Номер 958, страница 248 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Буквенные выражения. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 958, страница 248.

Условие.

958. a) $ (\frac{m^2 + 2m}{4m^2 - n^2} - \frac{1}{2m + n}) : \frac{m^2 + n}{20m^2 + 10mn} + \frac{5n}{n - 2m} = 5; $

б) $ \frac{5a}{5a + 3b} + (\frac{5a + 3b}{5a - 3b} - \frac{25a^2}{25a^2 - 9b^2}) \cdot \frac{5a - 3b}{10a + 3b} = 1; $

в) $ (\frac{2a}{a^2 - 16} - \frac{4}{4 + a}) \cdot \frac{a + 4}{8 - a} + \frac{a^2}{32 - 8a} = - \frac{a + 4}{8}; $

г) $ \frac{1}{x} (\frac{y^2 - xy}{x + y})^2 : (\frac{x + y}{(x - y)^2} + \frac{x + y}{xy - y^2}) + \frac{x}{x + y} = 1; $

д) $ \frac{m}{m^2 - 2m + 1} - \frac{1}{1 - m} \cdot \frac{m}{m + 1} - \frac{2}{m + 1} = \frac{m}{(m - 1)^2} - \frac{m - 2}{m^2 - 1}; $

е) $ (\frac{a}{b^2 + ab} - \frac{a - b}{a^2 + ab}) : (\frac{b^2}{a^3 - ab^2} + \frac{1}{a + b}) = \frac{a}{b} - 1. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а)

Докажем тождество, упростив его левую часть. Сначала выполним действия в скобках. Разложим знаменатель первой дроби на множители: $4m^2 - n^2 = (2m - n)(2m + n)$.

$\frac{m^2 + 2m}{4m^2 - n^2} - \frac{1}{2m + n} = \frac{m^2 + 2m}{(2m - n)(2m + n)} - \frac{1 \cdot (2m - n)}{(2m + n)(2m - n)} = \frac{m^2 + 2m - 2m + n}{(2m - n)(2m + n)} = \frac{m^2 + n}{(2m - n)(2m + n)}.$

Теперь выполним деление. Упростим знаменатель делителя: $20m^2 + 10mn = 10m(2m + n)$.

$\left(\frac{m^2 + n}{(2m - n)(2m + n)}\right) : \frac{m^2 + n}{10m(2m + n)} = \frac{m^2 + n}{(2m - n)(2m + n)} \cdot \frac{10m(2m + n)}{m^2 + n} = \frac{10m}{2m - n}.$

Наконец, выполним сложение. Заметим, что $n - 2m = -(2m - n)$.

$\frac{10m}{2m - n} + \frac{5n}{n - 2m} = \frac{10m}{2m - n} - \frac{5n}{2m - n} = \frac{10m - 5n}{2m - n} = \frac{5(2m - n)}{2m - n} = 5.$

Левая часть тождества равна 5, что соответствует правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б)

Докажем тождество, упростив его левую часть. Сначала выполним действия в скобках. Разложим знаменатель второй дроби: $25a^2 - 9b^2 = (5a - 3b)(5a + 3b)$.

$\frac{5a + 3b}{5a - 3b} - \frac{25a^2}{25a^2 - 9b^2} = \frac{(5a + 3b)(5a + 3b)}{(5a - 3b)(5a + 3b)} - \frac{25a^2}{(5a - 3b)(5a + 3b)} = \frac{(5a + 3b)^2 - 25a^2}{(5a - 3b)(5a + 3b)} = \frac{25a^2 + 30ab + 9b^2 - 25a^2}{(5a - 3b)(5a + 3b)} = \frac{30ab + 9b^2}{(5a - 3b)(5a + 3b)} = \frac{3b(10a + 3b)}{(5a - 3b)(5a + 3b)}.$

Теперь выполним умножение:

$\left(\frac{3b(10a + 3b)}{(5a - 3b)(5a + 3b)}\right) \cdot \frac{5a - 3b}{10a + 3b} = \frac{3b}{5a + 3b}.$

Выполним сложение с первым членом:

$\frac{5a}{5a + 3b} + \frac{3b}{5a + 3b} = \frac{5a + 3b}{5a + 3b} = 1.$

Левая часть тождества равна 1, что соответствует правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

в)

Докажем тождество, упростив его левую часть. Выполним действия в скобках. Разложим знаменатель первой дроби: $a^2 - 16 = (a - 4)(a + 4)$.

$\frac{2a}{a^2 - 16} - \frac{4}{4 + a} = \frac{2a}{(a - 4)(a + 4)} - \frac{4(a - 4)}{(a + 4)(a - 4)} = \frac{2a - 4a + 16}{(a - 4)(a + 4)} = \frac{16 - 2a}{(a - 4)(a + 4)} = \frac{2(8 - a)}{(a - 4)(a + 4)}.$

Теперь выполним умножение:

$\left(\frac{2(8 - a)}{(a - 4)(a + 4)}\right) \cdot \frac{a + 4}{8 - a} = \frac{2}{a - 4}.$

Выполним сложение с последним членом. Упростим его знаменатель: $32 - 8a = 8(4 - a) = -8(a - 4)$.

