + b = 0$ означает, что сумма двух чисел равна нулю. Это возможно только в том случае, если числа являются противоположными друг другу. То есть, для любого числа $b$ должно выполняться условие $a = -b$, или, наоборот, для любого числа $a$ должно выполняться $b = -a$. Например, если $a = 5$, то $b = -5$; если $b = -10$, то $a = 10$.

Ответ: $a$ и $b$ — любые противоположные числа (т.е. $a = -b$).

б) Равенство $a - b = 0$ означает, что разность двух чисел равна нулю. Это возможно только в том случае, если числа равны между собой. Перенеся $b$ в правую часть уравнения, получим $a = b$. Например, если $a = 3$, то и $b = 3$; если $b = -1.5$, то и $a = -1.5$.

Ответ: $a$ и $b$ — любые равные числа (т.е. $a = b$).

в) Равенство $a \cdot b = 0$ означает, что произведение двух чисел равно нулю. Согласно свойству нуля, произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, данное равенство верно, если либо $a = 0$ (при любом значении $b$), либо $b = 0$ (при любом значении $a$), либо они оба равны нулю.

Ответ: хотя бы одно из чисел равно нулю (т.е. $a = 0$ или $b = 0$).

г) Рассмотрим равенство $a \cdot b = b$. Перенесём все члены в левую часть уравнения: $a \cdot b - b = 0$. Вынесем общий множитель $b$ за скобки: $b(a - 1) = 0$. Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Следовательно, у нас есть два случая: либо $b = 0$, либо $a - 1 = 0$. Если $b = 0$, то равенство $a \cdot 0 = 0$ верно для любого числа $a$. Если $a - 1 = 0$, то $a = 1$, и равенство $1 \cdot b = b$ верно для любого числа $b$.

Ответ: $a = 1$ (при любом $b$) или $b = 0$ (при любом $a$).