Страница 245 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

939. a) $ \frac{(9,126 : 0,65 + 0,46) \cdot 7,18 + 1,45 \cdot 28,2}{3,45^2 - 0,55^2} $,

б) $ \frac{0,35 \cdot 388 - 28,8 \cdot (20,56 - 14,501 : 0,85)}{3,05^2 - 2,55^2} $,

в) $ \frac{(3 \frac{9}{20} + 1 \frac{1}{6}) : 27,7 + 5 \frac{1}{7} \cdot 3,85 - 14 \frac{3}{20}}{(1,75 : \frac{2}{3} - 1,75 : 1 \frac{1}{8}) : \frac{7}{12}} $.

Решим по действиям.
1. Вычислим значение числителя: $(9,126 : 0,65 + 0,46) \cdot 7,18 + 1,45 \cdot 28,2$.
1) $9,126 : 0,65 = 14,04$
2) $14,04 + 0,46 = 14,5$
3) $14,5 \cdot 7,18 = 104,11$
4) $1,45 \cdot 28,2 = 40,89$
5) $104,11 + 40,89 = 145$
Таким образом, числитель равен $145$.
2. Вычислим значение знаменателя: $3,45^2 - 0,55^2$.
Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$3,45^2 - 0,55^2 = (3,45 - 0,55) \cdot (3,45 + 0,55) = 2,9 \cdot 4 = 11,6$.
Таким образом, знаменатель равен $11,6$.
3. Найдем значение дроби:
$\frac{145}{11,6} = \frac{1450}{116} = 12,5$.
Ответ: $12,5$.

Решим по действиям.
1. Вычислим значение числителя: $3,05^2 - 2,55^2$.
Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$3,05^2 - 2,55^2 = (3,05 - 2,55) \cdot (3,05 + 2,55) = 0,5 \cdot 5,6 = 2,8$.
Таким образом, числитель равен $2,8$.
2. Вычислим значение знаменателя: $0,35 \cdot 388 - 28,8 \cdot (20,56 - 14,501 : 0,85)$.
1) $14,501 : 0,85 = 17,06$
2) $20,56 - 17,06 = 3,5$
3) $28,8 \cdot 3,5 = 100,8$
4) $0,35 \cdot 388 = 135,8$
5) $135,8 - 100,8 = 35$
Таким образом, знаменатель равен $35$.
3. Найдем значение дроби:
$\frac{2,8}{35} = \frac{28}{350} = \frac{4}{50} = 0,08$.
Ответ: $0,08$.

Решим по действиям, предварительно преобразовав десятичные дроби в обыкновенные:
$1,75 = 1\frac{3}{4} = \frac{7}{4}$; $27,7 = 27\frac{7}{10} = \frac{277}{10}$; $3,85 = 3\frac{17}{20} = \frac{77}{20}$.
1. Вычислим значение числителя: $(3\frac{9}{20} + 1\frac{1}{6}) : 27,7 + 5\frac{1}{7} \cdot 3,85 - 14\frac{3}{20}$.
1) $3\frac{9}{20} + 1\frac{1}{6} = 3\frac{27}{60} + 1\frac{10}{60} = 4\frac{37}{60} = \frac{277}{60}$
2) $\frac{277}{60} : 27,7 = \frac{277}{60} : \frac{277}{10} = \frac{277}{60} \cdot \frac{10}{277} = \frac{10}{60} = \frac{1}{6}$
3) $5\frac{1}{7} \cdot 3,85 = \frac{36}{7} \cdot \frac{77}{20} = \frac{9 \cdot 11}{5} = \frac{99}{5}$
4) $\frac{1}{6} + \frac{99}{5} - 14\frac{3}{20} = \frac{1}{6} + \frac{99}{5} - \frac{283}{20} = \frac{10 + 1188 - 849}{60} = \frac{349}{60}$
Таким образом, числитель равен $\frac{349}{60}$.
2. Вычислим значение знаменателя: $(1,75 : \frac{2}{3} - 1,75 : 1\frac{1}{8}) : \frac{7}{12}$.
1) $1,75 : \frac{2}{3} = \frac{7}{4} : \frac{2}{3} = \frac{7}{4} \cdot \frac{3}{2} = \frac{21}{8}$
2) $1,75 : 1\frac{1}{8} = \frac{7}{4} : \frac{9}{8} = \frac{7}{4} \cdot \frac{8}{9} = \frac{14}{9}$
3) $\frac{21}{8} - \frac{14}{9} = \frac{189 - 112}{72} = \frac{77}{72}$
4) $\frac{77}{72} : \frac{7}{12} = \frac{77}{72} \cdot \frac{12}{7} = \frac{11}{6}$
Таким образом, знаменатель равен $\frac{11}{6}$.
3. Найдем значение всей дроби:
$\frac{\frac{349}{60}}{\frac{11}{6}} = \frac{349}{60} : \frac{11}{6} = \frac{349}{60} \cdot \frac{6}{11} = \frac{349}{10 \cdot 11} = \frac{349}{110}$
4. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$\frac{349}{110} = 3\frac{19}{110}$.
Ответ: $3\frac{19}{110}$.

