Страница 248 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

955. Доказываем. Докажите, что при любом натуральном n:

a) $ \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \ldots + \frac{1}{(n-1) \cdot n} < 1; $

б) $ \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \ldots + \frac{1}{(2n-1) \cdot (2n+1)} < \frac{1}{2}. $

a)

Для доказательства данного неравенства рассмотрим сумму в левой части: $S_n = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{(n-1) \cdot n}$. Заметим, что выражение имеет смысл при натуральных $n \ge 2$. Общий член этой суммы можно представить в виде $\frac{1}{k(k+1)}$ для $k$ от $1$ до $n-1$.

Воспользуемся методом разложения на простейшие дроби. Любую дробь вида $\frac{1}{k(k+1)}$ можно представить как разность: $\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$. Это легко проверить, приведя дроби в правой части к общему знаменателю: $\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} = \frac{k+1-k}{k(k+1)} = \frac{1}{k(k+1)}$.

Теперь мы можем переписать исходную сумму, заменив каждый член на соответствующую разность. Получим так называемую телескопическую сумму: $S_n = \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \dots + \left(\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}\right)$.

В этой сумме все промежуточные слагаемые попарно уничтожаются: $-\frac{1}{2}$ сокращается с $+\frac{1}{2}$, $-\frac{1}{3}$ с $+\frac{1}{3}$ и так далее, до предпоследней пары. В результате остаются только первое и последнее слагаемые: $S_n = 1 - \frac{1}{n}$.

Нам нужно доказать, что $S_n < 1$. Подставим найденное значение суммы в неравенство: $1 - \frac{1}{n} < 1$.

Вычтем 1 из обеих частей неравенства: $-\frac{1}{n} < 0$. Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $\frac{1}{n} > 0$.

Так как по условию $n$ — натуральное число (и для данной суммы $n \ge 2$), то $n$ всегда положительно. Следовательно, и обратная величина $\frac{1}{n}$ также всегда положительна. Таким образом, неравенство $\frac{1}{n} > 0$ истинно, а значит, истинно и исходное неравенство.
Ответ: Неравенство доказано.

б)

Рассмотрим сумму в левой части неравенства: $S_n = \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \dots + \frac{1}{(2n-1) \cdot (2n+1)}$. Общий член этой суммы имеет вид $\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$ для $k$ от $1$ до $n$.

Представим общий член в виде разности двух дробей. Заметим, что разность множителей в знаменателе равна $(2k+1) - (2k-1) = 2$. Это подсказывает следующий приём: $\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2} \cdot \frac{(2k+1) - (2k-1)}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1} \right)$.

Теперь перепишем исходную сумму, используя это представление для каждого члена: $S_n = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{1} - \frac{1}{3}\right) + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{5} - \frac{1}{7}\right) + \dots + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}\right)$.

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки. В скобках останется телескопическая сумма: $S_n = \frac{1}{2} \left[ \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{7}\right) + \dots + \left(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}\right) \right]$.

Внутри квадратных скобок все промежуточные члены взаимно уничтожаются. Остаются только первый и последний: $S_n = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2n+1} \right)$.

Нам нужно доказать, что $S_n < \frac{1}{2}$. Подставим полученное выражение для $S_n$: $\frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2n+1} \right) < \frac{1}{2}$.

Умножим обе части неравенства на 2 (так как 2 > 0, знак неравенства не меняется): $1 - \frac{1}{2n+1} < 1$.

Вычтем 1 из обеих частей: $-\frac{1}{2n+1} < 0$. Умножим на -1 и сменим знак неравенства: $\frac{1}{2n+1} > 0$.

По условию $n$ — любое натуральное число, то есть $n \ge 1$. Тогда $2n \ge 2$, и $2n+1 \ge 3$. Значит, знаменатель $2n+1$ всегда положителен. Следовательно, дробь $\frac{1}{2n+1}$ также всегда положительна. Неравенство $\frac{1}{2n+1} > 0$ является истинным, что и доказывает исходное неравенство.
Ответ: Неравенство доказано.

956. Упростите выражение:

a) $ \frac{1}{x(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+2)}; $

б) $ \frac{1}{x(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+2)} + \frac{1}{(x+2)(x+3)}; $

в) $ \frac{2}{x(x+2)} + \frac{2}{(x+2)(x+4)}; $

г) $ \frac{1}{x(x+2)} + \frac{1}{(x+2)(x+4)} + \frac{1}{(x+4)(x+6)}. $

a) Для упрощения выражения $ \frac{1}{x(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+2)} $ представим каждую дробь в виде разности двух дробей (метод разложения на простейшие дроби). Этот прием позволяет увидеть, что сумма является телескопической.

Для первой дроби имеем: $ \frac{1}{x(x+1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} $.

Для второй дроби: $ \frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2} $.

Теперь сложим полученные выражения:

$ (\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}) + (\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2}) = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2} $.

Промежуточные слагаемые $ -\frac{1}{x+1} $ и $ \frac{1}{x+1} $ взаимно уничтожаются. В результате остается:

$ \frac{1}{x} - \frac{1}{x+2} $.

