Страница 242 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

911. Преобразуйте выражение в многочлен:

а) $ (a + b + c)^2 $;

б) $ (x + y - z)^2 $;

в) $ (m + n + k)^2 $;

г) $ (a - b - c)^2 $;

д) $ (p + x + c + d)^2 $;

е) $ (a + m - k - q)^2 $.

Для решения данных задач используется формула квадрата суммы. В общем виде для $n$ слагаемых она выглядит так:

$(a_1 + a_2 + ... + a_n)^2 = a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2 + 2a_1a_2 + 2a_1a_3 + ...$

То есть, квадрат суммы нескольких слагаемых равен сумме квадратов всех слагаемых плюс удвоенная сумма всех возможных попарных произведений этих слагаемых.

а) Чтобы преобразовать выражение $(a + b + c)^2$ в многочлен, используем формулу квадрата суммы трех слагаемых: $(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz$.

В нашем случае $x=a$, $y=b$, и $z=c$. Применяем формулу:

$(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$.

Ответ: $a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$

б) Преобразуем выражение $(x + y - z)^2$. Его можно представить как $(x + y + (-z))^2$.

Используем ту же формулу квадрата суммы трех слагаемых, где в качестве слагаемых выступают $x$, $y$ и $-z$:

$(x + y + (-z))^2 = x^2 + y^2 + (-z)^2 + 2(x)(y) + 2(x)(-z) + 2(y)(-z)$

Упрощаем выражение, учитывая знаки:

$x^2 + y^2 + z^2 + 2xy - 2xz - 2yz$

Ответ: $x^2 + y^2 + z^2 + 2xy - 2xz - 2yz$

в) Выражение $(m + n + k)^2$ полностью аналогично пункту а).

Используем формулу квадрата суммы трех слагаемых $(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz$, где $x=m$, $y=n$, $z=k$:

$(m+n+k)^2 = m^2 + n^2 + k^2 + 2mn + 2mk + 2nk$.

Ответ: $m^2 + n^2 + k^2 + 2mn + 2mk + 2nk$

г) Преобразуем выражение $(a - b - c)^2$. Представим его как $(a + (-b) + (-c))^2$.

Применяем формулу квадрата суммы трех слагаемых, где слагаемые равны $a$, $-b$ и $-c$:

$(a + (-b) + (-c))^2 = a^2 + (-b)^2 + (-c)^2 + 2(a)(-b) + 2(a)(-c) + 2(-b)(-c)$

Упрощаем, обращая внимание на знаки при перемножении:

$a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2ac + 2bc$

Ответ: $a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2ac + 2bc$

д) Для преобразования выражения $(p + x + c + d)^2$, содержащего четыре слагаемых, используем общую формулу квадрата суммы.

Формула для четырех слагаемых: $(a+b+c+d)^2 = a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd$.

В нашем случае слагаемые это $p, x, c, d$. Применяем формулу:

$(p + x + c + d)^2 = p^2 + x^2 + c^2 + d^2 + 2px + 2pc + 2pd + 2xc + 2xd + 2cd$

Ответ: $p^2 + x^2 + c^2 + d^2 + 2px + 2pc + 2pd + 2xc + 2xd + 2cd$

е) Преобразуем выражение $(a + m - k - q)^2$. Представим его как сумму $(a + m + (-k) + (-q))^2$.

Используем формулу квадрата суммы четырех слагаемых, где слагаемые равны $a$, $m$, $-k$ и $-q$.

$(a + m + (-k) + (-q))^2 = a^2 + m^2 + (-k)^2 + (-q)^2 + 2(a)(m) + 2(a)(-k) + 2(a)(-q) + 2(m)(-k) + 2(m)(-q) + 2(-k)(-q)$

Упрощаем полученное выражение, внимательно следя за знаками:

$a^2 + m^2 + k^2 + q^2 + 2am - 2ak - 2aq - 2mk - 2mq + 2kq$

Ответ: $a^2 + m^2 + k^2 + q^2 + 2am - 2ak - 2aq - 2mk - 2mq + 2kq$

912. Упростите выражение:

a) $(2x + y - 3z)^2 - (x - 2y + 2z)^2;$

б) $(m - 4n + 5z)^2 - (3m - n - 3k)^2;$

в) $(4 - 2p + q^2)^2 - (3p^2 - 5q + 7)^2;$

г) $(a + b + c)^2 + (a - b - c)^2 + (b - a - c)^2 + (c - a - b)^2.$

а) Данное выражение представляет собой разность квадратов вида $A^2 - B^2$, которую можно упростить по формуле $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
В нашем случае $A = 2x + y - 3z$ и $B = x - 2y + 2z$.
Найдем $A - B$ и $A + B$:
$A - B = (2x + y - 3z) - (x - 2y + 2z) = 2x + y - 3z - x + 2y - 2z = x + 3y - 5z$.
$A + B = (2x + y - 3z) + (x - 2y + 2z) = 2x + y - 3z + x - 2y + 2z = 3x - y - z$.
Теперь перемножим полученные выражения:
$(x + 3y - 5z)(3x - y - z) = x(3x - y - z) + 3y(3x - y - z) - 5z(3x - y - z) = $
$= 3x^2 - xy - xz + 9xy - 3y^2 - 3yz - 15xz + 5yz + 5z^2$.
Приведем подобные слагаемые:
$3x^2 - 3y^2 + 5z^2 + (-xy + 9xy) + (-xz - 15xz) + (-3yz + 5yz) = $
$= 3x^2 - 3y^2 + 5z^2 + 8xy - 16xz + 2yz$.
Ответ: $3x^2 - 3y^2 + 5z^2 + 8xy - 16xz + 2yz$.

б) В данном выражении $(m - 4n + 5z)^2 - (3m - n - 3k)^2$ воспользуемся формулой квадрата трехчлена $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$ для раскрытия каждой скобки, а затем приведем подобные слагаемые.
Раскроем первую скобку:
$(m - 4n + 5z)^2 = m^2 + (-4n)^2 + (5z)^2 + 2(m)(-4n) + 2(m)(5z) + 2(-4n)(5z) = $
$= m^2 + 16n^2 + 25z^2 - 8mn + 10mz - 40nz$.
Раскроем вторую скобку:
$(3m - n - 3k)^2 = (3m)^2 + (-n)^2 + (-3k)^2 + 2(3m)(-n) + 2(3m)(-3k) + 2(-n)(-3k) = $
$= 9m^2 + n^2 + 9k^2 - 6mn - 18mk + 6nk$.
Вычтем второе выражение из первого:
$(m^2 + 16n^2 + 25z^2 - 8mn + 10mz - 40nz) - (9m^2 + n^2 + 9k^2 - 6mn - 18mk + 6nk) = $
$= m^2 + 16n^2 + 25z^2 - 8mn + 10mz - 40nz - 9m^2 - n^2 - 9k^2 + 6mn + 18mk - 6nk$.
Приведем подобные слагаемые:
$(m^2 - 9m^2) + (16n^2 - n^2) + 25z^2 - 9k^2 + (-8mn + 6mn) + 10mz - 40nz + 18mk - 6nk = $
$= -8m^2 + 15n^2 + 25z^2 - 9k^2 - 2mn + 18mk - 6nk + 10mz - 40nz$.
Ответ: $-8m^2 + 15n^2 - 9k^2 + 25z^2 - 2mn + 18mk - 6nk + 10mz - 40nz$.

в) Для упрощения выражения $(4 - 2p + q^2)^2 - (3p^2 - 5q + 7)^2$ раскроем каждый квадрат трехчлена, а затем вычтем одно из другого.
Раскроем первую скобку:
$(4 - 2p + q^2)^2 = 4^2 + (-2p)^2 + (q^2)^2 + 2(4)(-2p) + 2(4)(q^2) + 2(-2p)(q^2) = $
$= 16 + 4p^2 + q^4 - 16p + 8q^2 - 4pq^2$.
Раскроем вторую скобку:
$(3p^2 - 5q + 7)^2 = (3p^2)^2 + (-5q)^2 + 7^2 + 2(3p^2)(-5q) + 2(3p^2)(7) + 2(-5q)(7) = $
$= 9p^4 + 25q^2 + 49 - 30p^2q + 42p^2 - 70q$.
Вычтем второе выражение из первого и приведем подобные слагаемые:
$(16 + 4p^2 + q^4 - 16p + 8q^2 - 4pq^2) - (9p^4 + 25q^2 + 49 - 30p^2q + 42p^2 - 70q) = $
$= 16 + 4p^2 + q^4 - 16p + 8q^2 - 4pq^2 - 9p^4 - 25q^2 - 49 + 30p^2q - 42p^2 + 70q = $
$= -9p^4 + q^4 + 30p^2q - 4pq^2 + (4p^2 - 42p^2) + (8q^2 - 25q^2) - 16p + 70q + (16 - 49) = $
$= -9p^4 + q^4 + 30p^2q - 4pq^2 - 38p^2 - 17q^2 - 16p + 70q - 33$.
Ответ: $-9p^4 + q^4 + 30p^2q - 4pq^2 - 38p^2 - 17q^2 - 16p + 70q - 33$.