940. a) $ \frac{(12,4^2 - 4 \cdot 2^2) \cdot 0,49}{0,5^3 - 0,3^3} $;

б) $ \frac{0,8^3 + 0,3^3}{(7,5^2 - 3,1^2) \cdot 0,049} $;

в) $ \frac{14^2 - 15^2 + 6^2}{12^2 - 13^2 + 15^2} $;

г) $ \frac{19^2 - 2 \cdot 19 \cdot 18 + 18^2}{0,7^3 - 0,9^3} $.

a) Упростим числитель и знаменатель дроби, используя формулы сокращенного умножения.
В числителе применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$(12,4^2 - 4,2^2) \cdot 0,49 = (12,4 - 4,2)(12,4 + 4,2) \cdot 0,49 = 8,2 \cdot 16,6 \cdot 0,49$.
В знаменателе применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:
$0,5^3 - 0,3^3 = (0,5 - 0,3)(0,5^2 + 0,5 \cdot 0,3 + 0,3^2) = 0,2 \cdot (0,25 + 0,15 + 0,09) = 0,2 \cdot 0,49$.
Теперь подставим полученные выражения в исходную дробь и выполним вычисления:
$\frac{8,2 \cdot 16,6 \cdot 0,49}{0,2 \cdot 0,49} = \frac{8,2 \cdot 16,6}{0,2} = 41 \cdot 16,6 = 680,6$.
Ответ: $680,6$.

б) Упростим числитель и знаменатель, используя формулы сокращенного умножения.
В числителе применим формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$:
$0,8^3 + 0,3^3 = (0,8 + 0,3)(0,8^2 - 0,8 \cdot 0,3 + 0,3^2) = 1,1 \cdot (0,64 - 0,24 + 0,09) = 1,1 \cdot 0,49$.
В знаменателе применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$(7,5^2 - 3,1^2) \cdot 0,049 = (7,5 - 3,1)(7,5 + 3,1) \cdot 0,049 = 4,4 \cdot 10,6 \cdot 0,049$.
Подставим полученные значения в дробь:
$\frac{1,1 \cdot 0,49}{4,4 \cdot 10,6 \cdot 0,049}$.
Заметим, что $0,49 = 10 \cdot 0,049$, и сократим общие множители:
$\frac{1,1 \cdot 10 \cdot 0,049}{4,4 \cdot 10,6 \cdot 0,049} = \frac{1,1 \cdot 10}{4,4 \cdot 10,6} = \frac{11}{4,4 \cdot 10,6}$.
Сократим дробь $\frac{11}{4,4}$, разделив числитель и знаменатель на 1,1: $\frac{11}{4,4} = \frac{10}{4}$.
$\frac{10}{4 \cdot 10,6} = \frac{5}{2 \cdot 10,6} = \frac{5}{21,2} = \frac{50}{212} = \frac{25}{106}$.
Ответ: $\frac{25}{106}$.

в) Для решения этого примера вычислим значения квадратов чисел и выполним арифметические действия.
Вычислим числитель:
$14^2 - 15^2 + 6^2 = 196 - 225 + 36 = -29 + 36 = 7$.
Для удобства можно было использовать формулу разности квадратов:
$(14-15)(14+15) + 36 = (-1) \cdot 29 + 36 = 7$.
Вычислим знаменатель:
$12^2 - 13^2 + 15^2 = 144 - 169 + 225 = -25 + 225 = 200$.
Аналогично, с использованием формулы разности квадратов:
$(12-13)(12+13) + 225 = (-1) \cdot 25 + 225 = 200$.
В результате получаем дробь:
$\frac{7}{200}$.
Эту дробь можно представить в виде десятичной: $\frac{7}{200} = \frac{3,5}{100} = 0,035$.
Ответ: $\frac{7}{200}$ (или $0,035$).

