Номер 914, страница 242 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Буквенные выражения. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 914, страница 242.

Условие.

914. Выделите полный квадрат из двучлена:

а) $x^2 + 4x + 1$;

б) $4b^2 + 8b + 6$;

в) $a^2 - 2a + 3$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Чтобы выделить полный квадрат из выражения $x^2 + 4x + 1$, воспользуемся формулой квадрата суммы: $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.

В нашем выражении $x^2 + 4x + 1$ первый член $x^2$ соответствует $A^2$, значит $A=x$.

Второй член $4x$ соответствует удвоенному произведению $2AB$. Подставив $A=x$, получаем $2 \cdot x \cdot B = 4x$, откуда находим $B=2$.

Для полного квадрата нам не хватает третьего члена $B^2 = 2^2 = 4$.

Представим исходное выражение, добавив и вычтя 4, чтобы не изменить его значение:

$x^2 + 4x + 1 = (x^2 + 4x + 4) - 4 + 1$

Выражение в скобках теперь является полным квадратом $(x+2)^2$. Упростим оставшуюся часть:

$(x^2 + 4x + 4) - 3 = (x+2)^2 - 3$

Ответ: $(x+2)^2 - 3$

б) Рассмотрим выражение $4b^2 + 8b + 6$.

Сначала вынесем общий множитель 4 из первых двух слагаемых, содержащих переменную:

$4b^2 + 8b + 6 = 4(b^2 + 2b) + 6$

Теперь выделим полный квадрат в выражении $b^2+2b$. Используем формулу $(A+B)^2 = A^2+2AB+B^2$. Здесь $A=b$, а $2AB=2b$, значит $B=1$. Нам нужен член $B^2=1^2=1$. Добавим и вычтем 1 внутри скобок:

$4(b^2 + 2b + 1 - 1) + 6$

Сгруппируем первые три члена в скобках, которые образуют полный квадрат $(b+1)^2$:

$4((b^2 + 2b + 1) - 1) + 6 = 4((b+1)^2 - 1) + 6$

Раскроем внешние скобки и упростим выражение:

$4(b+1)^2 - 4 \cdot 1 + 6 = 4(b+1)^2 + 2$

Ответ: $4(b+1)^2 + 2$

в) Выделим полный квадрат из выражения $a^2 - 2a + 3$. Будем использовать формулу квадрата разности: $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.

В нашем выражении $a^2 - 2a + 3$ первый член $a^2$ соответствует $A^2$, значит $A=a$.

Второй член $-2a$ соответствует $-2AB$. Подставив $A=a$, получаем $-2 \cdot a \cdot B = -2a$, откуда находим $B=1$.

Для полного квадрата нам нужен третий член $B^2 = 1^2 = 1$.

Представим свободный член 3 в виде суммы $1+2$:

$a^2 - 2a + 3 = (a^2 - 2a + 1) + 2$

Выражение в скобках теперь является полным квадратом $(a-1)^2$.

Таким образом, выражение принимает вид:

$(a-1)^2 + 2$

Ответ: $(a-1)^2 + 2$