Страница 241 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

900. Покажите, что сумма:

a) двух чётных чисел есть число чётное;

б) двух нечётных чисел есть число чётное;

в) чётного и нечётного чисел есть число нечётное.

Для доказательства этих утверждений воспользуемся алгебраическими определениями чётных и нечётных чисел.

Чётное число — это целое число, которое делится на 2 без остатка. Любое чётное число можно представить в виде формулы $2k$, где $k$ — любое целое число.

Нечётное число — это целое число, которое при делении на 2 даёт в остатке 1. Любое нечётное число можно представить в виде формулы $2k + 1$, где $k$ — любое целое число.

а) двух чётных чисел есть число чётное;

Пусть у нас есть два произвольных чётных числа, назовём их $a$ и $b$. Согласно определению, мы можем записать их в следующем виде:
$a = 2m$
$b = 2n$
где $m$ и $n$ — некоторые целые числа.
Теперь найдём их сумму:
$a + b = 2m + 2n$
Мы можем вынести общий множитель 2 за скобки:
$a + b = 2(m + n)$
Поскольку $m$ и $n$ являются целыми числами, их сумма $(m + n)$ также будет целым числом. Давайте обозначим эту сумму как $k = m + n$.
Тогда наша сумма принимает вид $2k$. Выражение такой формы по определению является чётным числом. Таким образом, мы доказали, что сумма двух чётных чисел всегда чётна.
Ответ: Сумма двух чётных чисел является чётным числом.

б) двух нечётных чисел есть число чётное;

Возьмём два произвольных нечётных числа, $a$ и $b$. Согласно определению, мы можем представить их в виде:
$a = 2m + 1$
$b = 2n + 1$
где $m$ и $n$ — некоторые целые числа.
Найдём их сумму:
$a + b = (2m + 1) + (2n + 1)$
Сгруппируем слагаемые:
$a + b = 2m + 2n + 1 + 1 = 2m + 2n + 2$
Вынесем общий множитель 2 за скобки:
$a + b = 2(m + n + 1)$
Так как $m$ и $n$ — целые числа, то и выражение $(m + n + 1)$ является целым числом. Обозначим его как $k = m + n + 1$.
В результате сумма равна $2k$, что соответствует определению чётного числа. Следовательно, сумма двух нечётных чисел всегда является чётным числом.
Ответ: Сумма двух нечётных чисел является чётным числом.

в) чётного и нечётного чисел есть число нечётное.

Возьмём произвольное чётное число $a$ и произвольное нечётное число $b$. Запишем их согласно определениям:
$a = 2m$ (чётное)
$b = 2n + 1$ (нечётное)
где $m$ и $n$ — некоторые целые числа.
Найдём их сумму:
$a + b = 2m + (2n + 1)$
Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые:
$a + b = 2m + 2n + 1$
Вынесем общий множитель 2 у первых двух слагаемых:
$a + b = 2(m + n) + 1$
Поскольку $m$ и $n$ — целые числа, их сумма $(m + n)$ также является целым числом. Обозначим $k = m + n$.
Тогда сумма принимает вид $2k + 1$, что является формулой нечётного числа. Таким образом, сумма чётного и нечётного чисел всегда нечётна.
Ответ: Сумма чётного и нечётного чисел является нечётным числом.

901. Покажите, что сумма:

а) трёх последовательных целых чисел (т. е. чисел, следующих друг за другом, например 2, 3, 4) делится на 3;

б) пяти последовательных целых чисел делится на 5.

а)

Чтобы доказать, что сумма трёх последовательных целых чисел делится на 3, представим эти числа в общем виде. Пусть среднее из трёх чисел равно $n$, где $n$ — любое целое число. Тогда предыдущее число будет $n-1$, а следующее — $n+1$.

Три последовательных целых числа можно записать как: $n-1$, $n$, $n+1$.

Теперь найдём их сумму:

$S = (n - 1) + n + (n + 1)$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые:

$S = n + n + n - 1 + 1 = 3n$

Результатом является выражение $3n$. Поскольку $n$ — это целое число, то произведение $3n$ всегда будет делиться на 3 без остатка. Это доказывает утверждение.

