Страница 235 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Расположите числа в порядке возрастания (860—861):

860. а) $\frac{2}{7}$; $\frac{5}{21}$; $\frac{11}{40}$; $\frac{3}{11}$; $0,(28);$

б) $2,(5)$; $2,5$; $2,(56);$

в) $-2,(1)$; $-2,1$; $-2,(01);$

г) $-0,(4)$; $-\frac{1}{3}$; $-\frac{1}{4},$

д) $3,145926$; $\frac{22}{7}$; $3,(14);$

е) $-3,(3)$; $-3\frac{2}{9}$; $-3\frac{2}{3}.$

а) Для того чтобы расположить числа $\frac{2}{7}$; $\frac{5}{21}$; $\frac{11}{40}$; $\frac{3}{11}$; $0,(28)$ в порядке возрастания, представим их в виде десятичных дробей.

$\frac{2}{7} \approx 0,2857...$

$\frac{5}{21} \approx 0,2380...$

$\frac{11}{40} = 0,275$

$\frac{3}{11} = 0,(27) = 0,2727...$

$0,(28) = 0,2828...$

Сравнивая полученные десятичные дроби по разрядам, получаем:

$0,2380... < 0,2727... < 0,275 < 0,2828... < 0,2857...$

Следовательно, в порядке возрастания числа располагаются так: $\frac{5}{21}$; $\frac{3}{11}$; $\frac{11}{40}$; $0,(28)$; $\frac{2}{7}$.

Ответ: $\frac{5}{21}$; $\frac{3}{11}$; $\frac{11}{40}$; $0,(28)$; $\frac{2}{7}$.

б) Чтобы расположить числа $2,(5)$; $2,5$; $2,(56)$ в порядке возрастания, запишем их в развернутом виде:

$2,(5) = 2,5555...$

$2,5 = 2,5000...$

$2,(56) = 2,5656...$

Сравниваем цифры в разрядах, двигаясь слева направо. Целые части и разряд десятых у всех чисел одинаковы. Сравним разряд сотых: у $2,5$ это $0$, у $2,(5)$ это $5$, у $2,(56)$ это $6$.

Так как $0 < 5 < 6$, то и $2,5 < 2,(5) < 2,(56)$.

Ответ: $2,5$; $2,(5)$; $2,(56)$.

в) Чтобы расположить отрицательные числа $-2,(1)$; $-2,1$; $-2,(01)$ в порядке возрастания, нужно сравнить их модули. Меньшим будет то число, модуль которого больше.

Найдем и сравним модули данных чисел:

$|-2,(1)| = 2,(1) = 2,111...$

$|-2,1| = 2,1 = 2,100...$

$|-2,(01)| = 2,(01) = 2,0101...$

Расположим модули в порядке возрастания: $2,0101... < 2,100... < 2,111...$, что соответствует $2,(01) < 2,1 < 2,(1)$.

Для отрицательных чисел порядок будет обратным: $-2,(1) < -2,1 < -2,(01)$.

Ответ: $-2,(1)$; $-2,1$; $-2,(01)$.

г) Сравним отрицательные числа $-0,(4)$; $-\frac{1}{3}$; $-\frac{1}{4}$. Меньшим будет то число, модуль которого больше.

Представим модули чисел в виде десятичных дробей:

$|-0,(4)| = 0,(4) = 0,444...$

$|-\frac{1}{3}| = \frac{1}{3} = 0,(3) = 0,333...$

$|-\frac{1}{4}| = \frac{1}{4} = 0,25$

Расположим модули в порядке возрастания: $0,25 < 0,333... < 0,444...$, то есть $|\-\frac{1}{4}| < |-\frac{1}{3}| < |-0,(4)|$.

Следовательно, для отрицательных чисел порядок будет обратным: $-0,(4) < -\frac{1}{3} < -\frac{1}{4}$.

Ответ: $-0,(4)$; $-\frac{1}{3}$; $-\frac{1}{4}$.

