Номер 944, страница 245 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Буквенные выражения. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 944, страница 245.

Условие.

944. a) $\frac{ba^2}{(1-a)^2} - \frac{b}{(a-1)^2}$

б) $\frac{2a}{(a-1)^3} + \frac{1+a^2}{(1-a)^3}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а)

Дано выражение: $ \frac{ba^2}{(1-a)^2} - \frac{b}{(a-1)^2} $.

Чтобы вычесть дроби, необходимо привести их к общему знаменателю. Заметим, что знаменатели $ (1-a)^2 $ и $ (a-1)^2 $ равны, так как квадрат противоположных чисел равен одному и тому же значению: $ (1-a)^2 = (-(a-1))^2 = (-1)^2 \cdot (a-1)^2 = (a-1)^2 $.

Поэтому мы можем переписать выражение, используя общий знаменатель $ (a-1)^2 $:

$ \frac{ba^2}{(a-1)^2} - \frac{b}{(a-1)^2} $

Теперь, когда знаменатели одинаковы, выполним вычитание числителей:

$ \frac{ba^2 - b}{(a-1)^2} $

В числителе вынесем общий множитель $ b $ за скобки:

$ \frac{b(a^2 - 1)}{(a-1)^2} $

Выражение в скобках $ (a^2 - 1) $ является разностью квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $ x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) $:

$ \frac{b(a - 1)(a + 1)}{(a-1)^2} $

Сократим дробь на общий множитель $ (a-1) $:

$ \frac{b(a + 1)}{a-1} $

Ответ: $ \frac{b(a+1)}{a-1} $

б)

Дано выражение: $ \frac{2a}{(a-1)^3} + \frac{1+a^2}{(1-a)^3} $.

Для сложения дробей приведем их к общему знаменателю. Рассмотрим соотношение между знаменателями $ (a-1)^3 $ и $ (1-a)^3 $.

Так как $ 1-a = -(a-1) $, то $ (1-a)^3 = (-(a-1))^3 = (-1)^3(a-1)^3 = -(a-1)^3 $.

Подставим это выражение в знаменатель второй дроби:

$ \frac{2a}{(a-1)^3} + \frac{1+a^2}{-(a-1)^3} $

Знак "минус" из знаменателя второй дроби можно вынести перед самой дробью, изменив знак операции с "плюс" на "минус":

$ \frac{2a}{(a-1)^3} - \frac{1+a^2}{(a-1)^3} $

Теперь, когда знаменатели дробей одинаковы, выполним вычитание числителей:

$ \frac{2a - (1+a^2)}{(a-1)^3} $

Раскроем скобки в числителе:

$ \frac{2a - 1 - a^2}{(a-1)^3} $

Вынесем знак "минус" за скобки в числителе, чтобы получить более удобное для преобразования выражение:

$ \frac{-(a^2 - 2a + 1)}{(a-1)^3} $

Выражение в скобках $ a^2 - 2a + 1 $ является полным квадратом разности и сворачивается по формуле $ (x-y)^2=x^2-2xy+y^2 $ в $ (a-1)^2 $.

$ \frac{-(a-1)^2}{(a-1)^3} $

Сократим дробь на общий множитель $ (a-1)^2 $:

$ \frac{-1}{a-1} $

Можно представить ответ в другом виде, внеся "минус" в знаменатель:

$ \frac{1}{-(a-1)} = \frac{1}{1-a} $

Ответ: $ \frac{1}{1-a} $