Например, для чисел 2, 3, 4: $2 + 3 + 4 = 9$. Число 9 делится на 3 ($9 = 3 \cdot 3$).
Для чисел -5, -4, -3: $(-5) + (-4) + (-3) = -12$. Число -12 делится на 3 ($-12 = 3 \cdot (-4)$).

Ответ: Сумма трёх последовательных целых чисел, представленная как $(n-1) + n + (n+1)$, равна $3n$. Так как один из множителей равен 3, то произведение всегда делится на 3.

б)

Аналогично докажем утверждение для пяти последовательных целых чисел. Пусть среднее число равно $n$. Тогда последовательность можно записать в виде: $n-2$, $n-1$, $n$, $n+1$, $n+2$.

Найдём сумму этих пяти чисел:

$S = (n - 2) + (n - 1) + n + (n + 1) + (n + 2)$

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

$S = n + n + n + n + n - 2 - 1 + 1 + 2 = 5n$

Сумма равна $5n$. Так как $n$ — это целое число, то произведение $5n$ всегда делится на 5 без остатка. Утверждение доказано.

Например, для чисел 1, 2, 3, 4, 5: $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$. Число 15 делится на 5 ($15 = 5 \cdot 3$).

Ответ: Сумма пяти последовательных целых чисел, представленная как $(n-2) + (n-1) + n + (n+1) + (n+2)$, равна $5n$. Так как один из множителей равен 5, то произведение всегда делится на 5.

902. Покажите, что если к целому числу прибавить его квадрат, то полученная сумма будет чётным числом.

Чтобы доказать, что если к целому числу прибавить его квадрат, то полученная сумма будет чётным числом, мы можем рассмотреть это утверждение с помощью алгебры.

Пусть $n$ — это произвольное целое число. Нам необходимо доказать, что выражение $n + n^2$ всегда является чётным.

Для начала преобразуем это выражение. Мы можем вынести общий множитель $n$ за скобки:$$n + n^2 = n(n + 1)$$

Теперь мы видим, что наша сумма равна произведению двух последовательных целых чисел: $n$ и $(n+1)$.

Любое целое число $n$ может быть либо чётным, либо нечётным. Рассмотрим оба этих случая.

1. Если $n$ — чётное число.
В этом случае произведение $n(n+1)$ будет чётным, так как один из его множителей ($n$) — чётный. Произведение любого целого числа на чётное число всегда является чётным.

2. Если $n$ — нечётное число.
В этом случае следующее за ним число, $(n+1)$, будет чётным. Например, если $n=3$, то $n+1=4$. Следовательно, произведение $n(n+1)$ будет чётным, так как один из его множителей ($n+1$) — чётный.

Таким образом, в обоих возможных случаях — когда $n$ чётное и когда $n$ нечётное — произведение $n(n+1)$ является чётным числом. Это означает, что и исходная сумма $n+n^2$ всегда будет чётным числом для любого целого $n$.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма целого числа и его квадрата $n+n^2$ равна произведению двух последовательных целых чисел $n(n+1)$. Так как из двух последовательных целых чисел одно всегда является чётным, то и их произведение всегда будет чётным числом.

903. Многочлен $a^2 - ab - b + b^2$ представьте в виде суммы двух двучленов, один из которых $a^2 - b$.

Чтобы представить многочлен $a^2 - ab - b + b^2$ в виде суммы двух двучленов, один из которых равен $a^2 - b$, обозначим второй, неизвестный двучлен, как $X$.

Тогда должно выполняться равенство:

$a^2 - ab - b + b^2 = (a^2 - b) + X$

Чтобы найти $X$, нужно из исходного многочлена вычесть известный двучлен:

$X = (a^2 - ab - b + b^2) - (a^2 - b)$

Раскроем скобки. Перед второй скобкой стоит знак минус, поэтому знаки слагаемых внутри нее изменятся на противоположные:

$X = a^2 - ab - b + b^2 - a^2 + b$

Теперь приведем подобные слагаемые:

$X = (a^2 - a^2) - ab + (-b + b) + b^2$

$X = 0 - ab + 0 + b^2$

$X = -ab + b^2$

Итак, второй двучлен равен $-ab + b^2$. Теперь можно записать исходный многочлен в виде суммы двух двучленов:

$a^2 - ab - b + b^2 = (a^2 - b) + (-ab + b^2)$

Ответ: $(a^2 - b) + (-ab + b^2)$

904. Многочлен $3a + 5ab - 2b^2 - b$ представьте в виде разности двух многочленов, один из которых $3a - b$.

