Номер 943, страница 245 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Буквенные выражения. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 943, страница 245.

Условие.

Упростите выражение (943—944):

943. а) $\frac{1}{a} + \frac{2}{a};$

б) $\frac{1}{b} + \frac{3}{2b};$

В) $\frac{3}{x - a} - \frac{x}{x - a};$

Г) $\frac{b}{a - b} - \frac{5}{b - a};$

Д) $\frac{3k}{b} + \frac{2b}{k};$

е) $\frac{3b}{(b - 1)^2} + \frac{2}{1 - b};$

Ж) $\frac{2x - 1}{x^2 - 4} + \frac{4}{x - 2};$

З) $\frac{7}{m} - \frac{4}{m - 2n};$

$\frac{m - n}{4n^2 - m^2};$

И) $\frac{3x}{x^2 - 2x + 1} - \frac{6}{x^2 - 1} - \frac{3x - 2}{x^2 + 2x + 1}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) $\frac{1}{a} + \frac{2}{a}$

Так как знаменатели дробей одинаковы, складываем их числители:

$\frac{1 + 2}{a} = \frac{3}{a}$

Ответ: $\frac{3}{a}$

б) $\frac{1}{b} + \frac{3}{2b}$

Приводим дроби к общему знаменателю $2b$. Для этого первую дробь домножаем на 2:

$\frac{1 \cdot 2}{b \cdot 2} + \frac{3}{2b} = \frac{2}{2b} + \frac{3}{2b}$

Складываем числители дробей с одинаковыми знаменателями:

$\frac{2 + 3}{2b} = \frac{5}{2b}$

Ответ: $\frac{5}{2b}$

в) $\frac{3}{x - a} - \frac{x}{x - a}$

Знаменатели дробей одинаковы, поэтому вычитаем их числители:

$\frac{3 - x}{x - a}$

Ответ: $\frac{3 - x}{x - a}$

г) $\frac{b}{a - b} - \frac{5}{b - a}$

Заметим, что знаменатели отличаются только знаком: $b - a = -(a - b)$. Преобразуем вторую дробь, вынеся минус из знаменателя:

$\frac{b}{a - b} - \frac{5}{-(a - b)} = \frac{b}{a - b} + \frac{5}{a - b}$

Теперь, когда знаменатели одинаковы, складываем числители:

$\frac{b + 5}{a - b}$

Ответ: $\frac{b + 5}{a - b}$

д) $\frac{3k}{b} + \frac{2b}{k}$

Приводим дроби к общему знаменателю $bk$. Для этого домножаем первую дробь на $k$, а вторую на $b$:

$\frac{3k \cdot k}{b \cdot k} + \frac{2b \cdot b}{k \cdot b} = \frac{3k^2}{bk} + \frac{2b^2}{bk}$

Складываем дроби:

$\frac{3k^2 + 2b^2}{bk}$

Ответ: $\frac{3k^2 + 2b^2}{bk}$

е) $\frac{3b}{(b - 1)^2} + \frac{2}{1 - b}$

Преобразуем знаменатель второй дроби: $1 - b = -(b - 1)$.

$\frac{3b}{(b - 1)^2} + \frac{2}{-(b - 1)} = \frac{3b}{(b - 1)^2} - \frac{2}{b - 1}$

Общий знаменатель равен $(b-1)^2$. Домножим числитель и знаменатель второй дроби на $(b-1)$:

$\frac{3b}{(b - 1)^2} - \frac{2(b - 1)}{(b - 1)(b - 1)} = \frac{3b - 2(b - 1)}{(b - 1)^2}$

Раскрываем скобки в числителе и приводим подобные слагаемые:

$\frac{3b - 2b + 2}{(b - 1)^2} = \frac{b + 2}{(b - 1)^2}$

Ответ: $\frac{b + 2}{(b - 1)^2}$

ж) $\frac{2x - 1}{x^2 - 4} + \frac{4}{x - 2}$

Разложим на множители знаменатель первой дроби по формуле разности квадратов: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$.