д) Сравним числа $3,145926$; $\frac{22}{7}$; $3,(14)$. Представим все числа в виде десятичных дробей.

$3,145926$

$\frac{22}{7} \approx 3,142857...$

$3,(14) = 3,141414...$

Сравниваем дроби поразрядно. Целая часть и первые две цифры после запятой ($14$) у всех чисел совпадают. Сравним третью цифру после запятой: у $3,(14)$ это $1$, у $\frac{22}{7}$ это $2$, у $3,145926$ это $5$.

Так как $1 < 2 < 5$, то $3,(14) < \frac{22}{7} < 3,145926$.

Ответ: $3,(14)$; $\frac{22}{7}$; $3,145926$.

е) Сравним отрицательные числа $-3,(3)$; $-3\frac{2}{9}$; $-3\frac{2}{3}$. Меньшим будет то число, модуль которого больше.

Представим модули чисел в виде смешанных дробей с одинаковым знаменателем $9$.

$|-3,(3)| = 3,(3) = 3 + 0,(3) = 3 + \frac{3}{9} = 3\frac{3}{9}$

$|-3\frac{2}{9}| = 3\frac{2}{9}$

$|-3\frac{2}{3}| = 3\frac{2}{3} = 3\frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} = 3\frac{6}{9}$

Сравним модули: $3\frac{2}{9} < 3\frac{3}{9} < 3\frac{6}{9}$. Это значит, что $3\frac{2}{9} < 3,(3) < 3\frac{2}{3}$.

Для отрицательных чисел порядок будет обратным: $-3\frac{2}{3} < -3,(3) < -3\frac{2}{9}$.

Ответ: $-3\frac{2}{3}$; $-3,(3)$; $-3\frac{2}{9}$.

861. $1\frac{1}{9}$; -0,21212121; 1,112; $-0.\overline{2}$; $1\frac{1}{11}$; $1.\overline{1}$; $-0.\overline{21}$; -0,2.

Для того чтобы определить, есть ли среди данных чисел равные, необходимо привести их к общему виду — либо к обыкновенным дробям, либо к десятичным — и затем сравнить.

$1\frac{1}{9}$ и $1,(1)$

Рассмотрим первое число $1\frac{1}{9}$. Это смешанная дробь. Преобразуем ее в десятичную дробь. Для этого сначала преобразуем дробную часть $\frac{1}{9}$ в десятичную, разделив числитель на знаменатель:
$1 \div 9 = 0,111... = 0,(1)$
Теперь прибавим целую часть:
$1\frac{1}{9} = 1 + \frac{1}{9} = 1 + 0,(1) = 1,(1)$.
Теперь рассмотрим второе число $1,(1)$. Это бесконечная периодическая десятичная дробь. Преобразуем ее в обыкновенную дробь.
Пусть $x = 1,(1) = 1,111...$
Умножим обе части уравнения на 10, чтобы сдвинуть запятую на один знак вправо:
$10x = 11,111...$
Вычтем из второго уравнения первое:
$10x - x = 11,111... - 1,111...$
$9x = 10$
$x = \frac{10}{9}$
Преобразуем неправильную дробь $\frac{10}{9}$ в смешанную: $\frac{10}{9} = 1\frac{1}{9}$.
Таким образом, мы доказали, что $1\frac{1}{9}$ и $1,(1)$ являются двумя разными формами записи одного и того же числа.

Ответ: $1\frac{1}{9} = 1,(1)$.