Пусть данный многочлен $P = 3a + 5ab - 2b^2 - b$. Нам необходимо представить его в виде разности двух многочленов, назовем их $A$ и $B$, так что $P = A - B$. Согласно условию задачи, один из этих многочленов ($A$ или $B$) равен $3a - b$. Это приводит к двум возможным вариантам решения.

Вариант 1: Известный многочлен является уменьшаемым

Предположим, что уменьшаемое $A$ равно $3a - b$. Нам нужно найти вычитаемое $B$.
Запишем уравнение:
$3a + 5ab - 2b^2 - b = (3a - b) - B$
Выразим из этого уравнения многочлен $B$:
$B = (3a - b) - (3a + 5ab - 2b^2 - b)$
Теперь раскроем скобки. Важно помнить, что знак минус перед скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри нее на противоположные.
$B = 3a - b - 3a - 5ab + 2b^2 + b$
Приведем подобные слагаемые:
$B = (3a - 3a) + (-b + b) - 5ab + 2b^2 = 0 + 0 - 5ab + 2b^2 = -5ab + 2b^2$
Таким образом, искомая разность имеет вид: $(3a - b) - (-5ab + 2b^2)$.

Ответ: $(3a - b) - (-5ab + 2b^2)$

Вариант 2: Известный многочлен является вычитаемым

Предположим, что вычитаемое $B$ равно $3a - b$. Нам нужно найти уменьшаемое $A$.
Запишем уравнение:
$3a + 5ab - 2b^2 - b = A - (3a - b)$
Выразим из этого уравнения многочлен $A$:
$A = (3a + 5ab - 2b^2 - b) + (3a - b)$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$A = 3a + 5ab - 2b^2 - b + 3a - b$
$A = (3a + 3a) + 5ab - 2b^2 + (-b - b) = 6a + 5ab - 2b^2 - 2b$
Таким образом, искомая разность имеет вид: $(6a + 5ab - 2b^2 - 2b) - (3a - b)$.

Ответ: $(6a + 5ab - 2b^2 - 2b) - (3a - b)$

Оба представленных варианта являются правильными решениями поставленной задачи.

905. Запишите и упростите выражение $A - B - C + D$, если:

a) $A = 7x, B = xy + 4x, C = 5x - xy, D = -8xy;$

б) $A = a^2 + 2b, B = 3a^2 - b, C = b - 2a^2, D = 2a^2 - b.$

а)

Дано: $A = 7x$, $B = xy + 4x$, $C = 5x - xy$, $D = -8xy$.

Требуется найти и упростить выражение $A - B - C + D$.

Подставим данные многочлены в выражение, используя скобки для сохранения правильности знаков:

$A - B - C + D = (7x) - (xy + 4x) - (5x - xy) + (-8xy)$

Теперь раскроем скобки. Если перед скобкой стоит знак минус, все знаки внутри скобки меняются на противоположные:

$7x - xy - 4x - 5x + xy - 8xy$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые. Сначала сгруппируем слагаемые с переменной $x$, а затем слагаемые с $xy$:

$(7x - 4x - 5x) + (-xy + xy - 8xy)$

Выполним вычисления в каждой группе:

$(3x - 5x) + (0 - 8xy) = -2x - 8xy$

Ответ: $-2x - 8xy$

б)

Дано: $A = a^2 + 2b$, $B = 3a^2 - b$, $C = b - 2a^2$, $D = 2a^2 - b$.

Требуется найти и упростить выражение $A - B - C + D$.

Подставим данные многочлены в выражение:

$A - B - C + D = (a^2 + 2b) - (3a^2 - b) - (b - 2a^2) + (2a^2 - b)$

Раскроем скобки, изменяя знаки слагаемых, перед которыми стоял минус:

$a^2 + 2b - 3a^2 + b - b + 2a^2 + 2a^2 - b$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые. Сначала сгруппируем слагаемые с $a^2$, а затем слагаемые с $b$:

$(a^2 - 3a^2 + 2a^2 + 2a^2) + (2b + b - b - b)$

Выполним вычисления в каждой группе:

$(-2a^2 + 2a^2 + 2a^2) + (3b - b - b) = (0 + 2a^2) + (2b - b) = 2a^2 + b$

Ответ: $2a^2 + b$

906. Вместо звёздочки подберите одночлен так, чтобы выполнялось равенство:

а) $6a + 4b = * (3a + 2b);$

б) $10x - 15y = * (2x - 3y);$

в) $6x - 6 = * (1 - x);$

г) $a^2 - \frac{1}{4}b^2 = * (b^2 - 4a^2).$

а) Чтобы найти одночлен, который нужно подставить вместо звёздочки в равенстве $6a + 4b = * (3a + 2b)$, необходимо левую часть равенства разложить на множители так, чтобы один из множителей был равен выражению в скобках. Вынесем общий множитель 2 за скобки в выражении $6a + 4b$:
$6a + 4b = 2 \cdot 3a + 2 \cdot 2b = 2(3a + 2b)$.
Теперь исходное равенство можно записать как:
$2(3a + 2b) = * (3a + 2b)$.
Отсюда видно, что вместо звёздочки нужно подставить число 2.
Ответ: 2.

б) Рассмотрим равенство $10x - 15y = * (2x - 3y)$. Аналогично предыдущему пункту, разложим на множители левую часть. Общим множителем для $10x$ и $15y$ является 5:
$10x - 15y = 5 \cdot 2x - 5 \cdot 3y = 5(2x - 3y)$.
Подставим это в исходное равенство:
$5(2x - 3y) = * (2x - 3y)$.
Следовательно, вместо звёздочки нужно подставить число 5.
Ответ: 5.

в) Рассмотрим равенство $6x - 6 = * (1 - x)$. Вынесем общий множитель 6 за скобки в левой части:
$6x - 6 = 6(x - 1)$.
Заметим, что выражение в скобках $(x - 1)$ отличается от выражения $(1 - x)$ только знаком. Можно записать: $x - 1 = -1 \cdot (1 - x) = -(1 - x)$.
Тогда левая часть преобразуется к виду:
$6(x - 1) = 6 \cdot (-(1 - x)) = -6(1 - x)$.
Теперь исходное равенство выглядит так:
$-6(1 - x) = * (1 - x)$.
Таким образом, вместо звёздочки следует подставить число -6.
Ответ: -6.

г) Рассмотрим равенство $a^2 - \frac{1}{4}b^2 = * (b^2 - 4a^2)$. Обозначим искомый одночлен за $M$. Тогда $M = \frac{a^2 - \frac{1}{4}b^2}{b^2 - 4a^2}$.
Преобразуем числитель, вынеся за скобки множитель $-\frac{1}{4}$. Чтобы вынести множитель, нужно каждый член выражения разделить на этот множитель:
$a^2 - \frac{1}{4}b^2 = -\frac{1}{4} \left( \frac{a^2}{-\frac{1}{4}} - \frac{\frac{1}{4}b^2}{-\frac{1}{4}} \right) = -\frac{1}{4}(-4a^2 - (-b^2)) = -\frac{1}{4}(-4a^2 + b^2) = -\frac{1}{4}(b^2 - 4a^2)$.
Подставим полученное выражение в исходное равенство:
$-\frac{1}{4}(b^2 - 4a^2) = * (b^2 - 4a^2)$.
Отсюда видно, что вместо звёздочки нужно подставить одночлен $-\frac{1}{4}$.
Ответ: $-\frac{1}{4}$.

907. Упростите выражение:

а) $4aab - 5ba^2 + 7a^2b - aba;$

б) $25aa^2b^3 + 2a^3b \cdot 5b^2 - a^2b^2 \cdot 8ab - 9a^3b^3 + 8aa^2b^3;$

в) $3pq - (p + q)^2;$

г) $7a^2 - (5a^2 - 6m^3);$

д) $x + (y - (x - y));$

е) $x - ((y - x) - y);$

ж) $(4a^2 - 5b^2)(5a^2 - 4b^2);$

з) $(7ab^2 + 3b^3)(2ab^3 - 4a^2);$

и) $(a^2 + 3ab - 2b^2)(2a^2 - 3b);$

к) $(3x^2 - 4x + 7)(5x^2 - x).$

а) Чтобы упростить выражение $4aab - 5ba^2 + 7a^2b - aba$, сначала приведем каждый член к стандартному виду. Стандартный вид одночлена — это произведение числового множителя, стоящего на первом месте, и степеней различных переменных.
$4aab = 4a^{1+1}b = 4a^2b$
$5ba^2 = 5a^2b$ (принято записывать переменные в алфавитном порядке)
$aba = a^{1+1}b = a^2b$
Теперь подставим упрощенные одночлены обратно в выражение:
$4a^2b - 5a^2b + 7a^2b - a^2b$
Все члены этого выражения являются подобными, так как у них одинаковая буквенная часть $a^2b$. Чтобы их сложить, нужно сложить их коэффициенты:
$(4 - 5 + 7 - 1)a^2b = (-1 + 7 - 1)a^2b = (6 - 1)a^2b = 5a^2b$.

Ответ: $5a^2b$

б) Упростим каждый член выражения $25aa^2b^3 + 2a^3b \cdot 5b^2 - a^2b^2 \cdot 8ab - 9a^3b^3 + 8aa^2b^3$:
$25aa^2b^3 = 25a^{1+2}b^3 = 25a^3b^3$
$2a^3b \cdot 5b^2 = (2 \cdot 5)a^3b^{1+2} = 10a^3b^3$
$a^2b^2 \cdot 8ab = 8a^{2+1}b^{2+1} = 8a^3b^3$
$8aa^2b^3 = 8a^{1+2}b^3 = 8a^3b^3$
Выражение принимает вид:
$25a^3b^3 + 10a^3b^3 - 8a^3b^3 - 9a^3b^3 + 8a^3b^3$
Все члены подобны, так как имеют буквенную часть $a^3b^3$. Сложим коэффициенты:
$(25 + 10 - 8 - 9 + 8)a^3b^3$. Заметим, что $-8a^3b^3$ и $+8a^3b^3$ взаимно уничтожаются.
$(25 + 10 - 9)a^3b^3 = (35 - 9)a^3b^3 = 26a^3b^3$.

Ответ: $26a^3b^3$

в) В выражении $3pq - (p + q)^2$ раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:
$(p+q)^2 = p^2 + 2pq + q^2$
Подставим это в исходное выражение:
$3pq - (p^2 + 2pq + q^2)$
Так как перед скобкой стоит знак "минус", все знаки внутри скобки меняются на противоположные:
$3pq - p^2 - 2pq - q^2$
Приведем подобные слагаемые $3pq$ и $-2pq$:
$(3 - 2)pq - p^2 - q^2 = 1pq - p^2 - q^2 = pq - p^2 - q^2$.

Ответ: $pq - p^2 - q^2$

г) Для упрощения выражения $7a^2 - (5a^2 - 6m^3)$ необходимо раскрыть скобки. Перед скобками стоит знак "минус", поэтому знаки всех членов в скобках изменятся на противоположные:
$7a^2 - 5a^2 + 6m^3$
Приведем подобные слагаемые $7a^2$ и $-5a^2$:
$(7-5)a^2 + 6m^3 = 2a^2 + 6m^3$.

Ответ: $2a^2 + 6m^3$

д) Упростим выражение $x + (y - (x - y))$ последовательно, начиная с внутренних скобок.
Раскроем внутренние скобки: $y - (x - y) = y - x + y$.
Приведем подобные члены внутри скобок: $y + y - x = 2y - x$.
Выражение примет вид: $x + (2y - x)$.
Раскроем оставшиеся скобки: $x + 2y - x$.
Приведем подобные слагаемые $x$ и $-x$: $(x - x) + 2y = 0 + 2y = 2y$.

Ответ: $2y$

е) Упростим выражение $x - ((y - x) - y)$, начиная с внутренних скобок.
Выражение в двойных скобках: $(y - x) - y$. Раскроем внутренние скобки: $y - x - y$.
Приведем подобные члены: $(y - y) - x = 0 - x = -x$.
Выражение примет вид: $x - (-x)$.
Раскроем скобки: $x + x = 2x$.