г) Упростим числитель и знаменатель, используя формулы сокращенного умножения.
Числитель представляет собой полный квадрат разности. Применим формулу $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$:
$19^2 - 2 \cdot 19 \cdot 18 + 18^2 = (19 - 18)^2 = 1^2 = 1$.
В знаменателе применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:
$0,7^3 - 0,9^3 = (0,7 - 0,9)(0,7^2 + 0,7 \cdot 0,9 + 0,9^2) = -0,2 \cdot (0,49 + 0,63 + 0,81) = -0,2 \cdot 1,93 = -0,386$.
Подставим полученные значения в дробь:
$\frac{1}{-0,386} = -\frac{1}{0,386} = -\frac{1000}{386}$.
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:
$-\frac{1000}{386} = -\frac{500}{193}$.
Ответ: $-\frac{500}{193}$.

941. a)

$\frac{\left( \frac{97^3 - 53^3}{44} + 97 \cdot 53 \right) : (152,5^2 - 27,5^2)}{\left( 36,5^2 - 17,5^2 \right) : \left( \frac{57^3 + 33^3}{90} - 57 \cdot 33 \right)};$

б) $\frac{\left( 94,5^2 - 30,5^2 \right) : \left( \frac{69^3 + 29^3}{98} - 69 \cdot 29 \right)}{\left( 133,5^2 - 58,5^2 \right) : \left( \frac{79^3 - 41^3}{38} + 79 \cdot 41 \right)}.$

а)

Решим данное выражение по действиям. Все выражение представляет собой большую дробь. Сначала вычислим значение ее числителя, а затем знаменателя.

1. Вычислим числитель: $ \left(\frac{97^3 - 53^3}{44} + 97 \cdot 53\right) : (152,5^2 - 27,5^2) $.

а) Упростим первое выражение в скобках $ \frac{97^3 - 53^3}{44} + 97 \cdot 53 $. Для этого применим формулу разности кубов $ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) $:

$ \frac{97^3 - 53^3}{44} = \frac{(97 - 53)(97^2 + 97 \cdot 53 + 53^2)}{44} = \frac{44(97^2 + 97 \cdot 53 + 53^2)}{44} = 97^2 + 97 \cdot 53 + 53^2 $.

Теперь подставим это обратно в выражение в скобках:

$ (97^2 + 97 \cdot 53 + 53^2) + 97 \cdot 53 = 97^2 + 2 \cdot 97 \cdot 53 + 53^2 $.

Полученное выражение является полным квадратом суммы по формуле $ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $:

$ 97^2 + 2 \cdot 97 \cdot 53 + 53^2 = (97 + 53)^2 = 150^2 $.

б) Упростим второе выражение в скобках $ 152,5^2 - 27,5^2 $. Применим формулу разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) $:

$ 152,5^2 - 27,5^2 = (152,5 - 27,5)(152,5 + 27,5) = 125 \cdot 180 $.

в) Выполним деление результатов из пунктов (а) и (б):

$ 150^2 : (125 \cdot 180) = \frac{150 \cdot 150}{125 \cdot 180} = \frac{22500}{22500} = 1 $.

Итак, числитель всей дроби равен 1.

2. Вычислим знаменатель: $ (36,5^2 - 17,5^2) : \left(\frac{57^3 + 33^3}{90} - 57 \cdot 33\right) $.

а) Упростим первое выражение $ 36,5^2 - 17,5^2 $ по формуле разности квадратов:

$ 36,5^2 - 17,5^2 = (36,5 - 17,5)(36,5 + 17,5) = 19 \cdot 54 $.

б) Упростим второе выражение в скобках $ \frac{57^3 + 33^3}{90} - 57 \cdot 33 $. Применим формулу суммы кубов $ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) $:

$ \frac{57^3 + 33^3}{90} = \frac{(57 + 33)(57^2 - 57 \cdot 33 + 33^2)}{90} = \frac{90(57^2 - 57 \cdot 33 + 33^2)}{90} = 57^2 - 57 \cdot 33 + 33^2 $.

Подставим обратно в выражение в скобках:

$ (57^2 - 57 \cdot 33 + 33^2) - 57 \cdot 33 = 57^2 - 2 \cdot 57 \cdot 33 + 33^2 $.

Это формула квадрата разности $ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $:

$ 57^2 - 2 \cdot 57 \cdot 33 + 33^2 = (57 - 33)^2 = 24^2 $.