-0,21212121... и -0,(21)

Рассмотрим число -0,21212121... . Это развернутая запись бесконечной периодической десятичной дроби, у которой после запятой бесконечно повторяется группа цифр "21" (период). Краткая форма записи такой дроби — $-0,(21)$.
Таким образом, -0,21212121... и $-0,(21)$ — это просто две разные формы записи одного и того же числа.
Для дополнительной проверки преобразуем это число в обыкновенную дробь.
Пусть $x = -0,(21)$. Тогда $-x = 0,(21) = 0,212121...$
Умножим обе части на 100, так как период состоит из двух цифр:
$100(-x) = 21,2121...$
Вычтем из второго уравнения первое:
$100(-x) - (-x) = 21,2121... - 0,2121...$
$99(-x) = 21$
$-x = \frac{21}{99}$
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 3:
$-x = \frac{21 \div 3}{99 \div 3} = \frac{7}{33}$
Следовательно, $x = -\frac{7}{33}$.
Оба числа, -0,21212121... и -0,(21), равны обыкновенной дроби $-\frac{7}{33}$.

Ответ: -0,21212121... = -0,(21).

Проверим остальные числа из списка, чтобы убедиться, что других пар равных чисел нет:

• $1,112 = \frac{1112}{1000} = \frac{139}{125}$
• $-0,(2) = -0,222... = -\frac{2}{9}$
• $1\frac{1}{11} = \frac{12}{11} = 1,0909... = 1,(09)$
• $-0,2 = -\frac{2}{10} = -\frac{1}{5}$

Эти числа не равны никаким другим числам из заданного списка.

862. а) Каково наибольшее действительное число, меньшее $0,9$, в десятичную запись которого не входит цифра 9?

б) Существует ли наименьшее число, большее $1$?

в) Каково наименьшее действительное число, большее $3,6$, в бесконечную десятичную запись которого не входят цифры 0, 1 и 2?

а) Мы ищем наибольшее действительное число $x$, которое удовлетворяет двум условиям: 1) $x < 0,9$ и 2) в его десятичной записи нет цифры 9. Чтобы число $x$ было как можно больше, но меньше 0,9, его целая часть должна быть равна 0, а первая цифра после запятой должна быть максимально возможной, но не 9. Пусть $x = 0,d_1 d_2 d_3 \dots$. Цифры $d_i$ могут быть только из множества $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$. Так как $x < 0,9$, первая цифра $d_1$ не может быть равна 9. Чтобы максимизировать $x$, мы должны выбрать наибольшую возможную цифру для $d_1$, то есть $d_1=8$. Далее, чтобы число было наибольшим, все последующие цифры $d_2, d_3, \dots$ также должны быть максимально возможными. Наибольшая доступная цифра — это 8. Таким образом, мы получаем число $0,888\dots$ или $0,(8)$. Это число меньше $0,9$ (так как $0,888\dots < 0,900\dots$) и в его записи нет цифры 9. Любое другое число, удовлетворяющее этим условиям и большее, чем $0,(8)$, должно было бы иметь в каком-то разряде цифру, большую 8, что невозможно, так как цифра 9 запрещена. Число $0,(8)$ можно представить в виде обыкновенной дроби. Пусть $x = 0,(8)$, тогда $10x = 8,(8)$. Вычитая из второго равенства первое, получаем $9x = 8$, откуда $x = 8/9$.

Ответ: $0,(8)$ или $8/9$.

б) Такого числа не существует. Это свойство следует из плотности множества действительных чисел. Предположим, что такое число существует, и назовём его $m$. По определению, $m$ — это наименьшее число, которое больше 1. То есть, $m > 1$, и для любого числа $x > 1$ должно выполняться неравенство $x \ge m$. Рассмотрим число $y$, равное среднему арифметическому 1 и $m$: $y = (1+m)/2$. Поскольку $m > 1$, то $m+1 > 1+1=2$, следовательно, $y = (1+m)/2 > 2/2 = 1$. Таким образом, $y > 1$. С другой стороны, поскольку $m>1$, то $m+m > m+1$, следовательно, $2m > 1+m$, и $m > (1+m)/2 = y$. Таким образом, $y < m$. Мы нашли число $y$, для которого выполняется $1 < y < m$. Это противоречит нашему предположению, что $m$ — наименьшее число, большее 1. Следовательно, наше предположение было неверным, и наименьшего числа, большего 1, не существует.