г) Раскроем каждую скобку в выражении $(a + b + c)^2 + (a - b - c)^2 + (b - a - c)^2 + (c - a - b)^2$, используя формулу квадрата суммы/разности трех слагаемых.
Обратим внимание, что $(b - a - c)^2 = (-(a - b + c))^2 = (a - b + c)^2$ и $(c - a - b)^2 = (-(a + b - c))^2 = (a + b - c)^2$.
Таким образом, выражение можно переписать как:
$(a + b + c)^2 + (a - b - c)^2 + (a - b + c)^2 + (a + b - c)^2$.
Теперь раскроем каждую скобку:
1. $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$
2. $(a - b - c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2ac + 2bc$
3. $(a - b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 - 2ab + 2ac - 2bc$
4. $(a + b - c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - 2ac - 2bc$
Сложим все четыре выражения. Сгруппируем подобные слагаемые:
Сумма квадратов: $(a^2+a^2+a^2+a^2) + (b^2+b^2+b^2+b^2) + (c^2+c^2+c^2+c^2) = 4a^2 + 4b^2 + 4c^2$.
Сумма членов с $ab$: $2ab - 2ab - 2ab + 2ab = 0$.
Сумма членов с $ac$: $2ac - 2ac + 2ac - 2ac = 0$.
Сумма членов с $bc$: $2bc + 2bc - 2bc - 2bc = 0$.
Сложив все результаты, получаем: $4a^2 + 4b^2 + 4c^2$.
Ответ: $4a^2 + 4b^2 + 4c^2$.

913. Вместо А, В и С подберите одночлены так, чтобы выполнялось равенство:

а) $2x^2 + 7x - 15 = (2x - 3)(x + A);$

б) $(8 - 2x)(4 - x) = A - 16x + 32;$

в) $(3a^2 - b)(4b - a^2) = -3a^4 + A - 4b^2;$

г) $(4x^2y^2 + A)^2 = B + C + 0,01y^8;$

д) $(8a^4b^3 - A)^2 = B - C + 0,16b^4.$

а) Для того чтобы найти одночлен $A$, раскроем скобки в правой части равенства и приведем подобные слагаемые:
$(2x - 3)(x + A) = 2x \cdot x + 2x \cdot A - 3 \cdot x - 3 \cdot A = 2x^2 + 2Ax - 3x - 3A = 2x^2 + (2A - 3)x - 3A$.
Теперь у нас есть равенство: $2x^2 + 7x - 15 = 2x^2 + (2A - 3)x - 3A$.
Два многочлена равны, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях переменной. Приравняем коэффициенты при $x$ и свободные члены:
$7 = 2A - 3$
$-15 = -3A$
Из второго уравнения легко найти $A$: $A = \frac{-15}{-3} = 5$.
Проверим, подставив это значение в первое уравнение: $7 = 2(5) - 3$, $7 = 10 - 3$, $7 = 7$. Равенство выполняется.
Ответ: $A = 5$.

б) Раскроем скобки в левой части равенства:
$(8 - 2x)(4 - x) = 8 \cdot 4 - 8 \cdot x - 2x \cdot 4 - 2x \cdot (-x) = 32 - 8x - 8x + 2x^2 = 2x^2 - 16x + 32$.
Приравняем полученное выражение к правой части: $2x^2 - 16x + 32 = A - 16x + 32$.
Сравнивая левую и правую части, мы видим, что слагаемые $-16x$ и $+32$ совпадают. Следовательно, оставшиеся части также должны быть равны.
$A = 2x^2$.
Ответ: $A = 2x^2$.

в) Раскроем скобки в левой части равенства, перемножив многочлены:
$(3a^2 - b)(4b - a^2) = 3a^2 \cdot 4b + 3a^2 \cdot (-a^2) - b \cdot 4b - b \cdot (-a^2) = 12a^2b - 3a^4 - 4b^2 + a^2b$.
Приведем подобные слагаемые: $-3a^4 + (12a^2b + a^2b) - 4b^2 = -3a^4 + 13a^2b - 4b^2$.
Приравняем это выражение к правой части исходного равенства: $-3a^4 + 13a^2b - 4b^2 = -3a^4 + A - 4b^2$.
Сравнивая обе части, видим, что члены $-3a^4$ и $-4b^2$ совпадают. Значит, и остальные члены должны быть равны.
$A = 13a^2b$.
Ответ: $A = 13a^2b$.

