Номер 862, страница 235 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Действительные числа. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 862, страница 235.

Условие.

862. а) Каково наибольшее действительное число, меньшее $0,9$, в десятичную запись которого не входит цифра 9?

б) Существует ли наименьшее число, большее $1$?

в) Каково наименьшее действительное число, большее $3,6$, в бесконечную десятичную запись которого не входят цифры 0, 1 и 2?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а) Мы ищем наибольшее действительное число $x$, которое удовлетворяет двум условиям: 1) $x < 0,9$ и 2) в его десятичной записи нет цифры 9. Чтобы число $x$ было как можно больше, но меньше 0,9, его целая часть должна быть равна 0, а первая цифра после запятой должна быть максимально возможной, но не 9. Пусть $x = 0,d_1 d_2 d_3 \dots$. Цифры $d_i$ могут быть только из множества $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$. Так как $x < 0,9$, первая цифра $d_1$ не может быть равна 9. Чтобы максимизировать $x$, мы должны выбрать наибольшую возможную цифру для $d_1$, то есть $d_1=8$. Далее, чтобы число было наибольшим, все последующие цифры $d_2, d_3, \dots$ также должны быть максимально возможными. Наибольшая доступная цифра — это 8. Таким образом, мы получаем число $0,888\dots$ или $0,(8)$. Это число меньше $0,9$ (так как $0,888\dots < 0,900\dots$) и в его записи нет цифры 9. Любое другое число, удовлетворяющее этим условиям и большее, чем $0,(8)$, должно было бы иметь в каком-то разряде цифру, большую 8, что невозможно, так как цифра 9 запрещена. Число $0,(8)$ можно представить в виде обыкновенной дроби. Пусть $x = 0,(8)$, тогда $10x = 8,(8)$. Вычитая из второго равенства первое, получаем $9x = 8$, откуда $x = 8/9$.

Ответ: $0,(8)$ или $8/9$.

б) Такого числа не существует. Это свойство следует из плотности множества действительных чисел. Предположим, что такое число существует, и назовём его $m$. По определению, $m$ — это наименьшее число, которое больше 1. То есть, $m > 1$, и для любого числа $x > 1$ должно выполняться неравенство $x \ge m$. Рассмотрим число $y$, равное среднему арифметическому 1 и $m$: $y = (1+m)/2$. Поскольку $m > 1$, то $m+1 > 1+1=2$, следовательно, $y = (1+m)/2 > 2/2 = 1$. Таким образом, $y > 1$. С другой стороны, поскольку $m>1$, то $m+m > m+1$, следовательно, $2m > 1+m$, и $m > (1+m)/2 = y$. Таким образом, $y < m$. Мы нашли число $y$, для которого выполняется $1 < y < m$. Это противоречит нашему предположению, что $m$ — наименьшее число, большее 1. Следовательно, наше предположение было неверным, и наименьшего числа, большего 1, не существует.

Ответ: не существует.

в) Мы ищем наименьшее действительное число $x$, которое удовлетворяет двум условиям: 1) $x > 3,6$ и 2) в его бесконечную десятичную запись не входят цифры 0, 1 и 2. Это означает, что все цифры в десятичной записи числа $x$ должны принадлежать множеству $\{3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$. Пусть $x = c_0,c_1 c_2 c_3 \dots$, где $c_i \in \{3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$. Чтобы число $x$ было наименьшим, мы должны минимизировать его цифры слева направо. Целая часть $c_0$ должна быть не меньше 3. Наименьшая возможная цифра из разрешённого набора — это 3. Значит, $c_0 = 3$. Число имеет вид $3,c_1 c_2 c_3 \dots$. Из условия $x > 3,6$ следует, что первая цифра после запятой, $c_1$, должна быть не меньше 6. Рассмотрим два случая: 1. $c_1 > 6$. Наименьшая возможная цифра для $c_1$ из нашего множества — это 7. Чтобы минимизировать число, все последующие цифры должны быть наименьшими возможными, то есть равными 3. Получаем число $3,7333\dots = 3,7(3)$. 2. $c_1 = 6$. Цифра 6 принадлежит разрешённому множеству. Число имеет вид $3,6c_2 c_3 \dots$. Чтобы это число было больше 3,6, достаточно, чтобы хотя бы одна из последующих цифр не была нулём, что гарантируется условием (цифра 0 запрещена). Чтобы минимизировать число, все последующие цифры $c_2, c_3, \dots$ должны быть наименьшими возможными, то есть равными 3. Получаем число $3,6333\dots = 3,6(3)$. Сравнивая два найденных числа, $3,6(3)$ и $3,7(3)$, видим, что $3,6(3) < 3,7(3)$. Следовательно, искомое наименьшее число — это $3,6(3)$. Это число можно представить в виде обыкновенной дроби. Пусть $x = 3,6(3)$. Тогда $10x = 36,(3)$ и $100x = 363,(3)$. Вычитая из второго равенства первое, получаем $90x = 327$, откуда $x = 327/90 = 109/30$.

Ответ: $3,6(3)$ или $109/30$.