в) Выполним деление:

$ (19 \cdot 54) : 24^2 = \frac{19 \cdot 54}{24 \cdot 24} = \frac{19 \cdot (9 \cdot 6)}{4 \cdot 6 \cdot 24} = \frac{19 \cdot 9}{4 \cdot 24} = \frac{19 \cdot 3 \cdot 3}{4 \cdot 8 \cdot 3} = \frac{19 \cdot 3}{32} = \frac{57}{32} $.

Итак, знаменатель всей дроби равен $ \frac{57}{32} $.

3. Найдем значение исходного выражения, разделив числитель на знаменатель:

$ 1 : \frac{57}{32} = 1 \cdot \frac{32}{57} = \frac{32}{57} $.

Ответ: $ \frac{32}{57} $.

б)

Решим данное выражение аналогично предыдущему пункту, вычислив числитель и знаменатель большой дроби.

1. Вычислим числитель: $ (94,5^2 - 30,5^2) : \left(\frac{69^3 + 29^3}{98} - 69 \cdot 29\right) $.

а) Упростим первое выражение $ 94,5^2 - 30,5^2 $ по формуле разности квадратов:

$ 94,5^2 - 30,5^2 = (94,5 - 30,5)(94,5 + 30,5) = 64 \cdot 125 $.

б) Упростим второе выражение в скобках $ \frac{69^3 + 29^3}{98} - 69 \cdot 29 $. Применим формулу суммы кубов:

$ \frac{69^3 + 29^3}{98} = \frac{(69 + 29)(69^2 - 69 \cdot 29 + 29^2)}{98} = \frac{98(69^2 - 69 \cdot 29 + 29^2)}{98} = 69^2 - 69 \cdot 29 + 29^2 $.

Подставим обратно и получим:

$ (69^2 - 69 \cdot 29 + 29^2) - 69 \cdot 29 = 69^2 - 2 \cdot 69 \cdot 29 + 29^2 $.

Это формула квадрата разности:

$ 69^2 - 2 \cdot 69 \cdot 29 + 29^2 = (69 - 29)^2 = 40^2 $.

в) Выполним деление:

$ (64 \cdot 125) : 40^2 = \frac{64 \cdot 125}{40 \cdot 40} = \frac{8000}{1600} = 5 $.

Итак, числитель всей дроби равен 5.

2. Вычислим знаменатель: $ (133,5^2 - 58,5^2) : \left(\frac{79^3 - 41^3}{38} + 79 \cdot 41\right) $.

а) Упростим первое выражение $ 133,5^2 - 58,5^2 $ по формуле разности квадратов:

$ 133,5^2 - 58,5^2 = (133,5 - 58,5)(133,5 + 58,5) = 75 \cdot 192 $.

б) Упростим второе выражение в скобках $ \frac{79^3 - 41^3}{38} + 79 \cdot 41 $. Применим формулу разности кубов:

$ \frac{79^3 - 41^3}{38} = \frac{(79 - 41)(79^2 + 79 \cdot 41 + 41^2)}{38} = \frac{38(79^2 + 79 \cdot 41 + 41^2)}{38} = 79^2 + 79 \cdot 41 + 41^2 $.

Подставим обратно и получим:

$ (79^2 + 79 \cdot 41 + 41^2) + 79 \cdot 41 = 79^2 + 2 \cdot 79 \cdot 41 + 41^2 $.

Это формула квадрата суммы:

$ 79^2 + 2 \cdot 79 \cdot 41 + 41^2 = (79 + 41)^2 = 120^2 $.

в) Выполним деление:

$ (75 \cdot 192) : 120^2 = \frac{75 \cdot 192}{120 \cdot 120} = \frac{14400}{14400} = 1 $.

Итак, знаменатель всей дроби равен 1.

3. Найдем значение исходного выражения, разделив числитель на знаменатель:

$ \frac{5}{1} = 5 $.

Ответ: $ 5 $.

942. Сократите дробь:

а) $\frac{8a^2c + 16abc - 4ac^2}{6bc^2 - 12abc - 24b^2c}$;

б) $\frac{30m^2k - 70mnk - 40mk^2}{56n^2k + 32nk^2 - 24mnk}$;

В) $\frac{15a^3bc - 30a^2b^2c + 15ab^3c}{12a^3c^2 - 12ab^2c^2}$;

Г) $\frac{80m^2n^3k^2 - 20m^4nk^2}{16m^3nk^2 - 64m^2n^2k^2 + 64mn^3k^2}$.