Ответ: не существует.

в) Мы ищем наименьшее действительное число $x$, которое удовлетворяет двум условиям: 1) $x > 3,6$ и 2) в его бесконечную десятичную запись не входят цифры 0, 1 и 2. Это означает, что все цифры в десятичной записи числа $x$ должны принадлежать множеству $\{3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$. Пусть $x = c_0,c_1 c_2 c_3 \dots$, где $c_i \in \{3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$. Чтобы число $x$ было наименьшим, мы должны минимизировать его цифры слева направо. Целая часть $c_0$ должна быть не меньше 3. Наименьшая возможная цифра из разрешённого набора — это 3. Значит, $c_0 = 3$. Число имеет вид $3,c_1 c_2 c_3 \dots$. Из условия $x > 3,6$ следует, что первая цифра после запятой, $c_1$, должна быть не меньше 6. Рассмотрим два случая: 1. $c_1 > 6$. Наименьшая возможная цифра для $c_1$ из нашего множества — это 7. Чтобы минимизировать число, все последующие цифры должны быть наименьшими возможными, то есть равными 3. Получаем число $3,7333\dots = 3,7(3)$. 2. $c_1 = 6$. Цифра 6 принадлежит разрешённому множеству. Число имеет вид $3,6c_2 c_3 \dots$. Чтобы это число было больше 3,6, достаточно, чтобы хотя бы одна из последующих цифр не была нулём, что гарантируется условием (цифра 0 запрещена). Чтобы минимизировать число, все последующие цифры $c_2, c_3, \dots$ должны быть наименьшими возможными, то есть равными 3. Получаем число $3,6333\dots = 3,6(3)$. Сравнивая два найденных числа, $3,6(3)$ и $3,7(3)$, видим, что $3,6(3) < 3,7(3)$. Следовательно, искомое наименьшее число — это $3,6(3)$. Это число можно представить в виде обыкновенной дроби. Пусть $x = 3,6(3)$. Тогда $10x = 36,(3)$ и $100x = 363,(3)$. Вычитая из второго равенства первое, получаем $90x = 327$, откуда $x = 327/90 = 109/30$.

Ответ: $3,6(3)$ или $109/30$.

863. Укажите все числа $a$ и $b$, для которых верно равенство:

а) $a + b = 0$;

б) $a - b = 0$;

в) $a \cdot b = 0$;

г) $a \cdot b = b$.

а) Равенство $a + b = 0$ означает, что сумма двух чисел равна нулю. Это возможно только в том случае, если числа являются противоположными друг другу. То есть, для любого числа $b$ должно выполняться условие $a = -b$, или, наоборот, для любого числа $a$ должно выполняться $b = -a$. Например, если $a = 5$, то $b = -5$; если $b = -10$, то $a = 10$.

Ответ: $a$ и $b$ — любые противоположные числа (т.е. $a = -b$).

б) Равенство $a - b = 0$ означает, что разность двух чисел равна нулю. Это возможно только в том случае, если числа равны между собой. Перенеся $b$ в правую часть уравнения, получим $a = b$. Например, если $a = 3$, то и $b = 3$; если $b = -1.5$, то и $a = -1.5$.

Ответ: $a$ и $b$ — любые равные числа (т.е. $a = b$).

в) Равенство $a \cdot b = 0$ означает, что произведение двух чисел равно нулю. Согласно свойству нуля, произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, данное равенство верно, если либо $a = 0$ (при любом значении $b$), либо $b = 0$ (при любом значении $a$), либо они оба равны нулю.

Ответ: хотя бы одно из чисел равно нулю (т.е. $a = 0$ или $b = 0$).