г) В левой части равенства находится квадрат суммы. Используем формулу $(p+q)^2 = p^2 + 2pq + q^2$.
$(4x^2y^2 + A)^2 = (4x^2y^2)^2 + 2 \cdot 4x^2y^2 \cdot A + A^2 = 16x^4y^4 + 8x^2y^2A + A^2$.
Приравняем к правой части: $16x^4y^4 + 8x^2y^2A + A^2 = B + C + 0,01y^8$.
Чтобы равенство выполнялось, необходимо, чтобы слагаемые в обеих частях были равны. Сопоставим члены с одинаковыми переменными. Логично предположить, что $A^2$ соответствует $0,01y^8$.
$A^2 = 0,01y^8 = (0,1y^4)^2$.
Отсюда находим $A = 0,1y^4$.
Остальные слагаемые $B$ и $C$ соответствуют $16x^4y^4$ и $8x^2y^2A$.
$B = 16x^4y^4$.
$C = 8x^2y^2A = 8x^2y^2(0,1y^4) = 0,8x^2y^6$.
Ответ: $A = 0,1y^4$, $B = 16x^4y^4$, $C = 0,8x^2y^6$.

д) В левой части равенства находится квадрат разности. Используем формулу $(p-q)^2 = p^2 - 2pq + q^2$.
$(8a^4b^3 - A)^2 = (8a^4b^3)^2 - 2 \cdot 8a^4b^3 \cdot A + A^2 = 64a^8b^6 - 16a^4b^3A + A^2$.
Приравняем к правой части: $64a^8b^6 - 16a^4b^3A + A^2 = B - C + 0,16b^4$.
Сопоставим слагаемые. Слагаемое со знаком плюс $A^2$ в левой части должно соответствовать слагаемому со знаком плюс $0,16b^4$ в правой.
$A^2 = 0,16b^4 = (0,4b^2)^2$.
Отсюда находим $A = 0,4b^2$.
Подставим $A$ в раскрытое выражение левой части: $64a^8b^6 - 16a^4b^3(0,4b^2) + (0,4b^2)^2 = 64a^8b^6 - 6,4a^4b^5 + 0,16b^4$.
Теперь приравняем к правой части исходного равенства: $64a^8b^6 - 6,4a^4b^5 + 0,16b^4 = B - C + 0,16b^4$.
Сократив $0,16b^4$ с обеих сторон, получаем: $64a^8b^6 - 6,4a^4b^5 = B - C$.
Отсюда, сопоставляя члены, находим $B$ и $C$.
$B = 64a^8b^6$.
$C = 6,4a^4b^5$.
Ответ: $A = 0,4b^2$, $B = 64a^8b^6$, $C = 6,4a^4b^5$.

914. Выделите полный квадрат из двучлена:

а) $x^2 + 4x + 1$;

б) $4b^2 + 8b + 6$;

в) $a^2 - 2a + 3$.

а) Чтобы выделить полный квадрат из выражения $x^2 + 4x + 1$, воспользуемся формулой квадрата суммы: $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.

В нашем выражении $x^2 + 4x + 1$ первый член $x^2$ соответствует $A^2$, значит $A=x$.

Второй член $4x$ соответствует удвоенному произведению $2AB$. Подставив $A=x$, получаем $2 \cdot x \cdot B = 4x$, откуда находим $B=2$.

Для полного квадрата нам не хватает третьего члена $B^2 = 2^2 = 4$.

Представим исходное выражение, добавив и вычтя 4, чтобы не изменить его значение:

$x^2 + 4x + 1 = (x^2 + 4x + 4) - 4 + 1$

Выражение в скобках теперь является полным квадратом $(x+2)^2$. Упростим оставшуюся часть:

$(x^2 + 4x + 4) - 3 = (x+2)^2 - 3$

Ответ: $(x+2)^2 - 3$

б) Рассмотрим выражение $4b^2 + 8b + 6$.

Сначала вынесем общий множитель 4 из первых двух слагаемых, содержащих переменную:

$4b^2 + 8b + 6 = 4(b^2 + 2b) + 6$

Теперь выделим полный квадрат в выражении $b^2+2b$. Используем формулу $(A+B)^2 = A^2+2AB+B^2$. Здесь $A=b$, а $2AB=2b$, значит $B=1$. Нам нужен член $B^2=1^2=1$. Добавим и вычтем 1 внутри скобок:

$4(b^2 + 2b + 1 - 1) + 6$

Сгруппируем первые три члена в скобках, которые образуют полный квадрат $(b+1)^2$:

$4((b^2 + 2b + 1) - 1) + 6 = 4((b+1)^2 - 1) + 6$

Раскроем внешние скобки и упростим выражение:

$4(b+1)^2 - 4 \cdot 1 + 6 = 4(b+1)^2 + 2$

Ответ: $4(b+1)^2 + 2$

в) Выделим полный квадрат из выражения $a^2 - 2a + 3$. Будем использовать формулу квадрата разности: $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.