а) $\frac{8a^2c + 16abc - 4ac^2}{6bc^2 - 12abc - 24b^2c}$

Чтобы сократить дробь, необходимо разложить числитель и знаменатель на множители.

1. Разложим на множители числитель. Найдем общий множитель для всех членов выражения $8a^2c + 16abc - 4ac^2$. Общий числовой множитель для 8, 16 и -4 равен 4. Общие переменные - $a$ и $c$. Наименьшая степень для $a$ - первая, для $c$ - первая. Таким образом, общий множитель - $4ac$. Вынесем его за скобки:
$8a^2c + 16abc - 4ac^2 = 4ac(2a + 4b - c)$

2. Разложим на множители знаменатель. Найдем общий множитель для всех членов выражения $6bc^2 - 12abc - 24b^2c$. Общий числовой множитель для 6, -12 и -24 равен 6. Общие переменные - $b$ и $c$. Наименьшая степень для $b$ - первая, для $c$ - первая. Таким образом, общий множитель - $6bc$. Вынесем его за скобки:
$6bc^2 - 12abc - 24b^2c = 6bc(c - 2a - 4b)$

3. Подставим разложенные выражения обратно в дробь:
$\frac{4ac(2a + 4b - c)}{6bc(c - 2a - 4b)}$

4. Заметим, что выражение в скобках в знаменателе $(c - 2a - 4b)$ является противоположным выражению в скобках в числителе $(2a + 4b - c)$. Вынесем знак минус из скобок в знаменателе:
$c - 2a - 4b = -( -c + 2a + 4b) = -(2a + 4b - c)$
Тогда дробь примет вид:
$\frac{4ac(2a + 4b - c)}{-6bc(2a + 4b - c)}$

5. Сократим общий множитель $(2a + 4b - c)$, а также общие множители $2$ и $c$ в оставшейся части дроби:
$\frac{4a}{-6b} = -\frac{2 \cdot 2 \cdot a}{2 \cdot 3 \cdot b} = -\frac{2a}{3b}$

Ответ: $-\frac{2a}{3b}$

б) $\frac{30m^2k - 70mnk - 40mk^2}{56n^2k + 32nk^2 - 24mnk}$

1. В числителе $30m^2k - 70mnk - 40mk^2$ вынесем за скобки общий множитель $10mk$:
$10mk(3m - 7n - 4k)$

2. В знаменателе $56n^2k + 32nk^2 - 24mnk$ вынесем за скобки общий множитель $8nk$:
$8nk(7n + 4k - 3m)$

3. Запишем дробь с разложенными на множители числителем и знаменателем:
$\frac{10mk(3m - 7n - 4k)}{8nk(7n + 4k - 3m)}$

4. Выражение в скобках в знаменателе $(7n + 4k - 3m)$ противоположно выражению в числителе $(3m - 7n - 4k)$. Вынесем минус в знаменателе:
$7n + 4k - 3m = -( -7n - 4k + 3m) = -(3m - 7n - 4k)$
Дробь станет равна:
$\frac{10mk(3m - 7n - 4k)}{-8nk(3m - 7n - 4k)}$

5. Сократим общий множитель $(3m - 7n - 4k)$, а также общие множители $2$ и $k$ в оставшейся части дроби:
$\frac{10m}{-8n} = -\frac{2 \cdot 5 \cdot m}{2 \cdot 4 \cdot n} = -\frac{5m}{4n}$

Ответ: $-\frac{5m}{4n}$

в) $\frac{15a^3bc - 30a^2b^2c + 15ab^3c}{12a^3c^2 - 12ab^2c^2}$

1. В числителе вынесем общий множитель $15abc$ и применим формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:
$15a^3bc - 30a^2b^2c + 15ab^3c = 15abc(a^2 - 2ab + b^2) = 15abc(a-b)^2$

2. В знаменателе вынесем общий множитель $12ac^2$ и применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:
$12a^3c^2 - 12ab^2c^2 = 12ac^2(a^2 - b^2) = 12ac^2(a-b)(a+b)$

3. Запишем дробь в новом виде:
$\frac{15abc(a-b)^2}{12ac^2(a-b)(a+b)}$

4. Сократим общие множители. Коэффициенты 15 и 12 сокращаются на 3. Переменные $a$ и $c$ также сокращаются. Множитель $(a-b)$ сокращается:
$\frac{15abc(a-b)^2}{12ac^2(a-b)(a+b)} = \frac{5 \cdot 3 \cdot a \cdot b \cdot c \cdot (a-b) \cdot (a-b)}{4 \cdot 3 \cdot a \cdot c \cdot c \cdot (a-b) \cdot (a+b)} = \frac{5b(a-b)}{4c(a+b)}$

