Номер 945, страница 246 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Буквенные выражения. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 945, страница 246.

Условие.

945. Преобразуйте данную дробь в сумму дробей, например:

$ \frac{3x^2 - 8x + 4}{x} = \frac{3x^2}{x} - \frac{8x}{x} + \frac{4}{x} = 3x - 8 + \frac{4}{x} $

а) $ \frac{m + n}{3}; $

б) $ \frac{x - 2}{5}; $

в) $ \frac{1 - 2x}{x}; $

г) $ \frac{3a - 8b}{ab}; $

д) $ \frac{x^2 - 2x}{x^3}; $

е) $ \frac{4y - 9y^2}{12y}; $

ж) $ \frac{5x^3 + 2x^2 - x - 8}{2x}; $

з) $ \frac{x^2 - 5x + 6}{x - 2}; $

и) $ \frac{12 - 7x + x^2}{x - 4}; $

к) $ \frac{12m^4 - 9m^2 + m - 6}{3m^2}. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Чтобы преобразовать данную дробь в сумму, необходимо каждый член числителя разделить на общий знаменатель.
$\frac{m + n}{3} = \frac{m}{3} + \frac{n}{3}$.
Ответ: $\frac{m}{3} + \frac{n}{3}$.

б) Разделим каждый член числителя на знаменатель:
$\frac{x - 2}{5} = \frac{x}{5} - \frac{2}{5}$.
Ответ: $\frac{x}{5} - \frac{2}{5}$.

в) Разделим каждый член числителя на знаменатель и выполним сокращение:
$\frac{1 - 2x}{x} = \frac{1}{x} - \frac{2x}{x} = \frac{1}{x} - 2$.
Ответ: $\frac{1}{x} - 2$.

г) Разделим каждый член числителя на знаменатель и сократим каждую из полученных дробей:
$\frac{3a - 8b}{ab} = \frac{3a}{ab} - \frac{8b}{ab} = \frac{3}{b} - \frac{8}{a}$.
Ответ: $\frac{3}{b} - \frac{8}{a}$.

д) Разделим каждый член числителя на знаменатель и упростим, используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{x^2 - 2x}{x^3} = \frac{x^2}{x^3} - \frac{2x}{x^3} = \frac{1}{x} - \frac{2}{x^2}$.
Ответ: $\frac{1}{x} - \frac{2}{x^2}$.

е) Разделим каждый член числителя на знаменатель и выполним сокращение:
$\frac{4y - 9y^2}{12y} = \frac{4y}{12y} - \frac{9y^2}{12y} = \frac{4}{12} - \frac{9y}{12} = \frac{1}{3} - \frac{3y}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{3} - \frac{3y}{4}$.

ж) Разделим каждый член числителя на знаменатель $2x$ и упростим каждое слагаемое:
$\frac{5x^3 + 2x^2 - x - 8}{2x} = \frac{5x^3}{2x} + \frac{2x^2}{2x} - \frac{x}{2x} - \frac{8}{2x} = \frac{5}{2}x^2 + x - \frac{1}{2} - \frac{4}{x}$.
Ответ: $\frac{5}{2}x^2 + x - \frac{1}{2} - \frac{4}{x}$.

з) В данном случае знаменатель является многочленом. Чтобы упростить дробь, разложим числитель $x^2 - 5x + 6$ на множители. Корнями квадратного трехчлена являются $x_1=2$ и $x_2=3$ (по теореме Виета).
Следовательно, $x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$.
Теперь выполним преобразование дроби: $\frac{x^2 - 5x + 6}{x - 2} = \frac{(x-2)(x-3)}{x - 2}$.
Сократив на $(x-2)$, получим $x-3$.
Ответ: $x-3$.

и) Сначала упорядочим члены в числителе по убыванию степеней: $x^2 - 7x + 12$. Разложим числитель на множители. Корнями уравнения $x^2 - 7x + 12 = 0$ являются $x_1=3$ и $x_2=4$.
Таким образом, $x^2 - 7x + 12 = (x-3)(x-4)$.
Преобразуем дробь: $\frac{12 - 7x + x^2}{x - 4} = \frac{x^2 - 7x + 12}{x - 4} = \frac{(x-3)(x-4)}{x - 4}$.
Сократив на $(x-4)$, получим $x-3$.
Ответ: $x-3$.

к) Разделим каждый член многочлена в числителе на одночлен в знаменателе:
$\frac{12m^4 - 9m^2 + m - 6}{3m^2} = \frac{12m^4}{3m^2} - \frac{9m^2}{3m^2} + \frac{m}{3m^2} - \frac{6}{3m^2}$.
Упростим каждое слагаемое: $4m^2 - 3 + \frac{1}{3m} - \frac{2}{m^2}$.
Ответ: $4m^2 - 3 + \frac{1}{3m} - \frac{2}{m^2}$.