$\frac{2}{a - 4} + \frac{a^2}{32 - 8a} = \frac{2}{a - 4} - \frac{a^2}{8(a - 4)} = \frac{2 \cdot 8 - a^2}{8(a - 4)} = \frac{16 - a^2}{8(a - 4)}.$

Разложим числитель на множители: $16 - a^2 = (4 - a)(4 + a) = -(a - 4)(a + 4)$.

$\frac{-(a - 4)(a + 4)}{8(a - 4)} = -\frac{a + 4}{8}.$

Левая часть тождества равна $-\frac{a + 4}{8}$, что соответствует правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

г)

Докажем тождество, упростив его левую часть. Упростим выражения по частям. Сначала первое произведение:

$\frac{1}{x}\left(\frac{y^2 - xy}{x + y}\right)^2 = \frac{1}{x}\left(\frac{-y(x - y)}{x + y}\right)^2 = \frac{1}{x} \cdot \frac{y^2(x - y)^2}{(x + y)^2} = \frac{y^2(x - y)^2}{x(x + y)^2}.$

Теперь упростим выражение во второй скобке. Упростим знаменатель второй дроби: $xy - y^2 = y(x - y)$.

$\frac{x + y}{(x - y)^2} + \frac{x + y}{y(x - y)} = \frac{y(x + y) + (x + y)(x - y)}{y(x - y)^2} = \frac{(x + y)(y + x - y)}{y(x - y)^2} = \frac{x(x + y)}{y(x - y)^2}.$

Перемножим полученные выражения:

$\frac{y^2(x - y)^2}{x(x + y)^2} \cdot \frac{x(x + y)}{y(x - y)^2} = \frac{y}{x + y}.$

Теперь добавим последний член:

$\frac{y}{x + y} + \frac{x}{x + y} = \frac{y + x}{x + y} = 1.$

Левая часть тождества равна 1, что соответствует правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

д)

Докажем тождество, упростив его левую и правую части.

Упростим левую часть (ЛЧ). $m^2 - 2m + 1 = (m-1)^2$ и $1 - m = -(m-1)$.

ЛЧ $= \frac{m}{(m-1)^2} - \frac{1}{-(m-1)} \cdot \frac{m}{m+1} - \frac{2}{m+1} = \frac{m}{(m-1)^2} + \frac{m}{(m-1)(m+1)} - \frac{2}{m+1}.$

Приведем к общему знаменателю $(m-1)^2(m+1)$:

ЛЧ $= \frac{m(m+1) + m(m-1) - 2(m-1)^2}{(m-1)^2(m+1)} = \frac{m^2+m+m^2-m-2(m^2-2m+1)}{(m-1)^2(m+1)} = \frac{2m^2-2m^2+4m-2}{(m-1)^2(m+1)} = \frac{4m-2}{(m-1)^2(m+1)}.$

Теперь упростим правую часть (ПЧ). $m^2-1=(m-1)(m+1)$.

ПЧ $= \frac{m}{(m-1)^2} - \frac{m-2}{(m-1)(m+1)}.$

Приведем к общему знаменателю $(m-1)^2(m+1)$:

ПЧ $= \frac{m(m+1) - (m-2)(m-1)}{(m-1)^2(m+1)} = \frac{m^2+m - (m^2-m-2m+2)}{(m-1)^2(m+1)} = \frac{m^2+m - m^2+3m-2}{(m-1)^2(m+1)} = \frac{4m-2}{(m-1)^2(m+1)}.$

Так как ЛЧ = ПЧ, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

е)

Докажем тождество, упростив его левую часть. Сначала упростим выражение в первой скобке. $b^2+ab=b(a+b)$, $a^2+ab=a(a+b)$.

$\frac{a}{b(a+b)} - \frac{a-b}{a(a+b)} = \frac{a^2 - b(a-b)}{ab(a+b)} = \frac{a^2 - ab + b^2}{ab(a+b)}.$

Теперь упростим выражение во второй скобке. $a^3-ab^2 = a(a^2-b^2) = a(a-b)(a+b)$.

$\frac{b^2}{a(a-b)(a+b)} + \frac{1}{a+b} = \frac{b^2 + a(a-b)}{a(a-b)(a+b)} = \frac{b^2+a^2-ab}{a(a-b)(a+b)} = \frac{a^2-ab+b^2}{a(a-b)(a+b)}.$

Выполним деление полученных выражений:

$\frac{a^2 - ab + b^2}{ab(a+b)} : \frac{a^2-ab+b^2}{a(a-b)(a+b)} = \frac{a^2 - ab + b^2}{ab(a+b)} \cdot \frac{a(a-b)(a+b)}{a^2-ab+b^2} = \frac{a(a-b)}{ab} = \frac{a-b}{b}.$

Упростим правую часть тождества: $\frac{a}{b} - 1 = \frac{a}{b} - \frac{b}{b} = \frac{a-b}{b}$.

Левая и правая части равны. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.