Номер 961, страница 249 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Буквенные выражения. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 961, страница 249.

Условие.

961. При каких значениях букв данная дробь равна нулю:

а) $\frac{x}{x^2 + 2}$;

б) $\frac{6m}{m - 8}$;

в) $\frac{a - 4}{a + 1}$;

г) $\frac{2y - 5}{y^2}$;

д) $\frac{3x + 7}{2x - 5}$;

е) $\frac{6 - 9x}{5 + 4x}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это условие можно записать в виде системы:

$\frac{A}{B} = 0 \iff \begin{cases} A = 0 \\ B \neq 0 \end{cases}$

Применим это правило для каждой из данных дробей.

а) $\frac{x}{x^2 + 2}$

1. Приравняем числитель к нулю, чтобы найти возможные значения $x$:

$x = 0$

2. Проверим, что при этом значении $x$ знаменатель не обращается в ноль:

$x^2 + 2 \neq 0$

Подставим $x=0$ в знаменатель: $0^2 + 2 = 2$.

Так как $2 \neq 0$, условие выполняется. Стоит отметить, что знаменатель $x^2 + 2$ всегда больше или равен 2, так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, поэтому знаменатель никогда не может быть равен нулю.

Следовательно, дробь равна нулю только при $x=0$.

Ответ: $x = 0$.

б) $\frac{6m}{m - 8}$

1. Приравняем числитель к нулю:

$6m = 0$

$m = 0$

2. Проверим, что при $m=0$ знаменатель не равен нулю:

$m - 8 \neq 0$

Подставляем $m=0$: $0 - 8 = -8$.

Так как $-8 \neq 0$, условие выполняется.

Ответ: $m = 0$.

в) $\frac{a - 4}{a + 1}$

1. Приравняем числитель к нулю:

$a - 4 = 0$

$a = 4$

2. Проверим, что при $a=4$ знаменатель не равен нулю:

$a + 1 \neq 0$

Подставляем $a=4$: $4 + 1 = 5$.

Так как $5 \neq 0$, условие выполняется.

Ответ: $a = 4$.

г) $\frac{2y - 5}{y^2}$

1. Приравняем числитель к нулю:

$2y - 5 = 0$

$2y = 5$

$y = \frac{5}{2}$ или $y = 2.5$

2. Проверим, что при $y=\frac{5}{2}$ знаменатель не равен нулю:

$y^2 \neq 0$

Подставляем $y=\frac{5}{2}$: $(\frac{5}{2})^2 = \frac{25}{4}$.

Так как $\frac{25}{4} \neq 0$, условие выполняется.

Ответ: $y = \frac{5}{2}$.

д) $\frac{3x + 7}{2x - 5}$

1. Приравняем числитель к нулю:

$3x + 7 = 0$

$3x = -7$

$x = -\frac{7}{3}$

2. Проверим, что при $x=-\frac{7}{3}$ знаменатель не равен нулю:

$2x - 5 \neq 0$

Подставляем $x=-\frac{7}{3}$: $2(-\frac{7}{3}) - 5 = -\frac{14}{3} - 5 = -\frac{14}{3} - \frac{15}{3} = -\frac{29}{3}$.

Так как $-\frac{29}{3} \neq 0$, условие выполняется.

Ответ: $x = -\frac{7}{3}$.

е) $\frac{6 - 9x}{5 + 4x}$

1. Приравняем числитель к нулю:

$6 - 9x = 0$

$6 = 9x$

$x = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

2. Проверим, что при $x=\frac{2}{3}$ знаменатель не равен нулю:

$5 + 4x \neq 0$

Подставляем $x=\frac{2}{3}$: $5 + 4(\frac{2}{3}) = 5 + \frac{8}{3} = \frac{15}{3} + \frac{8}{3} = \frac{23}{3}$.

Так как $\frac{23}{3} \neq 0$, условие выполняется.

Ответ: $x = \frac{2}{3}$.