Номер 948, страница 246 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Буквенные выражения. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 948, страница 246.

Условие.

948. a) $\frac{x^5}{x^2 - 6x + 9} \cdot \frac{x^2 - 9}{x^3 + 3x^2} - \frac{3x^5 + 81x^2}{x^2} : (x^2 - 9);$

б) $\frac{a^2}{a^2 + 4a + 4} \cdot \frac{a^2 - 4}{a^3 - 2a^2} + \frac{a^5 - 8a^2}{a} : (a^2 - 4);$

в) $\left(\frac{m + 2}{8 - 8m + 2m^2} + \frac{1}{4 - 2m} - \frac{2}{m^2 - 4m + 4}\right) \cdot 3m - 3m;$

г) $\left(\frac{2}{a^2 - 4a + 4} - \frac{1}{4 - 2a} - \frac{a + 2}{2(2 - a)^2}\right) \cdot 5a - 5a;$

д) $\left(\frac{1}{2 - 4c} + \frac{1 + c}{8c^3 - 1} : \frac{1 + 2c}{4c^2 + 2c + 1}\right) \cdot \frac{4c - 2}{2c + 1} - \frac{1}{(1 + 2c)^2};$

е) $\left(\frac{1}{2 - 4b} + \frac{b + 1}{8b^3 - 1} : \frac{4b^2 + 2b + 1}{1 + 2b}\right) : \frac{2b + 1}{4b - 2} - \frac{1}{(2b + 1)^2};$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а) Выполним действия по порядку: сначала умножение и деление, затем вычитание.

1. Выполним умножение, предварительно разложив на множители числители и знаменатели дробей:

$ \frac{x^5}{x^2 - 6x + 9} \cdot \frac{x^2 - 9}{x^3 + 3x^2} = \frac{x^5}{(x - 3)^2} \cdot \frac{(x - 3)(x + 3)}{x^2(x + 3)} $

Сокращаем общие множители $x^2$, $(x-3)$ и $(x+3)$:

$ \frac{x^{5-2}}{x - 3} \cdot \frac{1}{1} = \frac{x^3}{x-3} $

2. Выполним деление. Деление на выражение $(x^2 - 9)$ равносильно умножению на $ \frac{1}{x^2-9} $.

$ \frac{3x^5 + 81x^2}{x^2} : (x^2 - 9) = \frac{3x^2(x^3 + 27)}{x^2} \cdot \frac{1}{x^2 - 9} $

Сокращаем $x^2$ и раскладываем на множители $(x^3+27)$ (сумма кубов) и $(x^2-9)$ (разность квадратов):

$ 3(x^3 + 27) \cdot \frac{1}{x^2 - 9} = \frac{3(x+3)(x^2 - 3x + 9)}{(x-3)(x+3)} $

Сокращаем общий множитель $(x+3)$:

$ \frac{3(x^2 - 3x + 9)}{x - 3} $

3. Выполним вычитание результатов первого и второго действий:

$ \frac{x^3}{x-3} - \frac{3(x^2 - 3x + 9)}{x-3} = \frac{x^3 - 3(x^2 - 3x + 9)}{x - 3} = \frac{x^3 - 3x^2 + 9x - 27}{x - 3} $

Сгруппируем слагаемые в числителе и вынесем общие множители:

$ \frac{(x^3 - 3x^2) + (9x - 27)}{x - 3} = \frac{x^2(x-3) + 9(x-3)}{x - 3} = \frac{(x^2+9)(x-3)}{x-3} $

Сокращаем $(x-3)$:

$ x^2 + 9 $

Ответ: $x^2 + 9$.

б) Выполним действия по порядку: сначала умножение и деление слева направо, затем сложение.

1. Упростим первое произведение:

$ \frac{a^2}{a^2 + 4a + 4} \cdot \frac{a^2 - 4}{a^3 - 2a^2} = \frac{a^2}{(a + 2)^2} \cdot \frac{(a-2)(a+2)}{a^2(a-2)} $

Сокращаем общие множители $a^2$, $(a-2)$ и $(a+2)$:

$ \frac{1}{a+2} $

2. Упростим второе выражение (деление):

$ \frac{a^5 - 8a^2}{a} : (a^2 - 4) = \frac{a(a^4 - 8a)}{a} : (a^2-4) = (a^4-8a) : (a^2-4) $

$ \frac{a^4 - 8a}{a^2 - 4} = \frac{a(a^3 - 8)}{(a-2)(a+2)} = \frac{a(a-2)(a^2+2a+4)}{(a-2)(a+2)} $

Сокращаем $(a-2)$:

$ \frac{a(a^2+2a+4)}{a+2} = \frac{a^3+2a^2+4a}{a+2} $

3. Сложим результаты:

$ \frac{1}{a+2} + \frac{a^3+2a^2+4a}{a+2} = \frac{1+a^3+2a^2+4a}{a+2} $

Выполним деление многочлена в числителе на знаменатель столбиком или с помощью выделения целой части: $a^3+2a^2+4a+1 = a^2(a+2)+4a+1 = a^2(a+2) + 4(a+2) - 8 + 1 = (a^2+4)(a+2) - 7$.

$ \frac{(a^2+4)(a+2) - 7}{a+2} = a^2+4 - \frac{7}{a+2} $

Ответ: $a^2+4 - \frac{7}{a+2}$.

в) Упростим выражение в скобках, а затем выполним умножение.

