Номер 856, страница 234 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Действительные числа. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 856, страница 234.

Условие.

856. а) $(\frac{1}{2})^5$ и $(\frac{3}{4})^3$;

б) $(\frac{1}{3})^5$ и $(\frac{1}{9})^2$;

в) $(-\frac{1}{2})^5$ и $(-\frac{3}{4})^3$;

г) $(-\frac{2}{5})^3$ и $(-\frac{1}{2})^5$;

д) $(-\frac{1}{3})^2 \cdot (-\frac{1}{2})$ и $(-\frac{1}{6})^2$;

е) $(-\frac{1}{5})^2 \cdot (-\frac{3}{4})$ и $(-\frac{3}{4})^2$;

ж) $1\frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot \left(1\frac{1}{4} - \frac{1}{9} \cdot \left(1\frac{1}{2}\right)^2\right)$ и 1;

3) $\frac{1}{2} \cdot \left(\left(2\frac{1}{3}\right)^2 - 31 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2\right) - 1$ и 1.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Сравним значения выражений $(\frac{1}{2})^5$ и $(\frac{3}{4})^3$.

Вычислим значение первого выражения: $(\frac{1}{2})^5 = \frac{1^5}{2^5} = \frac{1}{32}$.

Вычислим значение второго выражения: $(\frac{3}{4})^3 = \frac{3^3}{4^3} = \frac{27}{64}$.

Для сравнения дробей $\frac{1}{32}$ и $\frac{27}{64}$ приведем их к общему знаменателю 64.

$\frac{1}{32} = \frac{1 \cdot 2}{32 \cdot 2} = \frac{2}{64}$.

Так как $2 < 27$, то $\frac{2}{64} < \frac{27}{64}$.

Следовательно, $(\frac{1}{2})^5 < (\frac{3}{4})^3$.

Ответ: $(\frac{1}{2})^5 < (\frac{3}{4})^3$.

б) Сравним значения выражений $(\frac{1}{3})^5$ и $(\frac{1}{9})^2$.

Вычислим значение первого выражения: $(\frac{1}{3})^5 = \frac{1^5}{3^5} = \frac{1}{243}$.

Вычислим значение второго выражения: $(\frac{1}{9})^2 = \frac{1^2}{9^2} = \frac{1}{81}$.

Сравним дроби $\frac{1}{243}$ и $\frac{1}{81}$. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше.

Так как $243 > 81$, то $\frac{1}{243} < \frac{1}{81}$.

Следовательно, $(\frac{1}{3})^5 < (\frac{1}{9})^2$.

Ответ: $(\frac{1}{3})^5 < (\frac{1}{9})^2$.

в) Сравним значения выражений $(-\frac{1}{2})^5$ и $(-\frac{3}{4})^3$.

Так как степени нечетные, оба результата будут отрицательными.

Вычислим значение первого выражения: $(-\frac{1}{2})^5 = -(\frac{1}{2})^5 = -\frac{1}{32}$.

Вычислим значение второго выражения: $(-\frac{3}{4})^3 = -(\frac{3}{4})^3 = -\frac{27}{64}$.

Сравним отрицательные числа $-\frac{1}{32}$ и $-\frac{27}{64}$. Для этого сравним их модули: $|\frac{-1}{32}| = \frac{1}{32}$ и $|\frac{-27}{64}| = \frac{27}{64}$.

Из пункта а) мы знаем, что $\frac{1}{32} < \frac{27}{64}$.

Из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше.

Следовательно, $-\frac{1}{32} > -\frac{27}{64}$, а значит $(-\frac{1}{2})^5 > (-\frac{3}{4})^3$.

Ответ: $(-\frac{1}{2})^5 > (-\frac{3}{4})^3$.

г) Сравним значения выражений $(-\frac{2}{5})^3$ и $(-\frac{1}{2})^5$.

Так как степени нечетные, оба результата будут отрицательными.

Вычислим значение первого выражения: $(-\frac{2}{5})^3 = -(\frac{2}{5})^3 = -\frac{2^3}{5^3} = -\frac{8}{125}$.

Вычислим значение второго выражения: $(-\frac{1}{2})^5 = -(\frac{1}{2})^5 = -\frac{1^5}{2^5} = -\frac{1}{32}$.