Ответ: $2x$

ж) Чтобы упростить $(4a^2 - 5b^2)(5a^2 - 4b^2)$, нужно перемножить два двучлена. Используем правило умножения многочленов (каждый член первого многочлена умножаем на каждый член второго):
$(4a^2)(5a^2) + (4a^2)(-4b^2) + (-5b^2)(5a^2) + (-5b^2)(-4b^2)$
Выполним умножение:
$20a^4 - 16a^2b^2 - 25a^2b^2 + 20b^4$
Приведем подобные слагаемые $-16a^2b^2$ и $-25a^2b^2$:
$20a^4 + (-16 - 25)a^2b^2 + 20b^4 = 20a^4 - 41a^2b^2 + 20b^4$.

Ответ: $20a^4 - 41a^2b^2 + 20b^4$

з) Для упрощения $(7ab^2 + 3b^3)(2ab^3 - 4a^2)$ перемножим двучлены:
$(7ab^2)(2ab^3) + (7ab^2)(-4a^2) + (3b^3)(2ab^3) + (3b^3)(-4a^2)$
Выполним умножение одночленов:
$14a^{1+1}b^{2+3} - 28a^{1+2}b^2 + 6ab^{3+3} - 12a^2b^3$
$14a^2b^5 - 28a^3b^2 + 6ab^6 - 12a^2b^3$
Подобных членов в полученном выражении нет, поэтому это окончательный вид. Можно упорядочить члены, например, по убыванию степени переменной $a$: $-28a^3b^2 + 14a^2b^5 - 12a^2b^3 + 6ab^6$.

Ответ: $-28a^3b^2 + 14a^2b^5 - 12a^2b^3 + 6ab^6$

и) Упростим выражение $(a^2 + 3ab - 2b^2)(2a^2 - 3b)$, умножив каждый член первого многочлена на каждый член второго:
$a^2(2a^2 - 3b) + 3ab(2a^2 - 3b) - 2b^2(2a^2 - 3b)$
Раскроем скобки:
$(a^2 \cdot 2a^2 - a^2 \cdot 3b) + (3ab \cdot 2a^2 - 3ab \cdot 3b) - (2b^2 \cdot 2a^2 - 2b^2 \cdot 3b)$
$(2a^4 - 3a^2b) + (6a^3b - 9ab^2) - (4a^2b^2 - 6b^3)$
$2a^4 - 3a^2b + 6a^3b - 9ab^2 - 4a^2b^2 + 6b^3$
В полученном выражении нет подобных слагаемых. Упорядочим его по убыванию степеней переменной $a$:
$2a^4 + 6a^3b - 4a^2b^2 - 3a^2b - 9ab^2 + 6b^3$.

Ответ: $2a^4 + 6a^3b - 4a^2b^2 - 3a^2b - 9ab^2 + 6b^3$

к) Для упрощения $(3x^2 - 4x + 7)(5x^2 - x)$ умножим каждый член первого многочлена на каждый член второго:
$3x^2(5x^2 - x) - 4x(5x^2 - x) + 7(5x^2 - x)$
Раскроем скобки:
$(15x^4 - 3x^3) - (20x^3 - 4x^2) + (35x^2 - 7x)$
$15x^4 - 3x^3 - 20x^3 + 4x^2 + 35x^2 - 7x$
Приведем подобные слагаемые:
$15x^4 + (-3x^3 - 20x^3) + (4x^2 + 35x^2) - 7x$
$15x^4 - 23x^3 + 39x^2 - 7x$.

Ответ: $15x^4 - 23x^3 + 39x^2 - 7x$

908. Преобразуйте выражение так, чтобы изменился знак, стоящий перед ним, на противоположный:

а) $(2x - 3)$;

б) $-(m - 3n)$;

в) $-(-2p + 3q)$;

г) $(-a - 2b).

Чтобы преобразовать выражение так, чтобы знак перед ним изменился на противоположный, нужно выполнить одно из двух действий:

• Если перед выражением стоит знак «+» (или знак отсутствует, что равносильно «+»), нужно поставить перед выражением знак «-», а само выражение заключить в скобки, поменяв знаки всех его членов на противоположные. Это эквивалентно использованию тождества $A = -(-A)$.
• Если перед выражением стоит знак «-», нужно убрать этот знак «-» и стоящие за ним скобки, поменяв знаки всех членов в скобках на противоположные. Это эквивалентно использованию тождества $-(A) = -A$.

