Номер 907, страница 241 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Буквенные выражения. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 907, страница 241.

Условие.

907. Упростите выражение:

а) $4aab - 5ba^2 + 7a^2b - aba;$

б) $25aa^2b^3 + 2a^3b \cdot 5b^2 - a^2b^2 \cdot 8ab - 9a^3b^3 + 8aa^2b^3;$

в) $3pq - (p + q)^2;$

г) $7a^2 - (5a^2 - 6m^3);$

д) $x + (y - (x - y));$

е) $x - ((y - x) - y);$

ж) $(4a^2 - 5b^2)(5a^2 - 4b^2);$

з) $(7ab^2 + 3b^3)(2ab^3 - 4a^2);$

и) $(a^2 + 3ab - 2b^2)(2a^2 - 3b);$

к) $(3x^2 - 4x + 7)(5x^2 - x).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Чтобы упростить выражение $4aab - 5ba^2 + 7a^2b - aba$, сначала приведем каждый член к стандартному виду. Стандартный вид одночлена — это произведение числового множителя, стоящего на первом месте, и степеней различных переменных.
$4aab = 4a^{1+1}b = 4a^2b$
$5ba^2 = 5a^2b$ (принято записывать переменные в алфавитном порядке)
$aba = a^{1+1}b = a^2b$
Теперь подставим упрощенные одночлены обратно в выражение:
$4a^2b - 5a^2b + 7a^2b - a^2b$
Все члены этого выражения являются подобными, так как у них одинаковая буквенная часть $a^2b$. Чтобы их сложить, нужно сложить их коэффициенты:
$(4 - 5 + 7 - 1)a^2b = (-1 + 7 - 1)a^2b = (6 - 1)a^2b = 5a^2b$.

Ответ: $5a^2b$

б) Упростим каждый член выражения $25aa^2b^3 + 2a^3b \cdot 5b^2 - a^2b^2 \cdot 8ab - 9a^3b^3 + 8aa^2b^3$:
$25aa^2b^3 = 25a^{1+2}b^3 = 25a^3b^3$
$2a^3b \cdot 5b^2 = (2 \cdot 5)a^3b^{1+2} = 10a^3b^3$
$a^2b^2 \cdot 8ab = 8a^{2+1}b^{2+1} = 8a^3b^3$
$8aa^2b^3 = 8a^{1+2}b^3 = 8a^3b^3$
Выражение принимает вид:
$25a^3b^3 + 10a^3b^3 - 8a^3b^3 - 9a^3b^3 + 8a^3b^3$
Все члены подобны, так как имеют буквенную часть $a^3b^3$. Сложим коэффициенты:
$(25 + 10 - 8 - 9 + 8)a^3b^3$. Заметим, что $-8a^3b^3$ и $+8a^3b^3$ взаимно уничтожаются.
$(25 + 10 - 9)a^3b^3 = (35 - 9)a^3b^3 = 26a^3b^3$.

Ответ: $26a^3b^3$

в) В выражении $3pq - (p + q)^2$ раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:
$(p+q)^2 = p^2 + 2pq + q^2$
Подставим это в исходное выражение:
$3pq - (p^2 + 2pq + q^2)$
Так как перед скобкой стоит знак "минус", все знаки внутри скобки меняются на противоположные:
$3pq - p^2 - 2pq - q^2$
Приведем подобные слагаемые $3pq$ и $-2pq$:
$(3 - 2)pq - p^2 - q^2 = 1pq - p^2 - q^2 = pq - p^2 - q^2$.

Ответ: $pq - p^2 - q^2$

г) Для упрощения выражения $7a^2 - (5a^2 - 6m^3)$ необходимо раскрыть скобки. Перед скобками стоит знак "минус", поэтому знаки всех членов в скобках изменятся на противоположные:
$7a^2 - 5a^2 + 6m^3$
Приведем подобные слагаемые $7a^2$ и $-5a^2$:
$(7-5)a^2 + 6m^3 = 2a^2 + 6m^3$.