$\frac{2x - 1}{(x - 2)(x + 2)} + \frac{4}{x - 2}$

Общий знаменатель — $(x-2)(x+2)$. Домножим вторую дробь на $(x+2)$:

$\frac{2x - 1}{(x - 2)(x + 2)} + \frac{4(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)}$

Складываем числители:

$\frac{2x - 1 + 4(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{2x - 1 + 4x + 8}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{6x + 7}{x^2 - 4}$

Ответ: $\frac{6x + 7}{x^2 - 4}$

з) $\frac{7}{m} - \frac{4}{m - 2n} - \frac{m - n}{4n^2 - m^2}$

Преобразуем знаменатель третьей дроби: $4n^2 - m^2 = (2n - m)(2n + m) = -(m - 2n)(m + 2n)$.

Выражение принимает вид:

$\frac{7}{m} - \frac{4}{m - 2n} - \frac{m - n}{-(m - 2n)(m + 2n)} = \frac{7}{m} - \frac{4}{m - 2n} + \frac{m - n}{(m - 2n)(m + 2n)}$

Общий знаменатель: $m(m - 2n)(m + 2n) = m(m^2 - 4n^2)$. Приводим дроби к общему знаменателю:

$\frac{7(m^2 - 4n^2)}{m(m^2 - 4n^2)} - \frac{4m(m + 2n)}{m(m^2 - 4n^2)} + \frac{m(m - n)}{m(m^2 - 4n^2)}$

Объединяем дроби и раскрываем скобки в числителе:

$\frac{7m^2 - 28n^2 - (4m^2 + 8mn) + (m^2 - mn)}{m(m^2 - 4n^2)} = \frac{7m^2 - 28n^2 - 4m^2 - 8mn + m^2 - mn}{m(m^2 - 4n^2)}$

Приводим подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(7m^2 - 4m^2 + m^2) - (8mn + mn) - 28n^2}{m(m^2 - 4n^2)} = \frac{4m^2 - 9mn - 28n^2}{m(m^2 - 4n^2)}$

Ответ: $\frac{4m^2 - 9mn - 28n^2}{m(m^2 - 4n^2)}$

и) $\frac{3x}{x^2 - 2x + 1} - \frac{6}{x^2 - 1} - \frac{3x - 2}{x^2 + 2x + 1}$

Разложим знаменатели на множители, используя формулы сокращенного умножения:

$x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$

$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$

$x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$

Выражение примет вид:

$\frac{3x}{(x - 1)^2} - \frac{6}{(x - 1)(x + 1)} - \frac{3x - 2}{(x + 1)^2}$

Общий знаменатель равен $(x - 1)^2(x + 1)^2 = (x^2 - 1)^2$. Приводим дроби к общему знаменателю:

$\frac{3x(x + 1)^2}{(x^2 - 1)^2} - \frac{6(x - 1)(x + 1)}{(x^2 - 1)^2} - \frac{(3x - 2)(x - 1)^2}{(x^2 - 1)^2}$

Объединяем дроби и работаем с числителем: $3x(x + 1)^2 - 6(x^2 - 1) - (3x - 2)(x - 1)^2$.

Раскрываем скобки: $3x(x^2 + 2x + 1) - 6x^2 + 6 - (3x - 2)(x^2 - 2x + 1)$

$= (3x^3 + 6x^2 + 3x) - 6x^2 + 6 - (3x^3 - 6x^2 + 3x - 2x^2 + 4x - 2)$

$= 3x^3 + 3x + 6 - (3x^3 - 8x^2 + 7x - 2)$

$= 3x^3 + 3x + 6 - 3x^3 + 8x^2 - 7x + 2$

Приводим подобные слагаемые: $8x^2 - 4x + 8$.

Собираем итоговую дробь и выносим общий множитель в числителе:

$\frac{8x^2 - 4x + 8}{(x^2 - 1)^2} = \frac{4(2x^2 - x + 2)}{(x^2 - 1)^2}$

Ответ: $\frac{4(2x^2 - x + 2)}{(x^2 - 1)^2}$