Номер 949, страница 247 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Буквенные выражения. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 949, страница 247.

Условие.

949. a) $ \frac{x}{x-2y} + \frac{y}{x+2y} + \frac{x^2+3xy-2y^2}{4y^2-x^2} $;

б) $ \frac{x^4+x^3+x^2+x+1}{x^5-1} - \frac{x^2-x+1}{x^3+1} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) $\frac{x}{x - 2y} + \frac{y}{x + 2y} + \frac{x^2 + 3xy - 2y^2}{4y^2 - x^2}$

Сначала преобразуем знаменатель третьей дроби. Это разность квадратов:

$4y^2 - x^2 = (2y)^2 - x^2 = (2y - x)(2y + x)$

Заметим, что $(2y - x) = -(x - 2y)$. Тогда знаменатель можно записать как:

$(2y - x)(2y + x) = -(x - 2y)(x + 2y)$

Теперь мы можем переписать исходное выражение, вынеся минус из знаменателя третьей дроби перед дробью:

$\frac{x}{x - 2y} + \frac{y}{x + 2y} - \frac{x^2 + 3xy - 2y^2}{(x - 2y)(x + 2y)}$

Общим знаменателем является $(x - 2y)(x + 2y) = x^2 - 4y^2$. Приведем все дроби к этому знаменателю:

$\frac{x(x + 2y)}{(x - 2y)(x + 2y)} + \frac{y(x - 2y)}{(x - 2y)(x + 2y)} - \frac{x^2 + 3xy - 2y^2}{(x - 2y)(x + 2y)}$

Объединим числители под общим знаменателем:

$\frac{x(x + 2y) + y(x - 2y) - (x^2 + 3xy - 2y^2)}{(x - 2y)(x + 2y)}$

Раскроем скобки в числителе и упростим его:

$x^2 + 2xy + xy - 2y^2 - x^2 - 3xy + 2y^2$

Сгруппируем подобные слагаемые:

$(x^2 - x^2) + (2xy + xy - 3xy) + (-2y^2 + 2y^2) = 0 + 0 + 0 = 0$

Числитель равен нулю. Таким образом, всё выражение равно нулю при условии, что знаменатель не равен нулю ($x \neq \pm 2y$).

$\frac{0}{x^2 - 4y^2} = 0$

Ответ: $0$

б) $\frac{x^4 + x^3 + x^2 + x + 1}{x^5 - 1} - \frac{x^2 - x + 1}{x^3 + 1}$

Разложим на множители знаменатели дробей, используя формулы сокращенного умножения.

Знаменатель первой дроби, разность пятых степеней:

$x^5 - 1 = (x - 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)$

Знаменатель второй дроби, сумма кубов:

$x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)$

Подставим разложенные знаменатели обратно в выражение:

$\frac{x^4 + x^3 + x^2 + x + 1}{(x - 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)} - \frac{x^2 - x + 1}{(x + 1)(x^2 - x + 1)}$

Сократим дроби. В первой дроби сокращается многочлен $(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)$, во второй — $(x^2 - x + 1)$. Это возможно при условии, что $x^5 - 1 \neq 0$ и $x^3 + 1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

$\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}$

Теперь приведем полученные дроби к общему знаменателю $(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1$:

$\frac{1 \cdot (x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} - \frac{1 \cdot (x - 1)}{(x + 1)(x - 1)}$

Выполним вычитание:

$\frac{(x + 1) - (x - 1)}{x^2 - 1} = \frac{x + 1 - x + 1}{x^2 - 1} = \frac{2}{x^2 - 1}$

Ответ: $\frac{2}{x^2 - 1}$