В нашем выражении $a^2 - 2a + 3$ первый член $a^2$ соответствует $A^2$, значит $A=a$.

Второй член $-2a$ соответствует $-2AB$. Подставив $A=a$, получаем $-2 \cdot a \cdot B = -2a$, откуда находим $B=1$.

Для полного квадрата нам нужен третий член $B^2 = 1^2 = 1$.

Представим свободный член 3 в виде суммы $1+2$:

$a^2 - 2a + 3 = (a^2 - 2a + 1) + 2$

Выражение в скобках теперь является полным квадратом $(a-1)^2$.

Таким образом, выражение принимает вид:

$(a-1)^2 + 2$

Ответ: $(a-1)^2 + 2$

Доказываем (915—918).

915. Докажите, что:

а) квадрат нечётного натурального числа есть число нечётное;

б) при $A = m - 1$ выражение $A^2 + A + m$ является полным квадратом;

в) для любого целого $n$ произведение $n(n + 1)(2n + 1)$ делится на 6;

г) сумма двух последовательных нечётных чисел делится на 4;

д) разность квадратов двух любых нечётных чисел делится на 4;

е) квадрат нечётного числа, уменьшенный на единицу, делится на 8;

ж) разность куба натурального числа и самого числа делится на 6.

а) Пусть дано нечётное натуральное число $n$. Любое нечётное число можно представить в виде $n = 2k + 1$, где $k$ — целое неотрицательное число ($k \ge 0$). Возведём это число в квадрат: $n^2 = (2k + 1)^2 = (2k)^2 + 2 \cdot 2k \cdot 1 + 1^2 = 4k^2 + 4k + 1$. Вынесем 2 за скобки у первых двух слагаемых: $n^2 = 2(2k^2 + 2k) + 1$. Пусть $m = 2k^2 + 2k$. Так как $k$ — целое число, то $m$ тоже целое число. Тогда $n^2 = 2m + 1$. Число вида $2m + 1$ по определению является нечётным.
Ответ: Квадрат нечётного натурального числа есть число нечётное, что и требовалось доказать.

б) Рассмотрим выражение $A^2 + A + m$. Подставим в него значение $A = m - 1$: $(m - 1)^2 + (m - 1) + m$. Раскроем скобки и упростим выражение: $(m^2 - 2m + 1) + (m - 1) + m = m^2 - 2m + 1 + m - 1 + m = m^2 + (-2m + m + m) + (1 - 1) = m^2$. Результат $m^2$ является квадратом числа $m$.
Ответ: При $A = m - 1$ выражение $A^2 + A + m$ является полным квадратом, а именно $m^2$.

в) Чтобы доказать, что произведение $n(n + 1)(2n + 1)$ делится на 6, нужно доказать, что оно делится на 2 и на 3, так как 2 и 3 — взаимно простые числа.
1. Делимость на 2: В произведении есть множитель $n(n+1)$. Это произведение двух последовательных целых чисел. Одно из них обязательно чётное, следовательно, их произведение делится на 2. Значит, и всё выражение $n(n + 1)(2n + 1)$ делится на 2.
2. Делимость на 3: Рассмотрим три случая в зависимости от остатка от деления $n$ на 3:

• Если $n$ делится на 3 ($n = 3k$), то всё произведение делится на 3.
• Если $n$ даёт остаток 1 при делении на 3 ($n = 3k + 1$), то множитель $2n + 1 = 2(3k + 1) + 1 = 6k + 2 + 1 = 6k + 3 = 3(2k + 1)$ делится на 3. Следовательно, всё произведение делится на 3.
• Если $n$ даёт остаток 2 при делении на 3 ($n = 3k + 2$), то множитель $n + 1 = (3k + 2) + 1 = 3k + 3 = 3(k + 1)$ делится на 3. Следовательно, всё произведение делится на 3.

В любом случае произведение делится на 3.
Так как выражение делится и на 2, и на 3, оно делится на 6.
Ответ: Для любого целого $n$ произведение $n(n + 1)(2n + 1)$ делится на 6, что и требовалось доказать.

