Номер 894, страница 240 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Буквенные выражения. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 894, страница 240.

Условие.

894. Запишите алгебраическое выражение, которое задаёт:

а) натуральные числа, делящиеся нацело на 3: $3n$, где $n \in \mathbb{N}$

б) натуральные числа, дающие при делении на 3 остаток 1: $3n - 2$, где $n \in \mathbb{N}$

в) натуральные числа, дающие при делении на 3 остаток 2: $3n - 1$, где $n \in \mathbb{N}$

г) натуральные числа, делящиеся нацело на 7: $7n$, где $n \in \mathbb{N}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) натуральные числа, делящиеся нацело на 3;

Чтобы число делилось нацело на 3, оно должно быть произведением числа 3 и некоторого натурального числа. Обозначим это натуральное число переменной $n$, где $n$ может принимать значения 1, 2, 3, и так далее (то есть $n$ принадлежит множеству натуральных чисел, $n \in N$).
Таким образом, формула для таких чисел имеет вид: $3 \cdot n$ или просто $3n$.
При $n=1$ получаем $3 \cdot 1 = 3$.
При $n=2$ получаем $3 \cdot 2 = 6$.
При $n=3$ получаем $3 \cdot 3 = 9$, и так далее.
Этот ряд (3, 6, 9, ...) как раз и представляет собой все натуральные числа, делящиеся нацело на 3.

Ответ: $3n$, где $n \in N$.

б) натуральные числа, дающие при делении на 3 остаток 1;

Согласно определению деления с остатком, любое число $a$, которое при делении на 3 дает остаток 1, можно представить в виде $a = 3q + 1$, где $q$ — это неполное частное (целое неотрицательное число).
Нам нужны натуральные числа, поэтому $a \ge 1$. Ряд таких чисел: 1, 4, 7, 10, ...
При $q=0$, $a = 3 \cdot 0 + 1 = 1$.
При $q=1$, $a = 3 \cdot 1 + 1 = 4$.
При $q=2$, $a = 3 \cdot 2 + 1 = 7$, и так далее.
Чтобы задать эту последовательность через натуральное число $n$ (где $n=1, 2, 3, ...$), можно установить соответствие между $n$ и $q$. Например, можно взять $q = n - 1$.
Подставим это в формулу: $a = 3(n-1) + 1 = 3n - 3 + 1 = 3n - 2$.
Проверим эту формулу:
При $n=1$: $3 \cdot 1 - 2 = 1$.
При $n=2$: $3 \cdot 2 - 2 = 4$.
При $n=3$: $3 \cdot 3 - 2 = 7$, и так далее.
Формула верно задает искомые числа.

Ответ: $3n - 2$, где $n \in N$.

в) натуральные числа, дающие при делении на 3 остаток 2;

Аналогично предыдущему пункту, число $a$, которое при делении на 3 дает остаток 2, можно представить в виде $a = 3q + 2$, где $q$ — неполное частное.
Ряд таких натуральных чисел: 2, 5, 8, 11, ...
При $q=0$, $a = 3 \cdot 0 + 2 = 2$.
При $q=1$, $a = 3 \cdot 1 + 2 = 5$.
При $q=2$, $a = 3 \cdot 2 + 2 = 8$, и так далее.
Снова выразим эту последовательность через натуральное число $n$ ($n=1, 2, 3, ...$). Здесь также неполное частное $q$ связано с $n$ как $q = n - 1$.
Подставим в формулу: $a = 3(n-1) + 2 = 3n - 3 + 2 = 3n - 1$.
Проверим формулу:
При $n=1$: $3 \cdot 1 - 1 = 2$.
При $n=2$: $3 \cdot 2 - 1 = 5$.
При $n=3$: $3 \cdot 3 - 1 = 8$, и так далее.
Формула верна.

Ответ: $3n - 1$, где $n \in N$.

г) натуральные числа, делящиеся нацело на 7.

Этот случай аналогичен пункту "а". Чтобы число делилось нацело на 7, оно должно быть представимо в виде произведения числа 7 и некоторого натурального числа $n$, где $n \in N$.
Тогда алгебраическое выражение, задающее такие числа, имеет вид: $7n$.
При $n=1$ получаем $7 \cdot 1 = 7$.
При $n=2$ получаем $7 \cdot 2 = 14$.
При $n=3$ получаем $7 \cdot 3 = 21$, и так далее.
Этот ряд (7, 14, 21, ...) и есть все натуральные числа, которые делятся на 7 без остатка.

Ответ: $7n$, где $n \in N$.