Сравним модули этих чисел: $\frac{8}{125}$ и $\frac{1}{32}$. Приведем к общему знаменателю $125 \cdot 32 = 4000$.

$\frac{8}{125} = \frac{8 \cdot 32}{125 \cdot 32} = \frac{256}{4000}$.

$\frac{1}{32} = \frac{1 \cdot 125}{32 \cdot 125} = \frac{125}{4000}$.

Так как $256 > 125$, то $\frac{256}{4000} > \frac{125}{4000}$, значит $\frac{8}{125} > \frac{1}{32}$.

Из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше, следовательно, $-\frac{8}{125} < -\frac{1}{32}$.

Ответ: $(-\frac{2}{5})^3 < (-\frac{1}{2})^5$.

д) Сравним значения выражений $(-\frac{1}{3})^2 \cdot (-\frac{1}{2})$ и $(-\frac{1}{6})^2$.

Вычислим значение первого выражения: $(-\frac{1}{3})^2 \cdot (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{9} \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{18}$.

Вычислим значение второго выражения: $(-\frac{1}{6})^2 = \frac{1}{36}$.

Сравниваем $-\frac{1}{18}$ и $\frac{1}{36}$. Любое отрицательное число меньше любого положительного.

Следовательно, $-\frac{1}{18} < \frac{1}{36}$.

Ответ: $(-\frac{1}{3})^2 \cdot (-\frac{1}{2}) < (-\frac{1}{6})^2$.

е) Сравним значения выражений $(\frac{1}{5})^2 \cdot (-\frac{3}{4})$ и $(-\frac{3}{4})^2$.

Вычислим значение первого выражения: $(\frac{1}{5})^2 \cdot (-\frac{3}{4}) = \frac{1}{25} \cdot (-\frac{3}{4}) = -\frac{3}{100}$.

Вычислим значение второго выражения: $(-\frac{3}{4})^2 = \frac{9}{16}$.

Сравниваем $-\frac{3}{100}$ и $\frac{9}{16}$. Любое отрицательное число меньше любого положительного.

Следовательно, $-\frac{3}{100} < \frac{9}{16}$.

Ответ: $(\frac{1}{5})^2 \cdot (-\frac{3}{4}) < (-\frac{3}{4})^2$.

ж) Сравним значение выражения $1\frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot (1\frac{1}{4} - \frac{1}{9} \cdot (1\frac{1}{2})^2)$ и 1.

Вычислим значение выражения по частям. Сначала переведем смешанные числа в неправильные дроби:

$1\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$; $1\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$; $1\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$.

1. $(1\frac{1}{2})^2 = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$.

2. $\frac{1}{9} \cdot \frac{9}{4} = \frac{1}{4}$.

3. $1\frac{1}{4} - \frac{1}{4} = \frac{5}{4} - \frac{1}{4} = \frac{4}{4} = 1$.

4. $\frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3}$.

5. $1\frac{1}{3} - \frac{1}{3} = \frac{4}{3} - \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1$.

Сравниваем полученный результат 1 с числом 1. Они равны.

Ответ: $1\frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot (1\frac{1}{4} - \frac{1}{9} \cdot (1\frac{1}{2})^2) = 1$.

з) Сравним значение выражения $\frac{1}{2} \cdot ((2\frac{1}{3})^2 - 31 \cdot (\frac{1}{3})^2) - 1$ и 1.

Вычислим значение выражения по частям. Переведем $2\frac{1}{3}$ в неправильную дробь: $2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$.

1. $(2\frac{1}{3})^2 = (\frac{7}{3})^2 = \frac{49}{9}$.

2. $(\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$.

3. $31 \cdot \frac{1}{9} = \frac{31}{9}$.

4. $\frac{49}{9} - \frac{31}{9} = \frac{49-31}{9} = \frac{18}{9} = 2$.

5. $\frac{1}{2} \cdot 2 = 1$.

6. $1 - 1 = 0$.

Сравниваем полученный результат 0 с числом 1. Так как $0 < 1$, то и исходное выражение меньше 1.

Ответ: $\frac{1}{2} \cdot ((2\frac{1}{3})^2 - 31 \cdot (\frac{1}{3})^2) - 1 < 1$.