г) Пусть первое нечётное число равно $2k + 1$, где $k$ — целое число. Следующее за ним нечётное число будет $2k + 1 + 2 = 2k + 3$. Найдём их сумму: $(2k + 1) + (2k + 3) = 4k + 4$. Вынесем 4 за скобки: $4(k + 1)$. Так как $k$ — целое, то $k + 1$ тоже целое. Значит, полученная сумма является произведением целого числа на 4, то есть делится на 4.
Ответ: Сумма двух последовательных нечётных чисел делится на 4, что и требовалось доказать.

д) Пусть даны два нечётных числа $a$ и $b$. Их можно представить в виде $a = 2k + 1$ и $b = 2m + 1$, где $k$ и $m$ — целые числа. Рассмотрим разность их квадратов: $a^2 - b^2 = (2k + 1)^2 - (2m + 1)^2$. Воспользуемся формулой разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$: $a^2 - b^2 = ((2k + 1) - (2m + 1))((2k + 1) + (2m + 1))$. Упростим выражения в скобках: Первая скобка: $2k + 1 - 2m - 1 = 2k - 2m = 2(k - m)$. Вторая скобка: $2k + 1 + 2m + 1 = 2k + 2m + 2 = 2(k + m + 1)$. Перемножим полученные выражения: $2(k - m) \cdot 2(k + m + 1) = 4(k - m)(k + m + 1)$. Так как $k$ и $m$ — целые числа, то выражение в скобках $(k-m)(k+m+1)$ также является целым числом. Следовательно, разность квадратов делится на 4.
Ответ: Разность квадратов двух любых нечётных чисел делится на 4, что и требовалось доказать.

е) Пусть дано нечётное число $n = 2k + 1$, где $k$ — целое число. Рассмотрим выражение "квадрат нечётного числа, уменьшенный на единицу": $n^2 - 1$. Подставим $n = 2k + 1$: $(2k + 1)^2 - 1 = (4k^2 + 4k + 1) - 1 = 4k^2 + 4k$. Вынесем общий множитель за скобки: $4k(k + 1)$. Произведение $k(k + 1)$ — это произведение двух последовательных целых чисел. Одно из них обязательно чётное, поэтому их произведение делится на 2. То есть $k(k + 1) = 2m$ для некоторого целого $m$. Подставим это в наше выражение: $4k(k + 1) = 4 \cdot (2m) = 8m$. Полученное число делится на 8, так как является произведением целого числа $m$ на 8.
Ответ: Квадрат нечётного числа, уменьшенный на единицу, делится на 8, что и требовалось доказать.

ж) Рассмотрим разность куба натурального числа $n$ и самого числа $n$: $n^3 - n$. Разложим это выражение на множители: $n^3 - n = n(n^2 - 1) = n(n - 1)(n + 1)$. Переставим множители для наглядности: $(n - 1)n(n + 1)$. Это произведение трёх последовательных натуральных чисел. Среди трёх последовательных чисел:

• обязательно есть хотя бы одно чётное число (делящееся на 2);
• обязательно есть ровно одно число, делящееся на 3.

Поскольку произведение делится на 2 и на 3, а числа 2 и 3 взаимно простые, то оно делится и на их произведение $2 \cdot 3 = 6$.
Ответ: Разность куба натурального числа и самого числа делится на 6, что и требовалось доказать.

916. Зная, что $x^3 - x$ (где $x$ — целое число) делится на 6, докажите, что выражения $x^3 - 7x$, $x^3 + 11x$, $5x^3 + 13x - 30$ делятся на 6.

По условию задачи, выражение $x^3 - x$ делится на 6 для любого целого числа $x$. Это означает, что существует такое целое число $k$, для которого выполняется равенство $x^3 - x = 6k$. Мы будем использовать этот факт для доказательства делимости каждого из предложенных выражений.

Основная идея доказательства состоит в том, чтобы алгебраически преобразовать каждое выражение, выделив в нем слагаемое $(x^3 - x)$, а затем показать, что оставшаяся часть выражения также делится на 6.

$x^3 - 7x$

Преобразуем выражение, выделив в нем $(x^3 - x)$:

$x^3 - 7x = x^3 - x - 6x = (x^3 - x) - 6x$

В полученной разности уменьшаемое $(x^3 - x)$ делится на 6 по условию задачи. Вычитаемое $6x$ также очевидно делится на 6, так как $x$ — целое число. Разность двух чисел, каждое из которых делится на 6, также делится на 6. Следовательно, выражение $x^3 - 7x$ делится на 6.

