Номер 861, страница 235 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Действительные числа. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 861, страница 235.

Условие.

861. $1\frac{1}{9}$; -0,21212121; 1,112; $-0.\overline{2}$; $1\frac{1}{11}$; $1.\overline{1}$; $-0.\overline{21}$; -0,2.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Для того чтобы определить, есть ли среди данных чисел равные, необходимо привести их к общему виду — либо к обыкновенным дробям, либо к десятичным — и затем сравнить.

$1\frac{1}{9}$ и $1,(1)$

Рассмотрим первое число $1\frac{1}{9}$. Это смешанная дробь. Преобразуем ее в десятичную дробь. Для этого сначала преобразуем дробную часть $\frac{1}{9}$ в десятичную, разделив числитель на знаменатель:
$1 \div 9 = 0,111... = 0,(1)$
Теперь прибавим целую часть:
$1\frac{1}{9} = 1 + \frac{1}{9} = 1 + 0,(1) = 1,(1)$.
Теперь рассмотрим второе число $1,(1)$. Это бесконечная периодическая десятичная дробь. Преобразуем ее в обыкновенную дробь.
Пусть $x = 1,(1) = 1,111...$
Умножим обе части уравнения на 10, чтобы сдвинуть запятую на один знак вправо:
$10x = 11,111...$
Вычтем из второго уравнения первое:
$10x - x = 11,111... - 1,111...$
$9x = 10$
$x = \frac{10}{9}$
Преобразуем неправильную дробь $\frac{10}{9}$ в смешанную: $\frac{10}{9} = 1\frac{1}{9}$.
Таким образом, мы доказали, что $1\frac{1}{9}$ и $1,(1)$ являются двумя разными формами записи одного и того же числа.

Ответ: $1\frac{1}{9} = 1,(1)$.

-0,21212121... и -0,(21)

Рассмотрим число -0,21212121... . Это развернутая запись бесконечной периодической десятичной дроби, у которой после запятой бесконечно повторяется группа цифр "21" (период). Краткая форма записи такой дроби — $-0,(21)$.
Таким образом, -0,21212121... и $-0,(21)$ — это просто две разные формы записи одного и того же числа.
Для дополнительной проверки преобразуем это число в обыкновенную дробь.
Пусть $x = -0,(21)$. Тогда $-x = 0,(21) = 0,212121...$
Умножим обе части на 100, так как период состоит из двух цифр:
$100(-x) = 21,2121...$
Вычтем из второго уравнения первое:
$100(-x) - (-x) = 21,2121... - 0,2121...$
$99(-x) = 21$
$-x = \frac{21}{99}$
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 3:
$-x = \frac{21 \div 3}{99 \div 3} = \frac{7}{33}$
Следовательно, $x = -\frac{7}{33}$.
Оба числа, -0,21212121... и -0,(21), равны обыкновенной дроби $-\frac{7}{33}$.

Ответ: -0,21212121... = -0,(21).

Проверим остальные числа из списка, чтобы убедиться, что других пар равных чисел нет:

• $1,112 = \frac{1112}{1000} = \frac{139}{125}$
• $-0,(2) = -0,222... = -\frac{2}{9}$
• $1\frac{1}{11} = \frac{12}{11} = 1,0909... = 1,(09)$
• $-0,2 = -\frac{2}{10} = -\frac{1}{5}$

Эти числа не равны никаким другим числам из заданного списка.