Ответ: $\frac{5b(a-b)}{4c(a+b)}$

г) $\frac{80m^2n^3k^2 - 20m^4nk^2}{16m^3nk^2 - 64m^2n^2k^2 + 64mn^3k^2}$

1. В числителе вынесем общий множитель $20m^2nk^2$ и применим формулу разности квадратов:
$80m^2n^3k^2 - 20m^4nk^2 = 20m^2nk^2(4n^2 - m^2) = 20m^2nk^2(2n-m)(2n+m)$

2. В знаменателе вынесем общий множитель $16mnk^2$ и применим формулу квадрата разности:
$16m^3nk^2 - 64m^2n^2k^2 + 64mn^3k^2 = 16mnk^2(m^2 - 4mn + 4n^2) = 16mnk^2(m-2n)^2$

3. Запишем дробь в новом виде:
$\frac{20m^2nk^2(2n-m)(2n+m)}{16mnk^2(m-2n)^2}$

4. Заметим, что $(2n-m) = -(m-2n)$. Подставим это в числитель:
$\frac{20m^2nk^2(-(m-2n))(2n+m)}{16mnk^2(m-2n)^2} = \frac{-20m^2nk^2(m-2n)(m+2n)}{16mnk^2(m-2n)^2}$

5. Сократим общие множители. Коэффициенты 20 и 16 сокращаются на 4. Переменные $m, n, k$ также сокращаются. Множитель $(m-2n)$ сокращается:
$\frac{-5 \cdot 4 \cdot m \cdot m \cdot n \cdot k^2 \cdot (m-2n) \cdot (m+2n)}{4 \cdot 4 \cdot m \cdot n \cdot k^2 \cdot (m-2n) \cdot (m-2n)} = \frac{-5m(m+2n)}{4(m-2n)}$

Ответ: $-\frac{5m(m+2n)}{4(m-2n)}$

Упростите выражение (943—944):

943. а) $\frac{1}{a} + \frac{2}{a};$

б) $\frac{1}{b} + \frac{3}{2b};$

В) $\frac{3}{x - a} - \frac{x}{x - a};$

Г) $\frac{b}{a - b} - \frac{5}{b - a};$

Д) $\frac{3k}{b} + \frac{2b}{k};$

е) $\frac{3b}{(b - 1)^2} + \frac{2}{1 - b};$

Ж) $\frac{2x - 1}{x^2 - 4} + \frac{4}{x - 2};$

З) $\frac{7}{m} - \frac{4}{m - 2n};$

$\frac{m - n}{4n^2 - m^2};$

И) $\frac{3x}{x^2 - 2x + 1} - \frac{6}{x^2 - 1} - \frac{3x - 2}{x^2 + 2x + 1}.$

а) $\frac{1}{a} + \frac{2}{a}$

Так как знаменатели дробей одинаковы, складываем их числители:

$\frac{1 + 2}{a} = \frac{3}{a}$

Ответ: $\frac{3}{a}$

б) $\frac{1}{b} + \frac{3}{2b}$

Приводим дроби к общему знаменателю $2b$. Для этого первую дробь домножаем на 2:

$\frac{1 \cdot 2}{b \cdot 2} + \frac{3}{2b} = \frac{2}{2b} + \frac{3}{2b}$

Складываем числители дробей с одинаковыми знаменателями:

$\frac{2 + 3}{2b} = \frac{5}{2b}$

Ответ: $\frac{5}{2b}$

в) $\frac{3}{x - a} - \frac{x}{x - a}$

Знаменатели дробей одинаковы, поэтому вычитаем их числители:

$\frac{3 - x}{x - a}$

Ответ: $\frac{3 - x}{x - a}$

г) $\frac{b}{a - b} - \frac{5}{b - a}$

Заметим, что знаменатели отличаются только знаком: $b - a = -(a - b)$. Преобразуем вторую дробь, вынеся минус из знаменателя:

$\frac{b}{a - b} - \frac{5}{-(a - b)} = \frac{b}{a - b} + \frac{5}{a - b}$

Теперь, когда знаменатели одинаковы, складываем числители:

$\frac{b + 5}{a - b}$

Ответ: $\frac{b + 5}{a - b}$

д) $\frac{3k}{b} + \frac{2b}{k}$

Приводим дроби к общему знаменателю $bk$. Для этого домножаем первую дробь на $k$, а вторую на $b$:

$\frac{3k \cdot k}{b \cdot k} + \frac{2b \cdot b}{k \cdot b} = \frac{3k^2}{bk} + \frac{2b^2}{bk}$

Складываем дроби:

$\frac{3k^2 + 2b^2}{bk}$

Ответ: $\frac{3k^2 + 2b^2}{bk}$

е) $\frac{3b}{(b - 1)^2} + \frac{2}{1 - b}$

Преобразуем знаменатель второй дроби: $1 - b = -(b - 1)$.