Ответ: Доказано, что выражение $x^3 - 7x$ делится на 6.

$x^3 + 11x$

Преобразуем выражение аналогичным образом:

$x^3 + 11x = x^3 - x + 12x = (x^3 - x) + 12x$

В полученной сумме первое слагаемое $(x^3 - x)$ делится на 6 по условию. Второе слагаемое $12x$ также делится на 6, так как $12x = 6 \cdot (2x)$, а $2x$ является целым числом. Сумма двух чисел, каждое из которых делится на 6, также делится на 6. Следовательно, выражение $x^3 + 11x$ делится на 6.

Ответ: Доказано, что выражение $x^3 + 11x$ делится на 6.

$5x^3 + 13x - 30$

Преобразуем это выражение, чтобы использовать делимость $(x^3 - x)$ на 6:

$5x^3 + 13x - 30 = 5x^3 - 5x + 5x + 13x - 30 = 5(x^3 - x) + 18x - 30$

Рассмотрим полученную сумму. Первое слагаемое, $5(x^3 - x)$, делится на 6, так как один из его множителей, $(x^3 - x)$, делится на 6 по условию. Второе слагаемое, $18x$, также делится на 6, поскольку $18 = 3 \cdot 6$. Третье слагаемое, $-30$, делится на 6, так как $30 = 5 \cdot 6$.

Поскольку каждое из трех слагаемых в выражении $5(x^3 - x) + 18x - 30$ делится на 6, то и вся их алгебраическая сумма делится на 6. Следовательно, выражение $5x^3 + 13x - 30$ делится на 6.

Ответ: Доказано, что выражение $5x^3 + 13x - 30$ делится на 6.

917. Докажите, что для любого целого числа $x$ значение много-

члена:

а) $x^2 + x$ чётное число;

б) $x^3 - x$ делится на 3.

а) Докажем, что для любого целого числа $x$ значение многочлена $x^2 + x$ является чётным числом.

Разложим данный многочлен на множители, вынеся $x$ за скобки: $x^2 + x = x(x+1)$.

В результате мы получили произведение двух последовательных целых чисел: $x$ и $x+1$. Для любого целого числа $x$ одно из этих чисел обязательно будет чётным. Если $x$ чётно, то произведение очевидно чётно. Если $x$ нечётно, то число $x+1$ будет чётным, и произведение снова будет чётным, так как произведение любого числа на чётное даёт в результате чётное число.

Следовательно, выражение $x^2 + x$ всегда является чётным.

Ответ: Утверждение доказано.

б) Докажем, что для любого целого числа $x$ значение многочлена $x^3 - x$ делится на 3.

Разложим многочлен на множители. Сначала вынесем $x$ за скобки, а затем применим формулу разности квадратов:

$x^3 - x = x(x^2 - 1) = x(x-1)(x+1)$.

Переставив множители, получим $(x-1)x(x+1)$. Это произведение трёх последовательных целых чисел.

Среди любых трёх последовательных целых чисел одно и только одно всегда делится на 3. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим все возможные остатки от деления числа $x$ на 3. Если остаток равен 0, то само число $x$ делится на 3. Если остаток равен 1, то число $x-1$ будет делиться на 3. Если остаток равен 2, то число $x+1$ будет делиться на 3.

В любом из этих случаев один из трёх множителей — $(x-1)$, $x$ или $(x+1)$ — будет делиться на 3. А если один из множителей в произведении делится на 3, то и всё произведение делится на 3. Следовательно, выражение $x^3 - x$ всегда делится на 3.

Ответ: Утверждение доказано.

918. Докажите, что произведение четырёх последовательных натуральных чисел, увеличенное на 1, есть точный квадрат.

Обозначим четыре последовательных натуральных числа как $n$, $n+1$, $n+2$, $n+3$, где $n \in \mathbb{N}$ (т.е. $n$ — натуральное число, $n \ge 1$).

