Номер 901, страница 241 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Буквенные выражения. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 901, страница 241.

Условие.

901. Покажите, что сумма:

а) трёх последовательных целых чисел (т. е. чисел, следующих друг за другом, например 2, 3, 4) делится на 3;

б) пяти последовательных целых чисел делится на 5.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а)

Чтобы доказать, что сумма трёх последовательных целых чисел делится на 3, представим эти числа в общем виде. Пусть среднее из трёх чисел равно $n$, где $n$ — любое целое число. Тогда предыдущее число будет $n-1$, а следующее — $n+1$.

Три последовательных целых числа можно записать как: $n-1$, $n$, $n+1$.

Теперь найдём их сумму:

$S = (n - 1) + n + (n + 1)$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые:

$S = n + n + n - 1 + 1 = 3n$

Результатом является выражение $3n$. Поскольку $n$ — это целое число, то произведение $3n$ всегда будет делиться на 3 без остатка. Это доказывает утверждение.

Например, для чисел 2, 3, 4: $2 + 3 + 4 = 9$. Число 9 делится на 3 ($9 = 3 \cdot 3$).
Для чисел -5, -4, -3: $(-5) + (-4) + (-3) = -12$. Число -12 делится на 3 ($-12 = 3 \cdot (-4)$).

Ответ: Сумма трёх последовательных целых чисел, представленная как $(n-1) + n + (n+1)$, равна $3n$. Так как один из множителей равен 3, то произведение всегда делится на 3.

б)

Аналогично докажем утверждение для пяти последовательных целых чисел. Пусть среднее число равно $n$. Тогда последовательность можно записать в виде: $n-2$, $n-1$, $n$, $n+1$, $n+2$.

Найдём сумму этих пяти чисел:

$S = (n - 2) + (n - 1) + n + (n + 1) + (n + 2)$

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

$S = n + n + n + n + n - 2 - 1 + 1 + 2 = 5n$

Сумма равна $5n$. Так как $n$ — это целое число, то произведение $5n$ всегда делится на 5 без остатка. Утверждение доказано.

Например, для чисел 1, 2, 3, 4, 5: $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$. Число 15 делится на 5 ($15 = 5 \cdot 3$).

Ответ: Сумма пяти последовательных целых чисел, представленная как $(n-2) + (n-1) + n + (n+1) + (n+2)$, равна $5n$. Так как один из множителей равен 5, то произведение всегда делится на 5.