Номер 947, страница 246 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Буквенные выражения. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 947, страница 246.

Условие.

Упростите выражение (947–950):

947. а) $\left(\frac{a + b}{a - b} + \frac{a - b}{a + b}\right) : \left(\frac{a^2}{a^2 - b^2} + \frac{1}{\frac{a^2}{b^2} - 1}\right);$

б) $\left(\frac{x^2y - xy^2}{x - y} + xy\right) \cdot \left(\frac{y}{x} + \frac{x}{y}\right);$

в) $\left(\frac{n}{m - n} + \frac{m}{m + n}\right) \cdot \left(\frac{m^2}{n^2} + \frac{n^2}{m^2} - 2\right);$

г) $\left(\frac{x + 1}{x - 1} - \frac{x - 1}{x + 1} + 4x\right) \cdot \left(x - \frac{1}{x}\right);$

д) $\left(1 + \frac{a}{x} + \frac{a^2}{x^2}\right) \left(1 - \frac{a}{x}\right) \cdot \frac{x^3}{a^3 - x^3};$

е) $\frac{4x - 3}{3 - 2x} - \frac{4 + 5x}{3 + 2x} - \frac{3 + x - 10x^2}{4x^2 - 9}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

a)

Выполним действия по порядку.

1. Упростим выражение в первой скобке, приведя дроби к общему знаменателю $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$:

$\frac{a+b}{a-b} + \frac{a-b}{a+b} = \frac{(a+b)^2 + (a-b)^2}{(a-b)(a+b)} = \frac{(a^2+2ab+b^2) + (a^2-2ab+b^2)}{a^2-b^2} = \frac{2a^2+2b^2}{a^2-b^2} = \frac{2(a^2+b^2)}{a^2-b^2}$

2. Упростим выражение во второй скобке. Сначала преобразуем второе слагаемое:

$\frac{1}{\frac{a^2}{b^2}-1} = \frac{1}{\frac{a^2-b^2}{b^2}} = \frac{b^2}{a^2-b^2}$

Теперь сложим дроби во второй скобке:

$\frac{a^2}{a^2-b^2} + \frac{b^2}{a^2-b^2} = \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}$

3. Выполним деление результатов:

$\frac{2(a^2+b^2)}{a^2-b^2} : \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} = \frac{2(a^2+b^2)}{a^2-b^2} \cdot \frac{a^2-b^2}{a^2+b^2} = 2$

Ответ: $2$

б)

1. Упростим выражение в первой скобке:

$\frac{x^2y - xy^2}{x-y} + xy = \frac{xy(x-y)}{x-y} + xy = xy + xy = 2xy$

2. Упростим выражение во второй скобке:

$\frac{y}{x} + \frac{x}{y} = \frac{y^2+x^2}{xy}$

3. Выполним умножение:

$(2xy) \cdot \left( \frac{x^2+y^2}{xy} \right) = 2(x^2+y^2)$

Ответ: $2(x^2+y^2)$

в)

1. Упростим выражение в первой скобке:

$\frac{n}{m-n} + \frac{m}{m+n} = \frac{n(m+n) + m(m-n)}{(m-n)(m+n)} = \frac{mn+n^2+m^2-mn}{m^2-n^2} = \frac{m^2+n^2}{m^2-n^2}$

2. Упростим выражение во второй скобке:

$\frac{m^2}{n^2} + \frac{n^2}{m^2} - 2 = \frac{m^4+n^4-2m^2n^2}{m^2n^2} = \frac{(m^2-n^2)^2}{m^2n^2}$

3. Выполним умножение:

$\frac{m^2+n^2}{m^2-n^2} \cdot \frac{(m^2-n^2)^2}{m^2n^2} = \frac{(m^2+n^2)(m^2-n^2)}{m^2n^2} = \frac{m^4-n^4}{m^2n^2}$

Ответ: $\frac{m^4-n^4}{m^2n^2}$

г)

1. Упростим выражение в первой скобке:

$\frac{x+1}{x-1} - \frac{x-1}{x+1} + 4x = \frac{(x+1)^2 - (x-1)^2}{(x-1)(x+1)} + 4x = \frac{(x^2+2x+1) - (x^2-2x+1)}{x^2-1} + 4x = \frac{4x}{x^2-1} + 4x$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{4x + 4x(x^2-1)}{x^2-1} = \frac{4x+4x^3-4x}{x^2-1} = \frac{4x^3}{x^2-1}$

2. Упростим выражение во второй скобке:

$x - \frac{1}{x} = \frac{x^2-1}{x}$

3. Выполним умножение:

$\frac{4x^3}{x^2-1} \cdot \frac{x^2-1}{x} = 4x^2$

Ответ: $4x^2$

д)

1. Рассмотрим произведение первых двух скобок. Это формула разности кубов $1-y^3=(1-y)(1+y+y^2)$, где $y=\frac{a}{x}$:

$\left( 1 + \frac{a}{x} + \frac{a^2}{x^2} \right) \left( 1 - \frac{a}{x} \right) = 1^3 - \left(\frac{a}{x}\right)^3 = 1 - \frac{a^3}{x^3} = \frac{x^3-a^3}{x^3}$

2. Умножим полученный результат на третью дробь:

$\frac{x^3-a^3}{x^3} \cdot \frac{x^3}{a^3-x^3} = \frac{x^3-a^3}{x^3} \cdot \frac{x^3}{-(x^3-a^3)} = -1$

Ответ: $-1$

е)

1. Приведем все дроби к общему знаменателю $4x^2-9 = (2x-3)(2x+3)$. Заметим, что $3-2x = -(2x-3)$.

$\frac{4x-3}{3-2x} - \frac{4+5x}{3+2x} - \frac{3+x-10x^2}{4x^2-9} = -\frac{4x-3}{2x-3} - \frac{4+5x}{2x+3} - \frac{3+x-10x^2}{(2x-3)(2x+3)}$

2. Приведем к общему знаменателю:

$\frac{-(4x-3)(2x+3) - (4+5x)(2x-3) - (3+x-10x^2)}{(2x-3)(2x+3)}$

3. Раскроем скобки в числителе:

$-(8x^2+12x-6x-9) - (8x-12+10x^2-15x) - 3-x+10x^2$

$= -(8x^2+6x-9) - (10x^2-7x-12) - 3-x+10x^2$

$= -8x^2-6x+9 - 10x^2+7x+12 - 3-x+10x^2$

4. Сгруппируем и упростим подобные слагаемые в числителе:

$(-8x^2-10x^2+10x^2) + (-6x+7x-x) + (9+12-3) = -8x^2 + 0x + 18 = -8x^2+18$

5. Запишем и упростим итоговую дробь:

$\frac{-8x^2+18}{4x^2-9} = \frac{-2(4x^2-9)}{4x^2-9} = -2$

Ответ: $-2$