Нам нужно доказать, что их произведение, увеличенное на 1, является точным квадратом. Запишем это выражение:

$n(n+1)(n+2)(n+3) + 1$

Преобразуем это выражение. Для этого сгруппируем множители, перемножив первый с последним и два средних между собой:

$[n(n+3)][(n+1)(n+2)] + 1$

Теперь раскроем скобки в каждой из групп:

$n(n+3) = n^2 + 3n$

$(n+1)(n+2) = n^2 + 2n + n + 2 = n^2 + 3n + 2$

Подставим полученные результаты обратно в выражение:

$(n^2 + 3n)(n^2 + 3n + 2) + 1$

Для дальнейшего упрощения введем замену. Пусть $x = n^2 + 3n$. Тогда выражение примет вид:

$x(x+2) + 1$

Раскроем скобки:

$x^2 + 2x + 1$

Полученное выражение является формулой квадрата суммы:

$(x+1)^2$

Теперь выполним обратную замену, подставив $n^2 + 3n$ вместо $x$:

$((n^2 + 3n) + 1)^2 = (n^2 + 3n + 1)^2$

Таким образом, мы доказали, что произведение четырех последовательных натуральных чисел, увеличенное на 1, равно квадрату выражения $(n^2 + 3n + 1)$.

Поскольку $n$ — натуральное число, то $n^2$ и $3n$ также являются натуральными числами. Значит, их сумма с единицей, $n^2 + 3n + 1$, тоже является натуральным числом. Следовательно, исходное выражение всегда является квадратом натурального числа, то есть точным квадратом. Что и требовалось доказать.

Ответ: Произведение четырёх последовательных натуральных чисел, увеличенное на 1, равно $(n^2 + 3n + 1)^2$, что является точным квадратом.

919. Исследуем. Верно ли, что если $x$ — целое число и $5x + 9$ делится на 17, то выражение $10x + 1$ также делится на 17?

Да, данное утверждение верно. Чтобы это доказать, установим связь между выражениями $5x + 9$ и $10x + 1$.

Пусть выражение $A = 5x + 9$ и выражение $B = 10x + 1$.

По условию задачи, $x$ — целое число, и выражение $A$ делится на $17$. Это означает, что существует такое целое число $k$, для которого справедливо равенство:
$A = 5x + 9 = 17k$

Нам нужно доказать, что выражение $B = 10x + 1$ также делится на $17$.

Рассмотрим выражение $2A$:
$2A = 2(5x + 9) = 10x + 18$

Теперь мы можем выразить $B$ через $A$. Заметим, что $10x + 18$ очень похоже на $10x + 1$.
$B = 10x + 1 = (10x + 18) - 17$
Поскольку $10x + 18 = 2A$, мы можем подставить это в равенство:
$B = 2A - 17$

Мы знаем, что $A$ делится на $17$ (по условию). Число $17$ также, очевидно, делится на $17$. Разность двух чисел, каждое из которых делится на $17$, также делится на $17$.
Подставим $A = 17k$ в полученное выражение для $B$:
$B = 2(17k) - 17 = 34k - 17$

Вынесем общий множитель $17$ за скобку:
$B = 17(2k - 1)$

Так как $k$ — целое число, то и $(2k - 1)$ — тоже целое число. Следовательно, выражение $B = 10x + 1$ является произведением числа $17$ и целого числа, что по определению означает, что оно делится на $17$.

Ответ: да, верно.

920. Докажите, что если при некоторых целых a и b выражение $4a - 5b$ делится на 13, то выражение $8a - 23b$ также делится на 13.

По условию задачи дано, что для некоторых целых чисел $a$ и $b$ выражение $4a - 5b$ делится на 13. Это означает, что $4a - 5b$ является кратным 13.

Нам необходимо доказать, что выражение $8a - 23b$ также делится на 13. Для этого преобразуем второе выражение так, чтобы в его составе появилось первое выражение, $4a - 5b$.

Рассмотрим выражение $8a - 23b$. Заметим, что $8a = 2 \cdot 4a$. Это позволяет нам начать преобразование следующим образом:

$8a - 23b = 2(4a) - 23b$

Чтобы получить в скобках $4a - 5b$, мы можем искусственно вычесть и прибавить одно и то же слагаемое. В данном случае это будет $2 \cdot 5b = 10b$.

$8a - 23b = (8a - 10b) + 10b - 23b$

Теперь сгруппируем первые два слагаемых и вынесем за скобки общий множитель 2, а также упростим оставшуюся часть:

$8a - 23b = 2(4a - 5b) - 13b$

Теперь проанализируем полученное выражение. Оно состоит из разности двух слагаемых: $2(4a - 5b)$ и $13b$.

Первое слагаемое, $2(4a - 5b)$, делится на 13, так как по условию один из его множителей, $(4a - 5b)$, делится на 13.

Второе слагаемое, $13b$, также делится на 13, так как является произведением целого числа $b$ и числа 13.

Поскольку и уменьшаемое ($2(4a - 5b)$), и вычитаемое ($13b$) делятся на 13, то согласно свойству делимости их разность также делится на 13. Следовательно, выражение $8a - 23b$ делится на 13.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.