а)
Дано выражение $(2x - 3)$. Перед ним стоит неявный знак «+». Чтобы изменить его на «-», вынесем минус за скобки. Для этого поставим знак «-» перед новыми скобками, а знаки слагаемых $2x$ и $-3$ поменяем на противоположные:
$(2x - 3) = -(-2x + 3)$
Для более удобной записи можно поменять слагаемые в скобках местами:
$-(-2x + 3) = -(3 - 2x)$
Таким образом, мы преобразовали выражение, изменив знак перед ним на противоположный.
Ответ: $-(3 - 2x)$

б)
Дано выражение $-(m - 3n)$. Перед ним стоит знак «-». Чтобы изменить его на «+», раскроем скобки. При этом минус перед скобками и сами скобки убираются, а знаки слагаемых $m$ и $-3n$ меняются на противоположные:
$-(m - 3n) = -m + 3n$
Для удобства поменяем слагаемые местами:
$-m + 3n = 3n - m$
Теперь перед выражением стоит неявный знак «+».
Ответ: $3n - m$

в)
Дано выражение $-(-2p + 3q)$. Перед ним стоит знак «-». Чтобы изменить его на «+», раскроем скобки. Минус перед скобками и сами скобки убираются, а знаки слагаемых $-2p$ и $+3q$ меняются на противоположные:
$-(-2p + 3q) = -(-2p) - (+3q) = 2p - 3q$
Теперь перед выражением стоит неявный знак «+».
Ответ: $2p - 3q$

г)
Дано выражение $(-a - 2b)$. Перед ним стоит неявный знак «+». Чтобы изменить его на «-», вынесем минус за скобки. Для этого поставим знак «-» перед новыми скобками, а знаки слагаемых $-a$ и $-2b$ поменяем на противоположные:
$(-a - 2b) = -(-(-a) - (-2b)) = -(a + 2b)$
Таким образом, мы преобразовали выражение, изменив знак перед ним на противоположный.
Ответ: $-(a + 2b)$

909. Подберите одночлены А и В так, чтобы выполнялось равенство:

а) $2a^2b^4 - 4a^3b^2 = A \cdot (b^2 - 2a);$

б) $A - 4x^2y^4 = 2x^2y^2 (3x - B);$

в) $10mn^4 + A = 5mn^2 \cdot (B + 3n);$

г) $(x - 2)(x + 3) = x^2 + A - 2x - B;$

д) $(a - A)(B - 1) = a^2 - a - ab + b;$

е) $(A + B)(p + q) = p^2 + pq + pq + q^2.$

а) Для того чтобы найти одночлен $A$, необходимо вынести общий множитель за скобки в левой части равенства. Левая часть: $2a^2b^4 - 4a^3b^2$. Найдём наибольший общий делитель для одночленов $2a^2b^4$ и $4a^3b^2$. Это $2a^2b^2$. Вынесем его за скобки: $2a^2b^2(b^2 - 2a)$. Теперь сравним полученное выражение с правой частью исходного равенства: $2a^2b^2(b^2 - 2a) = A \cdot (b^2 - 2a)$. Отсюда очевидно, что одночлен $A$ равен множителю перед скобкой.

Ответ: $A = 2a^2b^2$.

б) Раскроем скобки в правой части равенства $A - 4x^2y^4 = 2x^2y^2(3x - B)$: $2x^2y^2(3x - B) = 2x^2y^2 \cdot 3x - 2x^2y^2 \cdot B = 6x^3y^2 - 2x^2y^2B$. Теперь исходное равенство можно переписать в виде: $A - 4x^2y^4 = 6x^3y^2 - 2x^2y^2B$. Чтобы это тождество выполнялось, одночлены в обеих частях должны быть попарно равны. Приравняем одночлены, имеющие одинаковую буквенную часть: $A = 6x^3y^2$. $-4x^2y^4 = -2x^2y^2B$. Из второго уравнения выразим $B$: $B = \frac{-4x^2y^4}{-2x^2y^2} = 2y^2$.

Ответ: $A = 6x^3y^2$, $B = 2y^2$.

в) Раскроем скобки в правой части равенства $10mn^4 + A = 5mn^2 \cdot (B + 3n)$: $5mn^2(B + 3n) = 5mn^2 \cdot B + 5mn^2 \cdot 3n = 5mn^2B + 15mn^3$. Приравняем левую и правую части: $10mn^4 + A = 5mn^2B + 15mn^3$. Для выполнения этого равенства приравняем соответствующие одночлены: $10mn^4 = 5mn^2B$. $A = 15mn^3$. Из первого уравнения найдем $B$: $B = \frac{10mn^4}{5mn^2} = 2n^2$.