Ответ: $2a^2 + 6m^3$

д) Упростим выражение $x + (y - (x - y))$ последовательно, начиная с внутренних скобок.
Раскроем внутренние скобки: $y - (x - y) = y - x + y$.
Приведем подобные члены внутри скобок: $y + y - x = 2y - x$.
Выражение примет вид: $x + (2y - x)$.
Раскроем оставшиеся скобки: $x + 2y - x$.
Приведем подобные слагаемые $x$ и $-x$: $(x - x) + 2y = 0 + 2y = 2y$.

Ответ: $2y$

е) Упростим выражение $x - ((y - x) - y)$, начиная с внутренних скобок.
Выражение в двойных скобках: $(y - x) - y$. Раскроем внутренние скобки: $y - x - y$.
Приведем подобные члены: $(y - y) - x = 0 - x = -x$.
Выражение примет вид: $x - (-x)$.
Раскроем скобки: $x + x = 2x$.

Ответ: $2x$

ж) Чтобы упростить $(4a^2 - 5b^2)(5a^2 - 4b^2)$, нужно перемножить два двучлена. Используем правило умножения многочленов (каждый член первого многочлена умножаем на каждый член второго):
$(4a^2)(5a^2) + (4a^2)(-4b^2) + (-5b^2)(5a^2) + (-5b^2)(-4b^2)$
Выполним умножение:
$20a^4 - 16a^2b^2 - 25a^2b^2 + 20b^4$
Приведем подобные слагаемые $-16a^2b^2$ и $-25a^2b^2$:
$20a^4 + (-16 - 25)a^2b^2 + 20b^4 = 20a^4 - 41a^2b^2 + 20b^4$.

Ответ: $20a^4 - 41a^2b^2 + 20b^4$

з) Для упрощения $(7ab^2 + 3b^3)(2ab^3 - 4a^2)$ перемножим двучлены:
$(7ab^2)(2ab^3) + (7ab^2)(-4a^2) + (3b^3)(2ab^3) + (3b^3)(-4a^2)$
Выполним умножение одночленов:
$14a^{1+1}b^{2+3} - 28a^{1+2}b^2 + 6ab^{3+3} - 12a^2b^3$
$14a^2b^5 - 28a^3b^2 + 6ab^6 - 12a^2b^3$
Подобных членов в полученном выражении нет, поэтому это окончательный вид. Можно упорядочить члены, например, по убыванию степени переменной $a$: $-28a^3b^2 + 14a^2b^5 - 12a^2b^3 + 6ab^6$.

Ответ: $-28a^3b^2 + 14a^2b^5 - 12a^2b^3 + 6ab^6$

и) Упростим выражение $(a^2 + 3ab - 2b^2)(2a^2 - 3b)$, умножив каждый член первого многочлена на каждый член второго:
$a^2(2a^2 - 3b) + 3ab(2a^2 - 3b) - 2b^2(2a^2 - 3b)$
Раскроем скобки:
$(a^2 \cdot 2a^2 - a^2 \cdot 3b) + (3ab \cdot 2a^2 - 3ab \cdot 3b) - (2b^2 \cdot 2a^2 - 2b^2 \cdot 3b)$
$(2a^4 - 3a^2b) + (6a^3b - 9ab^2) - (4a^2b^2 - 6b^3)$
$2a^4 - 3a^2b + 6a^3b - 9ab^2 - 4a^2b^2 + 6b^3$
В полученном выражении нет подобных слагаемых. Упорядочим его по убыванию степеней переменной $a$:
$2a^4 + 6a^3b - 4a^2b^2 - 3a^2b - 9ab^2 + 6b^3$.

Ответ: $2a^4 + 6a^3b - 4a^2b^2 - 3a^2b - 9ab^2 + 6b^3$

к) Для упрощения $(3x^2 - 4x + 7)(5x^2 - x)$ умножим каждый член первого многочлена на каждый член второго:
$3x^2(5x^2 - x) - 4x(5x^2 - x) + 7(5x^2 - x)$
Раскроем скобки:
$(15x^4 - 3x^3) - (20x^3 - 4x^2) + (35x^2 - 7x)$
$15x^4 - 3x^3 - 20x^3 + 4x^2 + 35x^2 - 7x$
Приведем подобные слагаемые:
$15x^4 + (-3x^3 - 20x^3) + (4x^2 + 35x^2) - 7x$
$15x^4 - 23x^3 + 39x^2 - 7x$.

Ответ: $15x^4 - 23x^3 + 39x^2 - 7x$