Номер 951, страница 247 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Буквенные выражения. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 951, страница 247.

Условие.

951. Доказываем. Известно, что $x + \frac{1}{x}$ — целое число. Докажите, что:

a) $x^2 + \frac{1}{x^2}$;

б) $x^3 + \frac{1}{x^3}$

целое число.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

По условию задачи дано, что выражение $x + \frac{1}{x}$ является целым числом. Обозначим это целое число буквой $k$, то есть $x + \frac{1}{x} = k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (множество целых чисел).

а) Нам нужно доказать, что $x^2 + \frac{1}{x^2}$ — целое число. Для этого возведем в квадрат обе части равенства $x + \frac{1}{x} = k$:
$(x + \frac{1}{x})^2 = k^2$
Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + (\frac{1}{x})^2 = k^2$
$x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = k^2$
Теперь выразим искомую сумму $x^2 + \frac{1}{x^2}$:
$x^2 + \frac{1}{x^2} = k^2 - 2$
Поскольку $k$ — целое число по условию, то $k^2$ также является целым числом. Разность двух целых чисел ($k^2$ и 2) всегда является целым числом. Следовательно, выражение $x^2 + \frac{1}{x^2}$ является целым числом.
Ответ: Доказано, что $x^2 + \frac{1}{x^2}$ — целое число.

б) Теперь докажем, что $x^3 + \frac{1}{x^3}$ — целое число. Для этого возведем в куб обе части равенства $x + \frac{1}{x} = k$:
$(x + \frac{1}{x})^3 = k^3$
Используем формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$:
$x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot \frac{1}{x} + 3 \cdot x \cdot (\frac{1}{x})^2 + (\frac{1}{x})^3 = k^3$
$x^3 + 3x + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^3} = k^3$
Сгруппируем слагаемые:
$(x^3 + \frac{1}{x^3}) + 3(x + \frac{1}{x}) = k^3$
Мы знаем, что $x + \frac{1}{x} = k$, подставим это значение в уравнение:
$(x^3 + \frac{1}{x^3}) + 3k = k^3$
Выразим искомую сумму $x^3 + \frac{1}{x^3}$:
$x^3 + \frac{1}{x^3} = k^3 - 3k$
Поскольку $k$ — целое число, то $k^3$ и $3k$ также являются целыми числами. Разность двух целых чисел ($k^3$ и $3k$) всегда является целым числом. Следовательно, выражение $x^3 + \frac{1}{x^3}$ является целым числом.
Ответ: Доказано, что $x^3 + \frac{1}{x^3}$ — целое число.