Номер 954, страница 247 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Буквенные выражения. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 954, страница 247.

Условие.

954. Вычислите:

a) $\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{9 \cdot 10}$;

б) $\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{99 \cdot 100}$;

в) $\frac{1}{2 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 6} + \frac{1}{6 \cdot 8} + \dots + \frac{1}{98 \cdot 100}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Для решения этой задачи заметим, что каждый член суммы можно представить в виде разности двух дробей. Общий член ряда имеет вид $\frac{1}{n(n+1)}$. Используя метод разложения на простейшие дроби, получаем:
$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$
Теперь запишем всю сумму, используя это разложение:
$\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{9 \cdot 10} = (\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots + (\frac{1}{9} - \frac{1}{10})$
Как видно, все промежуточные члены взаимно уничтожаются (этот прием называется телескопическим суммированием). Остаются только первый и последний члены:
$\frac{1}{1} - \frac{1}{10} = \frac{10}{10} - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$
Ответ: $\frac{9}{10}$

б) Этот пример решается аналогично предыдущему. Мы имеем дело с такой же телескопической суммой, но с большим количеством членов. Используем то же самое разложение дроби:
$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$
Запишем сумму:
$\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \dots + \frac{1}{99 \cdot 100} = (\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{99} - \frac{1}{100})$
Все промежуточные слагаемые сокращаются, и у нас остаются только первый и последний член ряда:
$\frac{1}{1} - \frac{1}{100} = \frac{100}{100} - \frac{1}{100} = \frac{99}{100}$
Ответ: $\frac{99}{100}$

в) В этом случае преобразуем каждый член суммы. Заметим, что знаменатель каждого слагаемого можно представить в виде $2n \cdot (2n+2) = 4n(n+1)$.
Вынесем общий множитель $\frac{1}{4}$ за скобки из всей суммы:
$\frac{1}{2 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 6} + \frac{1}{6 \cdot 8} + \dots + \frac{1}{98 \cdot 100} = \frac{1}{4(1 \cdot 2)} + \frac{1}{4(2 \cdot 3)} + \frac{1}{4(3 \cdot 4)} + \dots + \frac{1}{4(49 \cdot 50)}$
$= \frac{1}{4} \left( \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{49 \cdot 50} \right)$
Сумма в скобках является телескопической, как и в предыдущих пунктах. Её значение равно:
$\frac{1}{1} - \frac{1}{50} = \frac{50}{50} - \frac{1}{50} = \frac{49}{50}$
Теперь умножим полученный результат на вынесенный ранее множитель $\frac{1}{4}$:
$\frac{1}{4} \cdot \frac{49}{50} = \frac{49}{200}$
Ответ: $\frac{49}{200}$