1. Преобразуем знаменатели дробей в скобках:

$ 8 - 8m + 2m^2 = 2(4 - 4m + m^2) = 2(m-2)^2 $

$ 4 - 2m = 2(2-m) = -2(m-2) $

$ m^2 - 4m + 4 = (m-2)^2 $

2. Подставим преобразованные знаменатели в выражение:

$ \left( \frac{m+2}{2(m-2)^2} + \frac{1}{-2(m-2)} - \frac{2}{(m-2)^2} \right) = \left( \frac{m+2}{2(m-2)^2} - \frac{1}{2(m-2)} - \frac{2}{(m-2)^2} \right) $

Приведем дроби к общему знаменателю $2(m-2)^2$:

$ \frac{m+2}{2(m-2)^2} - \frac{1 \cdot (m-2)}{2(m-2)^2} - \frac{2 \cdot 2}{2(m-2)^2} = \frac{(m+2) - (m-2) - 4}{2(m-2)^2} $

Раскроем скобки в числителе:

$ \frac{m+2-m+2-4}{2(m-2)^2} = \frac{0}{2(m-2)^2} = 0 $ (при $m \neq 2$).

3. Умножим полученный результат на $(3m-3m)$:

$ 0 \cdot (3m - 3m) = 0 \cdot 0 = 0 $

Ответ: $0$.

г) Заметим, что множитель $(5a-5a)$ равен $0$. Если выражение в скобках определено, то все произведение равно нулю. Проверим выражение в скобках.

1. Упростим выражение в скобках. Преобразуем знаменатели:

$ a^2 - 4a + 4 = (a-2)^2 $

$ 4 - 2a = 2(2-a) = -2(a-2) $

$ 2(2-a)^2 = 2(a-2)^2 $

2. Подставим преобразованные знаменатели:

$ \frac{2}{(a-2)^2} - \frac{1}{-2(a-2)} - \frac{a+2}{2(a-2)^2} = \frac{2}{(a-2)^2} + \frac{1}{2(a-2)} - \frac{a+2}{2(a-2)^2} $

Приведем к общему знаменателю $2(a-2)^2$:

$ \frac{2 \cdot 2}{2(a-2)^2} + \frac{1 \cdot (a-2)}{2(a-2)^2} - \frac{a+2}{2(a-2)^2} = \frac{4 + (a-2) - (a+2)}{2(a-2)^2} $

Раскроем скобки в числителе:

$ \frac{4+a-2-a-2}{2(a-2)^2} = \frac{0}{2(a-2)^2} = 0 $ (при $a \neq 2$).

3. Умножим полученный результат на $(5a-5a)$:

$ 0 \cdot (5a - 5a) = 0 \cdot 0 = 0 $

Ответ: $0$.

д) Выполним действия в скобках, затем умножение и вычитание.

1. Сначала выполним деление в скобках:

$ \frac{1+c}{8c^3-1} : \frac{1+2c}{4c^2+2c+1} = \frac{1+c}{(2c-1)(4c^2+2c+1)} \cdot \frac{4c^2+2c+1}{1+2c} = \frac{1+c}{(2c-1)(2c+1)} $

2. Теперь выполним сложение в скобках:

$ \frac{1}{2-4c} + \frac{1+c}{(2c-1)(2c+1)} = \frac{1}{-2(2c-1)} + \frac{1+c}{(2c-1)(2c+1)} $

Приводим к общему знаменателю $2(2c-1)(2c+1)$:

$ \frac{-(2c+1)}{2(2c-1)(2c+1)} + \frac{2(1+c)}{2(2c-1)(2c+1)} = \frac{-2c-1+2+2c}{2(2c-1)(2c+1)} = \frac{1}{2(2c-1)(2c+1)} $

3. Умножим результат на дробь $ \frac{4c-2}{2c+1} $:

$ \frac{1}{2(2c-1)(2c+1)} \cdot \frac{2(2c-1)}{2c+1} = \frac{1}{(2c+1)^2} $

4. Вычтем последнюю дробь:

$ \frac{1}{(2c+1)^2} - \frac{1}{(1+2c)^2} = \frac{1}{(2c+1)^2} - \frac{1}{(2c+1)^2} = 0 $

Ответ: $0$.

е) Выполним действия в скобках, затем деление и вычитание.

1. Сначала выполним умножение в скобках:

$ \frac{b+1}{8b^3-1} \cdot \frac{4b^2+2b+1}{1+2b} = \frac{b+1}{(2b-1)(4b^2+2b+1)} \cdot \frac{4b^2+2b+1}{1+2b} = \frac{b+1}{(2b-1)(2b+1)} $

2. Теперь выполним сложение в скобках:

$ \frac{1}{2-4b} + \frac{b+1}{(2b-1)(2b+1)} = \frac{1}{-2(2b-1)} + \frac{b+1}{(2b-1)(2b+1)} $

Приводим к общему знаменателю $2(2b-1)(2b+1)$:

$ \frac{-(2b+1)}{2(2b-1)(2b+1)} + \frac{2(b+1)}{2(2b-1)(2b+1)} = \frac{-2b-1+2b+2}{2(2b-1)(2b+1)} = \frac{1}{2(2b-1)(2b+1)} $

3. Разделим результат на дробь $ \frac{2b+1}{4b-2} $:

$ \frac{1}{2(2b-1)(2b+1)} : \frac{2b+1}{4b-2} = \frac{1}{2(2b-1)(2b+1)} \cdot \frac{2(2b-1)}{2b+1} = \frac{1}{(2b+1)^2} $

4. Вычтем последнюю дробь:

$ \frac{1}{(2b+1)^2} - \frac{1}{(2b+1)^2} = 0 $

Ответ: $0$.