$\frac{3b}{(b - 1)^2} + \frac{2}{-(b - 1)} = \frac{3b}{(b - 1)^2} - \frac{2}{b - 1}$

Общий знаменатель равен $(b-1)^2$. Домножим числитель и знаменатель второй дроби на $(b-1)$:

$\frac{3b}{(b - 1)^2} - \frac{2(b - 1)}{(b - 1)(b - 1)} = \frac{3b - 2(b - 1)}{(b - 1)^2}$

Раскрываем скобки в числителе и приводим подобные слагаемые:

$\frac{3b - 2b + 2}{(b - 1)^2} = \frac{b + 2}{(b - 1)^2}$

Ответ: $\frac{b + 2}{(b - 1)^2}$

ж) $\frac{2x - 1}{x^2 - 4} + \frac{4}{x - 2}$

Разложим на множители знаменатель первой дроби по формуле разности квадратов: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$.

$\frac{2x - 1}{(x - 2)(x + 2)} + \frac{4}{x - 2}$

Общий знаменатель — $(x-2)(x+2)$. Домножим вторую дробь на $(x+2)$:

$\frac{2x - 1}{(x - 2)(x + 2)} + \frac{4(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)}$

Складываем числители:

$\frac{2x - 1 + 4(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{2x - 1 + 4x + 8}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{6x + 7}{x^2 - 4}$

Ответ: $\frac{6x + 7}{x^2 - 4}$

з) $\frac{7}{m} - \frac{4}{m - 2n} - \frac{m - n}{4n^2 - m^2}$

Преобразуем знаменатель третьей дроби: $4n^2 - m^2 = (2n - m)(2n + m) = -(m - 2n)(m + 2n)$.

Выражение принимает вид:

$\frac{7}{m} - \frac{4}{m - 2n} - \frac{m - n}{-(m - 2n)(m + 2n)} = \frac{7}{m} - \frac{4}{m - 2n} + \frac{m - n}{(m - 2n)(m + 2n)}$

Общий знаменатель: $m(m - 2n)(m + 2n) = m(m^2 - 4n^2)$. Приводим дроби к общему знаменателю:

$\frac{7(m^2 - 4n^2)}{m(m^2 - 4n^2)} - \frac{4m(m + 2n)}{m(m^2 - 4n^2)} + \frac{m(m - n)}{m(m^2 - 4n^2)}$

Объединяем дроби и раскрываем скобки в числителе:

$\frac{7m^2 - 28n^2 - (4m^2 + 8mn) + (m^2 - mn)}{m(m^2 - 4n^2)} = \frac{7m^2 - 28n^2 - 4m^2 - 8mn + m^2 - mn}{m(m^2 - 4n^2)}$

Приводим подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(7m^2 - 4m^2 + m^2) - (8mn + mn) - 28n^2}{m(m^2 - 4n^2)} = \frac{4m^2 - 9mn - 28n^2}{m(m^2 - 4n^2)}$

Ответ: $\frac{4m^2 - 9mn - 28n^2}{m(m^2 - 4n^2)}$

и) $\frac{3x}{x^2 - 2x + 1} - \frac{6}{x^2 - 1} - \frac{3x - 2}{x^2 + 2x + 1}$

Разложим знаменатели на множители, используя формулы сокращенного умножения:

$x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$

$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$

$x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$

Выражение примет вид:

$\frac{3x}{(x - 1)^2} - \frac{6}{(x - 1)(x + 1)} - \frac{3x - 2}{(x + 1)^2}$

Общий знаменатель равен $(x - 1)^2(x + 1)^2 = (x^2 - 1)^2$. Приводим дроби к общему знаменателю:

$\frac{3x(x + 1)^2}{(x^2 - 1)^2} - \frac{6(x - 1)(x + 1)}{(x^2 - 1)^2} - \frac{(3x - 2)(x - 1)^2}{(x^2 - 1)^2}$

Объединяем дроби и работаем с числителем: $3x(x + 1)^2 - 6(x^2 - 1) - (3x - 2)(x - 1)^2$.

