Номер 900, страница 241 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Буквенные выражения. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 900, страница 241.

Условие.

900. Покажите, что сумма:

a) двух чётных чисел есть число чётное;

б) двух нечётных чисел есть число чётное;

в) чётного и нечётного чисел есть число нечётное.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Для доказательства этих утверждений воспользуемся алгебраическими определениями чётных и нечётных чисел.

Чётное число — это целое число, которое делится на 2 без остатка. Любое чётное число можно представить в виде формулы $2k$, где $k$ — любое целое число.

Нечётное число — это целое число, которое при делении на 2 даёт в остатке 1. Любое нечётное число можно представить в виде формулы $2k + 1$, где $k$ — любое целое число.

а) двух чётных чисел есть число чётное;

Пусть у нас есть два произвольных чётных числа, назовём их $a$ и $b$. Согласно определению, мы можем записать их в следующем виде:
$a = 2m$
$b = 2n$
где $m$ и $n$ — некоторые целые числа.
Теперь найдём их сумму:
$a + b = 2m + 2n$
Мы можем вынести общий множитель 2 за скобки:
$a + b = 2(m + n)$
Поскольку $m$ и $n$ являются целыми числами, их сумма $(m + n)$ также будет целым числом. Давайте обозначим эту сумму как $k = m + n$.
Тогда наша сумма принимает вид $2k$. Выражение такой формы по определению является чётным числом. Таким образом, мы доказали, что сумма двух чётных чисел всегда чётна.
Ответ: Сумма двух чётных чисел является чётным числом.

б) двух нечётных чисел есть число чётное;

Возьмём два произвольных нечётных числа, $a$ и $b$. Согласно определению, мы можем представить их в виде:
$a = 2m + 1$
$b = 2n + 1$
где $m$ и $n$ — некоторые целые числа.
Найдём их сумму:
$a + b = (2m + 1) + (2n + 1)$
Сгруппируем слагаемые:
$a + b = 2m + 2n + 1 + 1 = 2m + 2n + 2$
Вынесем общий множитель 2 за скобки:
$a + b = 2(m + n + 1)$
Так как $m$ и $n$ — целые числа, то и выражение $(m + n + 1)$ является целым числом. Обозначим его как $k = m + n + 1$.
В результате сумма равна $2k$, что соответствует определению чётного числа. Следовательно, сумма двух нечётных чисел всегда является чётным числом.
Ответ: Сумма двух нечётных чисел является чётным числом.

в) чётного и нечётного чисел есть число нечётное.

Возьмём произвольное чётное число $a$ и произвольное нечётное число $b$. Запишем их согласно определениям:
$a = 2m$ (чётное)
$b = 2n + 1$ (нечётное)
где $m$ и $n$ — некоторые целые числа.
Найдём их сумму:
$a + b = 2m + (2n + 1)$
Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые:
$a + b = 2m + 2n + 1$
Вынесем общий множитель 2 у первых двух слагаемых:
$a + b = 2(m + n) + 1$
Поскольку $m$ и $n$ — целые числа, их сумма $(m + n)$ также является целым числом. Обозначим $k = m + n$.
Тогда сумма принимает вид $2k + 1$, что является формулой нечётного числа. Таким образом, сумма чётного и нечётного чисел всегда нечётна.
Ответ: Сумма чётного и нечётного чисел является нечётным числом.