Номер 956, страница 248 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Буквенные выражения. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 956, страница 248.

Условие.

956. Упростите выражение:

a) $ \frac{1}{x(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+2)}; $

б) $ \frac{1}{x(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+2)} + \frac{1}{(x+2)(x+3)}; $

в) $ \frac{2}{x(x+2)} + \frac{2}{(x+2)(x+4)}; $

г) $ \frac{1}{x(x+2)} + \frac{1}{(x+2)(x+4)} + \frac{1}{(x+4)(x+6)}. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

a) Для упрощения выражения $ \frac{1}{x(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+2)} $ представим каждую дробь в виде разности двух дробей (метод разложения на простейшие дроби). Этот прием позволяет увидеть, что сумма является телескопической.

Для первой дроби имеем: $ \frac{1}{x(x+1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} $.

Для второй дроби: $ \frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2} $.

Теперь сложим полученные выражения:

$ (\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}) + (\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2}) = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2} $.

Промежуточные слагаемые $ -\frac{1}{x+1} $ и $ \frac{1}{x+1} $ взаимно уничтожаются. В результате остается:

$ \frac{1}{x} - \frac{1}{x+2} $.

Приведем это выражение к общему знаменателю:

$ \frac{1 \cdot (x+2)}{x(x+2)} - \frac{1 \cdot x}{x(x+2)} = \frac{x+2-x}{x(x+2)} = \frac{2}{x(x+2)} $.

Ответ: $ \frac{2}{x(x+2)} $

б) Упростим выражение $ \frac{1}{x(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+2)} + \frac{1}{(x+2)(x+3)} $.

Используем тот же метод разложения на простейшие дроби, что и в предыдущем пункте. Сумма является телескопической.

$ \frac{1}{x(x+1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} $

$ \frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2} $

$ \frac{1}{(x+2)(x+3)} = \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+3} $

Складывая эти выражения, получаем:

$ (\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}) + (\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2}) + (\frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+3}) $.

После сокращения промежуточных членов ($ -\frac{1}{x+1} $ и $ +\frac{1}{x+1} $, $ -\frac{1}{x+2} $ и $ +\frac{1}{x+2} $) остается:

$ \frac{1}{x} - \frac{1}{x+3} $.

Приведем к общему знаменателю:

$ \frac{1 \cdot (x+3)}{x(x+3)} - \frac{1 \cdot x}{x(x+3)} = \frac{x+3-x}{x(x+3)} = \frac{3}{x(x+3)} $.

Ответ: $ \frac{3}{x(x+3)} $

в) Упростим выражение $ \frac{2}{x(x+2)} + \frac{2}{(x+2)(x+4)} $.

В данном случае числитель каждой дроби равен разности сомножителей в знаменателе. Разложим дроби на простейшие:

$ \frac{2}{x(x+2)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+2} $.

$ \frac{2}{(x+2)(x+4)} = \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+4} $.

Сложим полученные выражения:

$ (\frac{1}{x} - \frac{1}{x+2}) + (\frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+4}) = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+2} + \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+4} $.

После сокращения остается:

$ \frac{1}{x} - \frac{1}{x+4} $.

Приведем к общему знаменателю:

$ \frac{1 \cdot (x+4)}{x(x+4)} - \frac{1 \cdot x}{x(x+4)} = \frac{x+4-x}{x(x+4)} = \frac{4}{x(x+4)} $.

Ответ: $ \frac{4}{x(x+4)} $

г) Упростим выражение $ \frac{1}{x(x+2)} + \frac{1}{(x+2)(x+4)} + \frac{1}{(x+4)(x+6)} $.

Здесь разность сомножителей в знаменателе равна 2, а числитель равен 1. При разложении на простейшие дроби появится множитель $ \frac{1}{2} $.

$ \frac{1}{x(x+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x+2} \right) $.

$ \frac{1}{(x+2)(x+4)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+4} \right) $.

$ \frac{1}{(x+4)(x+6)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{x+4} - \frac{1}{x+6} \right) $.

Сложим выражения, вынеся общий множитель $ \frac{1}{2} $ за скобки:

$ \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x+2} \right) + \left( \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+4} \right) + \left( \frac{1}{x+4} - \frac{1}{x+6} \right) \right] $.

Внутри скобок промежуточные члены сокращаются:

$ \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{x} - \frac{1}{x+6} \right] $.

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$ \frac{1}{2} \left[ \frac{x+6-x}{x(x+6)} \right] = \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{x(x+6)} = \frac{3}{x(x+6)} $.

Ответ: $ \frac{3}{x(x+6)} $