Номер 912, страница 242 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Буквенные выражения. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 912, страница 242.

Условие.

912. Упростите выражение:

a) $(2x + y - 3z)^2 - (x - 2y + 2z)^2;$

б) $(m - 4n + 5z)^2 - (3m - n - 3k)^2;$

в) $(4 - 2p + q^2)^2 - (3p^2 - 5q + 7)^2;$

г) $(a + b + c)^2 + (a - b - c)^2 + (b - a - c)^2 + (c - a - b)^2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Данное выражение представляет собой разность квадратов вида $A^2 - B^2$, которую можно упростить по формуле $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
В нашем случае $A = 2x + y - 3z$ и $B = x - 2y + 2z$.
Найдем $A - B$ и $A + B$:
$A - B = (2x + y - 3z) - (x - 2y + 2z) = 2x + y - 3z - x + 2y - 2z = x + 3y - 5z$.
$A + B = (2x + y - 3z) + (x - 2y + 2z) = 2x + y - 3z + x - 2y + 2z = 3x - y - z$.
Теперь перемножим полученные выражения:
$(x + 3y - 5z)(3x - y - z) = x(3x - y - z) + 3y(3x - y - z) - 5z(3x - y - z) = $
$= 3x^2 - xy - xz + 9xy - 3y^2 - 3yz - 15xz + 5yz + 5z^2$.
Приведем подобные слагаемые:
$3x^2 - 3y^2 + 5z^2 + (-xy + 9xy) + (-xz - 15xz) + (-3yz + 5yz) = $
$= 3x^2 - 3y^2 + 5z^2 + 8xy - 16xz + 2yz$.
Ответ: $3x^2 - 3y^2 + 5z^2 + 8xy - 16xz + 2yz$.

б) В данном выражении $(m - 4n + 5z)^2 - (3m - n - 3k)^2$ воспользуемся формулой квадрата трехчлена $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$ для раскрытия каждой скобки, а затем приведем подобные слагаемые.
Раскроем первую скобку:
$(m - 4n + 5z)^2 = m^2 + (-4n)^2 + (5z)^2 + 2(m)(-4n) + 2(m)(5z) + 2(-4n)(5z) = $
$= m^2 + 16n^2 + 25z^2 - 8mn + 10mz - 40nz$.
Раскроем вторую скобку:
$(3m - n - 3k)^2 = (3m)^2 + (-n)^2 + (-3k)^2 + 2(3m)(-n) + 2(3m)(-3k) + 2(-n)(-3k) = $
$= 9m^2 + n^2 + 9k^2 - 6mn - 18mk + 6nk$.
Вычтем второе выражение из первого:
$(m^2 + 16n^2 + 25z^2 - 8mn + 10mz - 40nz) - (9m^2 + n^2 + 9k^2 - 6mn - 18mk + 6nk) = $
$= m^2 + 16n^2 + 25z^2 - 8mn + 10mz - 40nz - 9m^2 - n^2 - 9k^2 + 6mn + 18mk - 6nk$.
Приведем подобные слагаемые:
$(m^2 - 9m^2) + (16n^2 - n^2) + 25z^2 - 9k^2 + (-8mn + 6mn) + 10mz - 40nz + 18mk - 6nk = $
$= -8m^2 + 15n^2 + 25z^2 - 9k^2 - 2mn + 18mk - 6nk + 10mz - 40nz$.
Ответ: $-8m^2 + 15n^2 - 9k^2 + 25z^2 - 2mn + 18mk - 6nk + 10mz - 40nz$.

в) Для упрощения выражения $(4 - 2p + q^2)^2 - (3p^2 - 5q + 7)^2$ раскроем каждый квадрат трехчлена, а затем вычтем одно из другого.
Раскроем первую скобку:
$(4 - 2p + q^2)^2 = 4^2 + (-2p)^2 + (q^2)^2 + 2(4)(-2p) + 2(4)(q^2) + 2(-2p)(q^2) = $
$= 16 + 4p^2 + q^4 - 16p + 8q^2 - 4pq^2$.
Раскроем вторую скобку:
$(3p^2 - 5q + 7)^2 = (3p^2)^2 + (-5q)^2 + 7^2 + 2(3p^2)(-5q) + 2(3p^2)(7) + 2(-5q)(7) = $
$= 9p^4 + 25q^2 + 49 - 30p^2q + 42p^2 - 70q$.
Вычтем второе выражение из первого и приведем подобные слагаемые:
$(16 + 4p^2 + q^4 - 16p + 8q^2 - 4pq^2) - (9p^4 + 25q^2 + 49 - 30p^2q + 42p^2 - 70q) = $
$= 16 + 4p^2 + q^4 - 16p + 8q^2 - 4pq^2 - 9p^4 - 25q^2 - 49 + 30p^2q - 42p^2 + 70q = $
$= -9p^4 + q^4 + 30p^2q - 4pq^2 + (4p^2 - 42p^2) + (8q^2 - 25q^2) - 16p + 70q + (16 - 49) = $
$= -9p^4 + q^4 + 30p^2q - 4pq^2 - 38p^2 - 17q^2 - 16p + 70q - 33$.
Ответ: $-9p^4 + q^4 + 30p^2q - 4pq^2 - 38p^2 - 17q^2 - 16p + 70q - 33$.

г) Раскроем каждую скобку в выражении $(a + b + c)^2 + (a - b - c)^2 + (b - a - c)^2 + (c - a - b)^2$, используя формулу квадрата суммы/разности трех слагаемых.
Обратим внимание, что $(b - a - c)^2 = (-(a - b + c))^2 = (a - b + c)^2$ и $(c - a - b)^2 = (-(a + b - c))^2 = (a + b - c)^2$.
Таким образом, выражение можно переписать как:
$(a + b + c)^2 + (a - b - c)^2 + (a - b + c)^2 + (a + b - c)^2$.
Теперь раскроем каждую скобку:
1. $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$
2. $(a - b - c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2ac + 2bc$
3. $(a - b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 - 2ab + 2ac - 2bc$
4. $(a + b - c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - 2ac - 2bc$
Сложим все четыре выражения. Сгруппируем подобные слагаемые:
Сумма квадратов: $(a^2+a^2+a^2+a^2) + (b^2+b^2+b^2+b^2) + (c^2+c^2+c^2+c^2) = 4a^2 + 4b^2 + 4c^2$.
Сумма членов с $ab$: $2ab - 2ab - 2ab + 2ab = 0$.
Сумма членов с $ac$: $2ac - 2ac + 2ac - 2ac = 0$.
Сумма членов с $bc$: $2bc + 2bc - 2bc - 2bc = 0$.
Сложив все результаты, получаем: $4a^2 + 4b^2 + 4c^2$.
Ответ: $4a^2 + 4b^2 + 4c^2$.