г) Рассмотрим равенство $a \cdot b = b$. Перенесём все члены в левую часть уравнения: $a \cdot b - b = 0$. Вынесем общий множитель $b$ за скобки: $b(a - 1) = 0$. Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Следовательно, у нас есть два случая: либо $b = 0$, либо $a - 1 = 0$. Если $b = 0$, то равенство $a \cdot 0 = 0$ верно для любого числа $a$. Если $a - 1 = 0$, то $a = 1$, и равенство $1 \cdot b = b$ верно для любого числа $b$.

Ответ: $a = 1$ (при любом $b$) или $b = 0$ (при любом $a$).

864. Упростите выражения $a + |a|$ и $a - |a|$, если:

а) $a > 0$;

б) $a = 0$;

в) $a < 0$.

Для упрощения данных выражений мы будем использовать определение модуля числа. Модуль числа $a$, обозначаемый как $|a|$, определяется следующим образом:

$|a| = \begin{cases} a, & \text{если } a \ge 0 \\ -a, & \text{если } a < 0 \end{cases}$

Рассмотрим каждый случай отдельно.

а) Если $a > 0$, то число $a$ является положительным. Согласно определению модуля, для положительного числа $a$ справедливо равенство $|a| = a$.
Теперь подставим это значение в исходные выражения:
1. Для выражения $a + |a|$:
$a + |a| = a + a = 2a$
2. Для выражения $a - |a|$:
$a - |a| = a - a = 0$
Ответ: $2a$ и $0$.

б) Если $a = 0$, то по определению модуля $|0| = 0$.
Подставим значения $a=0$ и $|a|=0$ в исходные выражения:
1. Для выражения $a + |a|$:
$a + |a| = 0 + 0 = 0$
2. Для выражения $a - |a|$:
$a - |a| = 0 - 0 = 0$
Ответ: $0$ и $0$.

в) Если $a < 0$, то число $a$ является отрицательным. Согласно определению модуля, для отрицательного числа $a$ справедливо равенство $|a| = -a$. (Например, если $a = -5$, то $|-5| = -(-5) = 5$).
Теперь подставим это значение в исходные выражения:
1. Для выражения $a + |a|$:
$a + |a| = a + (-a) = a - a = 0$
2. Для выражения $a - |a|$:
$a - |a| = a - (-a) = a + a = 2a$
Ответ: $0$ и $2a$.

865. а) Вычислите длину окружности радиуса 2 см с точностью до второго знака после запятой.

б) Вычислите площадь круга радиуса 3 см с точностью до первого знака после запятой.

а) Для вычисления длины окружности используется формула $C = 2 \pi r$, где $C$ – длина окружности, $r$ – ее радиус, а $\pi$ (пи) – математическая константа, приблизительно равная $3.14159...$

По условию задачи, радиус окружности $r = 2$ см. Подставим это значение в формулу:

$C = 2 \times \pi \times 2 = 4\pi$ см.

Чтобы получить числовое значение, умножим 4 на приближенное значение $\pi$:

$C = 4 \times 3.14159... \approx 12.56636...$ см.

Теперь необходимо округлить полученный результат с точностью до второго знака после запятой. Смотрим на третью цифру после запятой – это 6. Так как $6 \ge 5$, то вторую цифру после запятой увеличиваем на единицу:

$12.566... \approx 12.57$ см.

Ответ: $12.57$ см.

б) Для вычисления площади круга используется формула $S = \pi r^2$, где $S$ – площадь круга, а $r$ – его радиус.

По условию задачи, радиус круга $r = 3$ см. Подставим это значение в формулу:

$S = \pi \times 3^2 = 9\pi$ см$^2$.

Чтобы получить числовое значение, умножим 9 на приближенное значение $\pi$:

$S = 9 \times 3.14159... \approx 28.27431...$ см$^2$.

Теперь необходимо округлить полученный результат с точностью до первого знака после запятой. Смотрим на вторую цифру после запятой – это 7. Так как $7 \ge 5$, то первую цифру после запятой увеличиваем на единицу:

$28.27... \approx 28.3$ см$^2$.

Ответ: $28.3$ см$^2$.

