Номер 857, страница 234 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Действительные числа. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 857, страница 234.

Условие.

Расположите в порядке возрастания значений числовых выражений

(857–858):

857. a) $(\frac{1}{3})^2$, $\frac{2}{3}$, $(-\frac{1}{3})^3$, $\frac{5}{9}$;

б) $\frac{1}{2}$, $(-\frac{1}{4})^3$, $(\frac{3}{2})^2$, $(-1\frac{1}{3})^3$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а) Чтобы расположить числовые выражения в порядке возрастания, необходимо вычислить значение каждого из них.
1. $(\frac{1}{3})^2 = \frac{1^2}{3^2} = \frac{1}{9}$
2. $\frac{2}{3}$
3. $(-\frac{1}{3})^3 = (-1)^3 \cdot \frac{1^3}{3^3} = -\frac{1}{27}$
4. $\frac{5}{9}$
Теперь у нас есть числа: $\frac{1}{9}$, $\frac{2}{3}$, $-\frac{1}{27}$ и $\frac{5}{9}$.
Для их сравнения приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 9, 3 и 27 равен 27.
$\frac{1}{9} = \frac{1 \cdot 3}{9 \cdot 3} = \frac{3}{27}$
$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 9}{3 \cdot 9} = \frac{18}{27}$
$\frac{5}{9} = \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} = \frac{15}{27}$
Таким образом, мы сравниваем числа: $\frac{3}{27}$, $\frac{18}{27}$, $-\frac{1}{27}$ и $\frac{15}{27}$.
Располагаем их в порядке возрастания (от наименьшего к наибольшему):
$-\frac{1}{27} < \frac{3}{27} < \frac{15}{27} < \frac{18}{27}$
Теперь заменим полученные дроби на исходные выражения:
$(-\frac{1}{3})^3 < (\frac{1}{3})^2 < \frac{5}{9} < \frac{2}{3}$
Ответ: $(-\frac{1}{3})^3, (\frac{1}{3})^2, \frac{5}{9}, \frac{2}{3}$.

б) Вычислим значение каждого выражения.
1. $\frac{1}{2}$
2. $(-\frac{1}{4})^3 = (-1)^3 \cdot \frac{1^3}{4^3} = -\frac{1}{64}$
3. $(\frac{3}{2})^2 = \frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4}$
4. $(-1\frac{1}{3})^3 = (-\frac{4}{3})^3 = (-1)^3 \cdot \frac{4^3}{3^3} = -\frac{64}{27}$
Теперь нам нужно сравнить числа: $\frac{1}{2}$, $-\frac{1}{64}$, $\frac{9}{4}$ и $-\frac{64}{27}$.
Сначала сравним отрицательные числа: $-\frac{1}{64}$ и $-\frac{64}{27}$.
Так как $\frac{64}{27} > \frac{1}{64}$, то из этого следует, что $-\frac{64}{27} < -\frac{1}{64}$.
Теперь сравним положительные числа: $\frac{1}{2}$ и $\frac{9}{4}$.
Приведем их к общему знаменателю 4: $\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$.
Так как $\frac{2}{4} < \frac{9}{4}$, то $\frac{1}{2} < \frac{9}{4}$.
Объединяя результаты, получаем следующий порядок возрастания (отрицательные числа всегда меньше положительных):
$-\frac{64}{27} < -\frac{1}{64} < \frac{1}{2} < \frac{9}{4}$
Заменим числа на исходные выражения:
$(-1\frac{1}{3})^3 < (-\frac{1}{4})^3 < \frac{1}{2} < (\frac{3}{2})^2$
Ответ: $(-1\frac{1}{3})^3, (-\frac{1}{4})^3, \frac{1}{2}, (\frac{3}{2})^2$.