Ответ: $A = 15mn^3$, $B = 2n^2$.

г) Раскроем скобки в левой части равенства $(x - 2)(x + 3) = x^2 + A - 2x - B$: $(x - 2)(x + 3) = x^2 + 3x - 2x - 6 = x^2 + x - 6$. Теперь приравняем полученное выражение к правой части: $x^2 + x - 6 = x^2 + A - 2x - B$. Для того чтобы равенство было верным, необходимо, чтобы сумма членов с $x$ в левой части была равна сумме членов с $x$ в правой, а также чтобы свободные члены были равны. Приравниваем члены, содержащие $x$: $x = A - 2x$. Отсюда находим $A$: $A = x + 2x = 3x$. Приравниваем свободные члены (константы): $-6 = -B$. Отсюда $B = 6$.

Ответ: $A = 3x$, $B = 6$.

д) Разложим правую часть равенства $(a - A)(B - 1) = a^2 - a - ab + b$ на множители методом группировки: $a^2 - a - ab + b = (a^2 - a) - (ab - b) = a(a - 1) - b(a - 1) = (a - b)(a - 1)$. Теперь равенство имеет вид: $(a - A)(B - 1) = (a - b)(a - 1)$. Сравнивая множители в скобках, получаем систему уравнений: $a - A = a - b$ $B - 1 = a - 1$ Из первого уравнения получаем $A = b$. Из второго уравнения получаем $B = a$. Оба найденных значения $A$ и $B$ являются одночленами.

Ответ: $A = b$, $B = a$.

е) Упростим правую часть равенства $(A + B)(p + q) = p^2 + pq + pq + q^2$: $p^2 + pq + pq + q^2 = p^2 + 2pq + q^2$. Это выражение является полным квадратом суммы: $(p + q)^2$. Получаем тождество: $(A + B)(p + q) = (p + q)^2$. Разделив обе части на $(p + q)$ (при условии, что $p+q \neq 0$), получим: $A + B = p + q$. Нужно подобрать такие одночлены $A$ и $B$, чтобы их сумма была равна $p + q$. Наиболее очевидный выбор: $A = p$ $B = q$ (Также возможен вариант $A=q, B=p$).

Ответ: $A = p$, $B = q$.

910. Упростите выражение:

а) $(x - 1)(x + 1)$;

б) $(x - 1)(x^2 + x + 1)$;

в) $(x - 1)(x^3 + x^2 + x + 1)$.

а) Для упрощения этого выражения применяется формула сокращенного умножения, известная как "разность квадратов": $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.
В нашем случае, $a = x$ и $b = 1$.
Подставим эти значения в формулу:
$(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1^2 = x^2 - 1$.
Ответ: $x^2 - 1$.

б) Это выражение соответствует формуле сокращенного умножения "разность кубов": $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$.
Здесь $a = x$ и $b = 1$.
Применяя формулу, получаем:
$(x - 1)(x^2 + x + 1) = (x - 1)(x^2 + x \cdot 1 + 1^2) = x^3 - 1^3 = x^3 - 1$.
Ответ: $x^3 - 1$.

в) Чтобы упростить данное выражение, необходимо перемножить многочлены, раскрыв скобки. Для этого умножим каждый член из первой скобки на многочлен во второй скобке.
$(x - 1)(x^3 + x^2 + x + 1) = x(x^3 + x^2 + x + 1) - 1(x^3 + x^2 + x + 1)$
$= (x \cdot x^3 + x \cdot x^2 + x \cdot x + x \cdot 1) - (1 \cdot x^3 + 1 \cdot x^2 + 1 \cdot x + 1 \cdot 1)$
$= (x^4 + x^3 + x^2 + x) - (x^3 + x^2 + x + 1)$
Теперь раскроем вторые скобки и приведем подобные слагаемые:
$= x^4 + x^3 + x^2 + x - x^3 - x^2 - x - 1$
$= x^4 + (x^3 - x^3) + (x^2 - x^2) + (x - x) - 1$
$= x^4 - 1$.
Ответ: $x^4 - 1$.