866. Вычислите:

а) $12,5(67) - 12,5(67)$;

б) $6,7(89) \cdot 0$;

в) $4,51(2) : 1$;

г) $0 : 0,0(654)$.

а) В данном выражении $12,5(67) - 12,5(67)$ из числа вычитается оно само. Результатом такого действия всегда является ноль, так как любое число, вычтенное из самого себя, равно нулю.
$12,5(67) - 12,5(67) = 0$
Ответ: $0$.

б) В данном выражении $6,7(89) \cdot 0$ число умножается на ноль. Согласно основному свойству умножения, произведение любого числа на ноль всегда равно нулю.
$6,7(89) \cdot 0 = 0$
Ответ: $0$.

в) В данном выражении $4,51(2) : 1$ число делится на единицу. При делении любого числа на единицу результатом является само это число.
$4,51(2) : 1 = 4,51(2)$
Ответ: $4,51(2)$.

г) В данном выражении $0 : 0,0(654)$ ноль делится на ненулевое число. Число $0,0(654)$ — это периодическая дробь, которая не равна нулю. При делении нуля на любое число, отличное от нуля, в результате всегда получается ноль.
$0 : 0,0(654) = 0$
Ответ: $0$.

867. Из сборника задач для гимназий (XIX в.).

a) Умножьте

$\frac{4,5 + 2\frac{3}{5}}{(3,6 - 0,63) : (3,2 + 8,68)} + \frac{13,464}{0,36}$ на $0,1 : \left( \frac{(1,09 - 0,29) \cdot 1\frac{1}{4}}{(18,9 - 16\frac{13}{20}) \cdot \frac{8}{9}} + \frac{(11,81 + 8,19) \cdot 0,02}{9 : 11,25} \right)$

б) Сложите

$\frac{\left(8\frac{7}{55} - 6,15454...\right) \cdot 1\frac{3}{217}}{(0,4 - 0,15) : \frac{1}{4}}$ и $\frac{\left(3\frac{5}{8} + 1,375\right) : 0,5}{2\frac{3}{4} : \left(3\frac{7}{20} - 2,8\right)}$

в) Разделите

$7\frac{1}{2} + 6,833... + 5,(6) + \frac{13\frac{3}{4} + 12\frac{1}{2}}{0,5 - 0,0625} - \frac{\frac{2}{9} + 3,611...}{1,9166... - \frac{5}{6}} - 42\frac{6}{13}$ на частное

от деления $\frac{(6 - 4,5) : 0,003}{(3,05 - 2,65) \cdot 20} - \frac{(0,3 - 0,15) \cdot 1\frac{1}{2}}{(1,88 + 2,12) \cdot 0,125}$ на 62,05.

а) Умножьте $\left( \frac{(4,5 + 2\frac{3}{5}) \cdot (17 - 15,5)}{(3,6 - 0,63) : (3,2 + 8,68)} + \frac{13,464}{0,36} \right)$ на $\left( 0,1 : \left( \frac{(1,09 - 0,29) \cdot 1\frac{1}{4}}{(18,9 - 16\frac{13}{20}) \cdot \frac{8}{9}} + \frac{(11,81 + 8,19) \cdot 0,02}{9 : 11,25} \right) \right)$

Для решения данного примера необходимо выполнить действия по порядку. Сначала вычислим значение первого множителя, затем второго, и после этого перемножим полученные результаты.

1. Вычисление первого множителя:

Выражение: $\left( \frac{(4,5 + 2\frac{3}{5}) \cdot (17 - 15,5)}{(3,6 - 0,63) : (3,2 + 8,68)} + \frac{13,464}{0,36} \right)$

Выполним действия в числителе первой дроби:

$4,5 + 2\frac{3}{5} = 4,5 + 2,6 = 7,1$

$17 - 15,5 = 1,5$

$7,1 \cdot 1,5 = 10,65$

Выполним действия в знаменателе первой дроби:

$3,6 - 0,63 = 2,97$

$3,2 + 8,68 = 11,88$

$2,97 : 11,88 = \frac{297}{1188} = \frac{1}{4} = 0,25$

Теперь вычислим значение первой дроби:

$\frac{10,65}{0,25} = 42,6$

Вычислим второе слагаемое:

$\frac{13,464}{0,36} = \frac{1346,4}{36} = 37,4$

Сложим полученные значения:

$42,6 + 37,4 = 80$

Итак, первый множитель равен 80.