Раскрываем скобки: $3x(x^2 + 2x + 1) - 6x^2 + 6 - (3x - 2)(x^2 - 2x + 1)$

$= (3x^3 + 6x^2 + 3x) - 6x^2 + 6 - (3x^3 - 6x^2 + 3x - 2x^2 + 4x - 2)$

$= 3x^3 + 3x + 6 - (3x^3 - 8x^2 + 7x - 2)$

$= 3x^3 + 3x + 6 - 3x^3 + 8x^2 - 7x + 2$

Приводим подобные слагаемые: $8x^2 - 4x + 8$.

Собираем итоговую дробь и выносим общий множитель в числителе:

$\frac{8x^2 - 4x + 8}{(x^2 - 1)^2} = \frac{4(2x^2 - x + 2)}{(x^2 - 1)^2}$

Ответ: $\frac{4(2x^2 - x + 2)}{(x^2 - 1)^2}$

944. a) $\frac{ba^2}{(1-a)^2} - \frac{b}{(a-1)^2}$

б) $\frac{2a}{(a-1)^3} + \frac{1+a^2}{(1-a)^3}$

а)

Дано выражение: $ \frac{ba^2}{(1-a)^2} - \frac{b}{(a-1)^2} $.

Чтобы вычесть дроби, необходимо привести их к общему знаменателю. Заметим, что знаменатели $ (1-a)^2 $ и $ (a-1)^2 $ равны, так как квадрат противоположных чисел равен одному и тому же значению: $ (1-a)^2 = (-(a-1))^2 = (-1)^2 \cdot (a-1)^2 = (a-1)^2 $.

Поэтому мы можем переписать выражение, используя общий знаменатель $ (a-1)^2 $:

$ \frac{ba^2}{(a-1)^2} - \frac{b}{(a-1)^2} $

Теперь, когда знаменатели одинаковы, выполним вычитание числителей:

$ \frac{ba^2 - b}{(a-1)^2} $

В числителе вынесем общий множитель $ b $ за скобки:

$ \frac{b(a^2 - 1)}{(a-1)^2} $

Выражение в скобках $ (a^2 - 1) $ является разностью квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $ x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) $:

$ \frac{b(a - 1)(a + 1)}{(a-1)^2} $

Сократим дробь на общий множитель $ (a-1) $:

$ \frac{b(a + 1)}{a-1} $

Ответ: $ \frac{b(a+1)}{a-1} $

б)

Дано выражение: $ \frac{2a}{(a-1)^3} + \frac{1+a^2}{(1-a)^3} $.

Для сложения дробей приведем их к общему знаменателю. Рассмотрим соотношение между знаменателями $ (a-1)^3 $ и $ (1-a)^3 $.

Так как $ 1-a = -(a-1) $, то $ (1-a)^3 = (-(a-1))^3 = (-1)^3(a-1)^3 = -(a-1)^3 $.

Подставим это выражение в знаменатель второй дроби:

$ \frac{2a}{(a-1)^3} + \frac{1+a^2}{-(a-1)^3} $

Знак "минус" из знаменателя второй дроби можно вынести перед самой дробью, изменив знак операции с "плюс" на "минус":

$ \frac{2a}{(a-1)^3} - \frac{1+a^2}{(a-1)^3} $

Теперь, когда знаменатели дробей одинаковы, выполним вычитание числителей:

$ \frac{2a - (1+a^2)}{(a-1)^3} $

Раскроем скобки в числителе:

$ \frac{2a - 1 - a^2}{(a-1)^3} $

Вынесем знак "минус" за скобки в числителе, чтобы получить более удобное для преобразования выражение:

$ \frac{-(a^2 - 2a + 1)}{(a-1)^3} $

Выражение в скобках $ a^2 - 2a + 1 $ является полным квадратом разности и сворачивается по формуле $ (x-y)^2=x^2-2xy+y^2 $ в $ (a-1)^2 $.

$ \frac{-(a-1)^2}{(a-1)^3} $

Сократим дробь на общий множитель $ (a-1)^2 $:

$ \frac{-1}{a-1} $

Можно представить ответ в другом виде, внеся "минус" в знаменатель:

$ \frac{1}{-(a-1)} = \frac{1}{1-a} $

Ответ: $ \frac{1}{1-a} $