Номер 859, страница 234 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Действительные числа. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 859, страница 234.

Условие.

859. Сравните значения числовых выражений:

а) $(-0,2)^3 \cdot 10^5$ и $(- \frac{6}{10})^2$;

б) $1,2^2$ и $1,(4)$;

в) $2,(5)$ и $(3 \frac{2}{9} + 1 \frac{8}{9}) \cdot \frac{1}{2}$;

г) $(-0,5)^2 \cdot (-5)^3$ и $-31,(3)$;

д) $9^2 \cdot (\frac{1}{3})^5$ и $0,333$;

е) $16^2 \cdot 8^3 \cdot 0,25^8$ и $2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Для сравнения выражений $ (-0,2)^3 \cdot 10^5 $ и $ \left(-\frac{6}{10}\right)^2 $ вычислим значение каждого из них.
Вычисляем первое выражение:
$ (-0,2)^3 \cdot 10^5 = -0,008 \cdot 100000 = -800 $.
Вычисляем второе выражение:
$ \left(-\frac{6}{10}\right)^2 = (-0,6)^2 = 0,36 $.
Теперь сравним полученные значения: $ -800 $ и $ 0,36 $.
Так как любое отрицательное число меньше любого положительного, $ -800 < 0,36 $.
Следовательно, $ (-0,2)^3 \cdot 10^5 < \left(-\frac{6}{10}\right)^2 $.
Ответ: $ (-0,2)^3 \cdot 10^5 < \left(-\frac{6}{10}\right)^2 $.

б) Для сравнения выражений $ 1,2^2 $ и $ 1,(4) $ вычислим и преобразуем их.
Вычисляем первое выражение:
$ 1,2^2 = 1,44 $.
Преобразуем второе число, периодическую дробь $ 1,(4) $, в обыкновенную дробь.Пусть $ x = 1,(4) = 1,444... $. Тогда $ 10x = 14,444... $.
$ 10x - x = 14,444... - 1,444... \Rightarrow 9x = 13 \Rightarrow x = \frac{13}{9} $.
Для сравнения переведем $ \frac{13}{9} $ в десятичную дробь: $ \frac{13}{9} = 1,444... $
Теперь сравним полученные значения: $ 1,44 $ и $ 1,444... $.
$ 1,440 < 1,444... $, следовательно $ 1,44 < 1,(4) $.
Ответ: $ 1,2^2 < 1,(4) $.

в) Для сравнения выражений $ 2,(5) $ и $ \left(3\frac{2}{9} + 1\frac{8}{9}\right) \cdot \frac{1}{2} $ преобразуем и вычислим их.
Преобразуем первое число, периодическую дробь $ 2,(5) $, в обыкновенную дробь.
Пусть $ x = 2,(5) = 2,555... $. Тогда $ 10x = 25,555... $.
$ 10x - x = 25,555... - 2,555... \Rightarrow 9x = 23 \Rightarrow x = \frac{23}{9} $.
Вычисляем второе выражение:
$ \left(3\frac{2}{9} + 1\frac{8}{9}\right) \cdot \frac{1}{2} = \left(\frac{3 \cdot 9 + 2}{9} + \frac{1 \cdot 9 + 8}{9}\right) \cdot \frac{1}{2} = \left(\frac{29}{9} + \frac{17}{9}\right) \cdot \frac{1}{2} = \frac{46}{9} \cdot \frac{1}{2} = \frac{23}{9} $.
Теперь сравним полученные значения: $ \frac{23}{9} $ и $ \frac{23}{9} $.
Значения равны.
Ответ: $ 2,(5) = \left(3\frac{2}{9} + 1\frac{8}{9}\right) \cdot \frac{1}{2} $.

г) Для сравнения выражений $ (-0,5)^2 \cdot (-5)^3 $ и $ -31,(3) $ вычислим и преобразуем их.
Вычисляем первое выражение:
$ (-0,5)^2 \cdot (-5)^3 = 0,25 \cdot (-125) = -\frac{1}{4} \cdot 125 = -\frac{125}{4} = -31,25 $.
Преобразуем второе число, периодическую дробь $ -31,(3) $.
$ 0,(3) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} $.
$ -31,(3) = -(31 + 0,(3)) = -\left(31 + \frac{1}{3}\right) = -31\frac{1}{3} \approx -31,333... $
Теперь сравним полученные значения: $ -31,25 $ и $ -31,333... $.
При сравнении отрицательных чисел большим является то, модуль которого меньше.
$ |-31,25| < |-31,333...| $, следовательно $ -31,25 > -31,333... $.
Ответ: $ (-0,5)^2 \cdot (-5)^3 > -31,(3) $.

д) Для сравнения выражений $ 9^2 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^5 $ и $ 0,333 $ вычислим значение первого выражения.
Используем свойства степеней, приведя основания к общему числу 3:
$ 9^2 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^5 = (3^2)^2 \cdot (3^{-1})^5 = 3^4 \cdot 3^{-5} = 3^{4-5} = 3^{-1} = \frac{1}{3} $.
Второе число равно $ 0,333 $.
Теперь сравним $ \frac{1}{3} $ и $ 0,333 $.
Известно, что $ \frac{1}{3} = 0,3333... = 0,(3) $.
$ 0,3333... > 0,333 $.
Следовательно, $ 9^2 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^5 > 0,333 $.
Ответ: $ 9^2 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^5 > 0,333 $.

е) Для сравнения выражений $ 16^2 \cdot 8^3 \cdot 0,25^8 $ и $ 2 $ вычислим значение первого выражения.
Приведем все множители к основанию 2:
$ 16 = 2^4 $
$ 8 = 2^3 $
$ 0,25 = \frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2} $
Подставим эти значения в выражение:
$ 16^2 \cdot 8^3 \cdot 0,25^8 = (2^4)^2 \cdot (2^3)^3 \cdot (2^{-2})^8 = 2^8 \cdot 2^9 \cdot 2^{-16} = 2^{8+9-16} = 2^{17-16} = 2^1 = 2 $.
Теперь сравним полученное значение $ 2 $ со вторым числом $ 2 $.
Значения равны.
Ответ: $ 16^2 \cdot 8^3 \cdot 0,25^8 = 2 $.