Номер 911, страница 242 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Буквенные выражения. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 911, страница 242.

Условие.

911. Преобразуйте выражение в многочлен:

а) $ (a + b + c)^2 $;

б) $ (x + y - z)^2 $;

в) $ (m + n + k)^2 $;

г) $ (a - b - c)^2 $;

д) $ (p + x + c + d)^2 $;

е) $ (a + m - k - q)^2 $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Для решения данных задач используется формула квадрата суммы. В общем виде для $n$ слагаемых она выглядит так:

$(a_1 + a_2 + ... + a_n)^2 = a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2 + 2a_1a_2 + 2a_1a_3 + ...$

То есть, квадрат суммы нескольких слагаемых равен сумме квадратов всех слагаемых плюс удвоенная сумма всех возможных попарных произведений этих слагаемых.

а) Чтобы преобразовать выражение $(a + b + c)^2$ в многочлен, используем формулу квадрата суммы трех слагаемых: $(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz$.

В нашем случае $x=a$, $y=b$, и $z=c$. Применяем формулу:

$(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$.

Ответ: $a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$

б) Преобразуем выражение $(x + y - z)^2$. Его можно представить как $(x + y + (-z))^2$.

Используем ту же формулу квадрата суммы трех слагаемых, где в качестве слагаемых выступают $x$, $y$ и $-z$:

$(x + y + (-z))^2 = x^2 + y^2 + (-z)^2 + 2(x)(y) + 2(x)(-z) + 2(y)(-z)$

Упрощаем выражение, учитывая знаки:

$x^2 + y^2 + z^2 + 2xy - 2xz - 2yz$

Ответ: $x^2 + y^2 + z^2 + 2xy - 2xz - 2yz$

в) Выражение $(m + n + k)^2$ полностью аналогично пункту а).

Используем формулу квадрата суммы трех слагаемых $(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz$, где $x=m$, $y=n$, $z=k$:

$(m+n+k)^2 = m^2 + n^2 + k^2 + 2mn + 2mk + 2nk$.

Ответ: $m^2 + n^2 + k^2 + 2mn + 2mk + 2nk$

г) Преобразуем выражение $(a - b - c)^2$. Представим его как $(a + (-b) + (-c))^2$.

Применяем формулу квадрата суммы трех слагаемых, где слагаемые равны $a$, $-b$ и $-c$:

$(a + (-b) + (-c))^2 = a^2 + (-b)^2 + (-c)^2 + 2(a)(-b) + 2(a)(-c) + 2(-b)(-c)$

Упрощаем, обращая внимание на знаки при перемножении:

$a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2ac + 2bc$

Ответ: $a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2ac + 2bc$

д) Для преобразования выражения $(p + x + c + d)^2$, содержащего четыре слагаемых, используем общую формулу квадрата суммы.

Формула для четырех слагаемых: $(a+b+c+d)^2 = a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd$.

В нашем случае слагаемые это $p, x, c, d$. Применяем формулу:

$(p + x + c + d)^2 = p^2 + x^2 + c^2 + d^2 + 2px + 2pc + 2pd + 2xc + 2xd + 2cd$

Ответ: $p^2 + x^2 + c^2 + d^2 + 2px + 2pc + 2pd + 2xc + 2xd + 2cd$

е) Преобразуем выражение $(a + m - k - q)^2$. Представим его как сумму $(a + m + (-k) + (-q))^2$.

Используем формулу квадрата суммы четырех слагаемых, где слагаемые равны $a$, $m$, $-k$ и $-q$.

$(a + m + (-k) + (-q))^2 = a^2 + m^2 + (-k)^2 + (-q)^2 + 2(a)(m) + 2(a)(-k) + 2(a)(-q) + 2(m)(-k) + 2(m)(-q) + 2(-k)(-q)$

Упрощаем полученное выражение, внимательно следя за знаками:

$a^2 + m^2 + k^2 + q^2 + 2am - 2ak - 2aq - 2mk - 2mq + 2kq$

Ответ: $a^2 + m^2 + k^2 + q^2 + 2am - 2ak - 2aq - 2mk - 2mq + 2kq$