2. Вычисление второго множителя:

Выражение: $0,1 : \left( \frac{(1,09 - 0,29) \cdot 1\frac{1}{4}}{(18,9 - 16\frac{13}{20}) \cdot \frac{8}{9}} + \frac{(11,81 + 8,19) \cdot 0,02}{9 : 11,25} \right)$

Вычислим выражение в скобках. Сначала первое слагаемое (первая дробь):

Числитель: $(1,09 - 0,29) \cdot 1\frac{1}{4} = 0,8 \cdot 1,25 = 1$

Знаменатель: $(18,9 - 16\frac{13}{20}) \cdot \frac{8}{9} = (18,9 - 16,65) \cdot \frac{8}{9} = 2,25 \cdot \frac{8}{9} = \frac{9}{4} \cdot \frac{8}{9} = 2$

Значение первой дроби: $\frac{1}{2} = 0,5$

Теперь второе слагаемое (вторая дробь):

Числитель: $(11,81 + 8,19) \cdot 0,02 = 20 \cdot 0,02 = 0,4$

Знаменатель: $9 : 11,25 = \frac{9}{11,25} = \frac{900}{1125} = \frac{4}{5} = 0,8$

Значение второй дроби: $\frac{0,4}{0,8} = 0,5$

Сложим значения дробей в скобках:

$0,5 + 0,5 = 1$

Теперь выполним деление:

$0,1 : 1 = 0,1$

Итак, второй множитель равен 0,1.

3. Умножим первый множитель на второй:

$80 \cdot 0,1 = 8$

Ответ: 8

б) Сложите $\frac{(8\frac{7}{55} - 6,15454...) \cdot 1\frac{3}{217}}{(0,4 - 0,15) : \frac{1}{4}}$ и $\frac{(3\frac{5}{8} + 1,375) : 0,5}{2\frac{3}{4} : (3\frac{7}{20} - 2,8)}$

Вычислим значение каждого из двух выражений, а затем сложим их.

1. Вычисление первого выражения:

Сначала преобразуем периодическую дробь в обыкновенную: $6,15454... = 6,1(54) = 6\frac{154-1}{990} = 6\frac{153}{990} = 6\frac{17}{110} = \frac{677}{110}$.

Выполним действия в числителе:

$8\frac{7}{55} - \frac{677}{110} = \frac{447}{55} - \frac{677}{110} = \frac{894}{110} - \frac{677}{110} = \frac{217}{110}$

$1\frac{3}{217} = \frac{217+3}{217} = \frac{220}{217}$

Произведение в числителе: $\frac{217}{110} \cdot \frac{220}{217} = \frac{220}{110} = 2$

Выполним действия в знаменателе:

$(0,4 - 0,15) : \frac{1}{4} = 0,25 : 0,25 = 1$

Значение первого выражения: $\frac{2}{1} = 2$.

2. Вычисление второго выражения:

Выполним действия в числителе:

$3\frac{5}{8} + 1,375 = 3,625 + 1,375 = 5$

$5 : 0,5 = 10$

Выполним действия в знаменателе:

$3\frac{7}{20} - 2,8 = 3,35 - 2,8 = 0,55$

$2\frac{3}{4} : 0,55 = 2,75 : 0,55 = \frac{275}{55} = 5$

Значение второго выражения: $\frac{10}{5} = 2$.

