Номер 963, страница 249 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Буквенные выражения. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 963, страница 249.

Условие.

963. а) $(\frac{x-2}{x^2-2x+4} - \frac{6x-13}{x^3+8}) : \frac{15-5x}{2x^3+16}$ при $x = 3,5$;

б) $(\frac{x-1}{x^2-x+1} + \frac{4x+5}{x^3+1}) : \frac{2-x}{4x^2-4x+4}$ при $x = 0,6$;

В) $\frac{8a^3-27b^3}{(3b+2a)^2-6ab}$ при $a = 2,5$; $b = -1\frac{2}{3}$;

Г) $\frac{64a^3+8b^3}{(2a-b)^2+2ab}$ при $a = -0,25$; $b = 1\frac{7}{8}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а)

Сначала упростим данное выражение. Для этого выполним действия в скобках, а затем деление.

1. Упростим выражение в скобках: $ \frac{x-2}{x^2-2x+4} - \frac{6x-13}{x^3+8} $.

Заметим, что знаменатель второй дроби является суммой кубов: $x^3+8 = x^3+2^3 = (x+2)(x^2-2x+4)$.

Приведем дроби к общему знаменателю $(x+2)(x^2-2x+4)$:

$ \frac{(x-2)(x+2)}{(x+2)(x^2-2x+4)} - \frac{6x-13}{(x+2)(x^2-2x+4)} = \frac{x^2-4 - (6x-13)}{(x+2)(x^2-2x+4)} = \frac{x^2-4-6x+13}{x^3+8} = \frac{x^2-6x+9}{x^3+8} $.

Числитель полученной дроби является полным квадратом: $x^2-6x+9 = (x-3)^2$.

Таким образом, выражение в скобках равно $ \frac{(x-3)^2}{x^3+8} $.

2. Выполним деление: $ \left( \frac{(x-3)^2}{x^3+8} \right) : \frac{15-5x}{2x^3+16} $.

Упростим делитель: $ \frac{15-5x}{2x^3+16} = \frac{5(3-x)}{2(x^3+8)} = \frac{-5(x-3)}{2(x^3+8)} $.

Деление заменяем умножением на обратную дробь:

$ \frac{(x-3)^2}{x^3+8} \cdot \frac{2(x^3+8)}{-5(x-3)} $.

Сокращаем общие множители $(x-3)$ и $(x^3+8)$:

$ \frac{x-3}{1} \cdot \frac{2}{-5} = -\frac{2(x-3)}{5} $.

3. Подставим значение $x = 3,5$ в упрощенное выражение:

$ -\frac{2(3,5-3)}{5} = -\frac{2 \cdot 0,5}{5} = -\frac{1}{5} = -0,2 $.

Ответ: -0,2.

б)

Сначала упростим данное выражение. Для этого выполним действия в скобках, а затем деление.

1. Упростим выражение в скобках: $ \frac{x-1}{x^2-x+1} + \frac{4x+5}{x^3+1} $.

Знаменатель второй дроби является суммой кубов: $x^3+1 = x^3+1^3 = (x+1)(x^2-x+1)$.

Приведем дроби к общему знаменателю $(x+1)(x^2-x+1)$:

$ \frac{(x-1)(x+1)}{(x+1)(x^2-x+1)} + \frac{4x+5}{(x+1)(x^2-x+1)} = \frac{x^2-1 + 4x+5}{x^3+1} = \frac{x^2+4x+4}{x^3+1} $.

Числитель полученной дроби является полным квадратом: $x^2+4x+4 = (x+2)^2$.

Таким образом, выражение в скобках равно $ \frac{(x+2)^2}{x^3+1} $.

2. Выполним деление: $ \left( \frac{(x+2)^2}{x^3+1} \right) : \frac{2-x}{4x^2-4x+4} $.

Упростим делитель: $ \frac{2-x}{4x^2-4x+4} = \frac{2-x}{4(x^2-x+1)} $.

Деление заменяем умножением на обратную дробь:

$ \frac{(x+2)^2}{(x+1)(x^2-x+1)} \cdot \frac{4(x^2-x+1)}{2-x} $.

Сокращаем общий множитель $(x^2-x+1)$:

$ \frac{4(x+2)^2}{(x+1)(2-x)} $.

3. Подставим значение $x = 0,6 = \frac{3}{5}$ в упрощенное выражение:

$ \frac{4(\frac{3}{5}+2)^2}{(\frac{3}{5}+1)(2-\frac{3}{5})} = \frac{4(\frac{3+10}{5})^2}{(\frac{3+5}{5})(\frac{10-3}{5})} = \frac{4(\frac{13}{5})^2}{(\frac{8}{5})(\frac{7}{5})} = \frac{4 \cdot \frac{169}{25}}{\frac{56}{25}} = \frac{4 \cdot 169}{25} \cdot \frac{25}{56} = \frac{4 \cdot 169}{56} = \frac{169}{14} = 12\frac{1}{14} $.

Ответ: $12\frac{1}{14}$.

в)

Сначала упростим данное выражение $ \frac{8a^3-27b^3}{(3b+2a)^2-6ab} $.

1. Разложим числитель по формуле разности кубов $x^3-y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$:

$ 8a^3-27b^3 = (2a)^3 - (3b)^3 = (2a-3b)((2a)^2 + 2a \cdot 3b + (3b)^2) = (2a-3b)(4a^2+6ab+9b^2) $.

2. Раскроем скобки и упростим знаменатель:

$ (3b+2a)^2-6ab = (9b^2 + 2 \cdot 3b \cdot 2a + 4a^2) - 6ab = 9b^2 + 12ab + 4a^2 - 6ab = 4a^2+6ab+9b^2 $.

3. Подставим упрощенные числитель и знаменатель в исходную дробь и сократим:

$ \frac{(2a-3b)(4a^2+6ab+9b^2)}{4a^2+6ab+9b^2} = 2a-3b $.

4. Подставим значения $a = 2,5$ и $b = -1\frac{2}{3} = -\frac{5}{3}$ в упрощенное выражение:

$ 2a-3b = 2 \cdot 2,5 - 3 \cdot (-\frac{5}{3}) = 5 + 5 = 10 $.

Ответ: 10.

г)

Сначала упростим данное выражение $ \frac{64a^3+8b^3}{(2a-b)^2+2ab} $.

1. Разложим числитель по формуле суммы кубов $x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)$. Вынесем общий множитель 8:

$ 64a^3+8b^3 = 8(8a^3+b^3) = 8((2a)^3+b^3) = 8(2a+b)((2a)^2 - 2a \cdot b + b^2) = 8(2a+b)(4a^2-2ab+b^2) $.

2. Раскроем скобки и упростим знаменатель:

$ (2a-b)^2+2ab = (4a^2 - 2 \cdot 2a \cdot b + b^2) + 2ab = 4a^2 - 4ab + b^2 + 2ab = 4a^2-2ab+b^2 $.

3. Подставим упрощенные числитель и знаменатель в исходную дробь и сократим:

$ \frac{8(2a+b)(4a^2-2ab+b^2)}{4a^2-2ab+b^2} = 8(2a+b) = 16a+8b $.

4. Подставим значения $a = -0,25 = -\frac{1}{4}$ и $b = 1\frac{7}{8} = \frac{15}{8}$ в упрощенное выражение:

$ 16a+8b = 16 \cdot (-\frac{1}{4}) + 8 \cdot \frac{15}{8} = -4 + 15 = 11 $.

Ответ: 11.