3. Сложим полученные результаты:

$2 + 2 = 4$

Ответ: 4

в) Разделите $\left( 7\frac{1}{2} + 6,833... + 5,(6) + \frac{13\frac{3}{4} + 12\frac{1}{2}}{0,5 - 0,0625} - \frac{\frac{2}{9} + 3,611...}{1,9166... - \frac{5}{6}} - 42\frac{6}{13} \right)$ на частное от деления $\left( \frac{(6-4,5):0,003}{(3,05-2,65) \cdot 20} - \frac{(0,3-0,15) \cdot 1\frac{1}{2}}{(1,88+2,12) \cdot 0,125} \right)$ на $62,05$

Требуется разделить значение первого сложного выражения (делимое) на значение второго (делитель).

1. Вычисление делимого:

Вычислим каждое слагаемое по отдельности, преобразовав периодические десятичные дроби в обыкновенные:

$7\frac{1}{2} = \frac{15}{2}$

$6,833... = 6,8(3) = 6\frac{83-8}{90} = 6\frac{75}{90} = 6\frac{5}{6} = \frac{41}{6}$

$5,(6) = 5\frac{6}{9} = 5\frac{2}{3} = \frac{17}{3}$

Сумма первых трех слагаемых: $\frac{15}{2} + \frac{41}{6} + \frac{17}{3} = \frac{45}{6} + \frac{41}{6} + \frac{34}{6} = \frac{45+41+34}{6} = \frac{120}{6} = 20$.

Вычислим четвертое слагаемое (первая большая дробь):

Числитель: $13\frac{3}{4} + 12\frac{1}{2} = 13,75 + 12,5 = 26,25$

Знаменатель: $0,5 - 0,0625 = 0,4375$

Значение дроби: $\frac{26,25}{0,4375} = \frac{262500}{4375} = 60$

Вычислим пятое слагаемое (вторая большая дробь):

Преобразуем периодические дроби: $3,611... = 3,6(1) = 3\frac{61-6}{90} = 3\frac{55}{90} = 3\frac{11}{18} = \frac{65}{18}$ и $1,9166... = 1,91(6) = 1\frac{916-91}{900} = 1\frac{825}{900} = 1\frac{11}{12} = \frac{23}{12}$.

Числитель: $\frac{2}{9} + \frac{65}{18} = \frac{4}{18} + \frac{65}{18} = \frac{69}{18} = \frac{23}{6}$

Знаменатель: $\frac{23}{12} - \frac{5}{6} = \frac{23}{12} - \frac{10}{12} = \frac{13}{12}$

Значение дроби: $\frac{23/6}{13/12} = \frac{23}{6} \cdot \frac{12}{13} = \frac{46}{13}$

Вычислим шестое слагаемое: $42\frac{6}{13} = \frac{42 \cdot 13 + 6}{13} = \frac{546+6}{13} = \frac{552}{13}$

Теперь соберем все вместе:

$20 + 60 - \frac{46}{13} - \frac{552}{13} = 80 - \left(\frac{46+552}{13}\right) = 80 - \frac{598}{13} = 80 - 46 = 34$.

Итак, делимое равно 34.

2. Вычисление делителя:

Делитель - это частное от деления выражения в скобках на 62,05. Сначала вычислим значение выражения в скобках.

Первая дробь (уменьшаемое): $\frac{(6-4,5):0,003}{(3,05-2,65) \cdot 20} = \frac{1,5:0,003}{0,4 \cdot 20} = \frac{500}{8} = 62,5$.

Вторая дробь (вычитаемое): $\frac{(0,3-0,15) \cdot 1\frac{1}{2}}{(1,88+2,12) \cdot 0,125} = \frac{0,15 \cdot 1,5}{4 \cdot 0,125} = \frac{0,225}{0,5} = 0,45$.

Вычислим разность: $62,5 - 0,45 = 62,05$.

Теперь найдем частное, которое является делителем: $62,05 : 62,05 = 1$.

Итак, делитель равен 1.

3. Выполним итоговое деление:

$\frac{34}{1} = 34$

Ответ: 34