Приведем это выражение к общему знаменателю:

$ \frac{1 \cdot (x+2)}{x(x+2)} - \frac{1 \cdot x}{x(x+2)} = \frac{x+2-x}{x(x+2)} = \frac{2}{x(x+2)} $.

Ответ: $ \frac{2}{x(x+2)} $

б) Упростим выражение $ \frac{1}{x(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+2)} + \frac{1}{(x+2)(x+3)} $.

Используем тот же метод разложения на простейшие дроби, что и в предыдущем пункте. Сумма является телескопической.

$ \frac{1}{x(x+1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} $

$ \frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2} $

$ \frac{1}{(x+2)(x+3)} = \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+3} $

Складывая эти выражения, получаем:

$ (\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}) + (\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2}) + (\frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+3}) $.

После сокращения промежуточных членов ($ -\frac{1}{x+1} $ и $ +\frac{1}{x+1} $, $ -\frac{1}{x+2} $ и $ +\frac{1}{x+2} $) остается:

$ \frac{1}{x} - \frac{1}{x+3} $.

Приведем к общему знаменателю:

$ \frac{1 \cdot (x+3)}{x(x+3)} - \frac{1 \cdot x}{x(x+3)} = \frac{x+3-x}{x(x+3)} = \frac{3}{x(x+3)} $.

Ответ: $ \frac{3}{x(x+3)} $

в) Упростим выражение $ \frac{2}{x(x+2)} + \frac{2}{(x+2)(x+4)} $.

В данном случае числитель каждой дроби равен разности сомножителей в знаменателе. Разложим дроби на простейшие:

$ \frac{2}{x(x+2)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+2} $.

$ \frac{2}{(x+2)(x+4)} = \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+4} $.

Сложим полученные выражения:

$ (\frac{1}{x} - \frac{1}{x+2}) + (\frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+4}) = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+2} + \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+4} $.

После сокращения остается:

$ \frac{1}{x} - \frac{1}{x+4} $.

Приведем к общему знаменателю:

$ \frac{1 \cdot (x+4)}{x(x+4)} - \frac{1 \cdot x}{x(x+4)} = \frac{x+4-x}{x(x+4)} = \frac{4}{x(x+4)} $.

Ответ: $ \frac{4}{x(x+4)} $

г) Упростим выражение $ \frac{1}{x(x+2)} + \frac{1}{(x+2)(x+4)} + \frac{1}{(x+4)(x+6)} $.

Здесь разность сомножителей в знаменателе равна 2, а числитель равен 1. При разложении на простейшие дроби появится множитель $ \frac{1}{2} $.

$ \frac{1}{x(x+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x+2} \right) $.

$ \frac{1}{(x+2)(x+4)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+4} \right) $.

$ \frac{1}{(x+4)(x+6)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{x+4} - \frac{1}{x+6} \right) $.

Сложим выражения, вынеся общий множитель $ \frac{1}{2} $ за скобки:

$ \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x+2} \right) + \left( \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+4} \right) + \left( \frac{1}{x+4} - \frac{1}{x+6} \right) \right] $.

Внутри скобок промежуточные члены сокращаются:

$ \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{x} - \frac{1}{x+6} \right] $.

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$ \frac{1}{2} \left[ \frac{x+6-x}{x(x+6)} \right] = \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{x(x+6)} = \frac{3}{x(x+6)} $.

Ответ: $ \frac{3}{x(x+6)} $

Доказываем. Докажите тождество (957—958):

957. a)

$\left(\frac{x^2}{y^2} + \frac{y}{x}\right) : \left(\frac{x}{y^2} - \frac{1}{y} + \frac{1}{x}\right) = x + y;$

б) $\left(\frac{x}{y} - \frac{y}{x}\right) : \left(\frac{x}{y} + \frac{y}{x} - 2\right) : \left(1 + \frac{y}{x}\right) = \frac{x}{x - y};$

в) $\left(m + 1 - \frac{1}{1 - m}\right) : \left(m - \frac{m^2}{m - 1}\right) = -m;$

г) $\left(a - \frac{4ab}{a + b} + b\right) : \left(\frac{a}{a + b} - \frac{b}{b - a} - \frac{2ab}{a^2 - b^2}\right) = a - b.$

а) Чтобы доказать тождество, преобразуем левую часть выражения. Сначала выполним действия в каждой из скобок, приводя дроби к общему знаменателю.
1) В первой скобке общий знаменатель $xy^2$:
$\frac{x^2}{y^2} + \frac{y}{x} = \frac{x^2 \cdot x}{y^2 \cdot x} + \frac{y \cdot y^2}{x \cdot y^2} = \frac{x^3 + y^3}{xy^2}$.
Применим формулу суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$: $\frac{x^3 + y^3}{xy^2} = \frac{(x+y)(x^2-xy+y^2)}{xy^2}$.
2) Во второй скобке общий знаменатель также $xy^2$:
$\frac{x}{y^2} - \frac{1}{y} + \frac{1}{x} = \frac{x \cdot x}{y^2 \cdot x} - \frac{1 \cdot xy}{y \cdot xy} + \frac{1 \cdot y^2}{x \cdot y^2} = \frac{x^2-xy+y^2}{xy^2}$.
3) Теперь выполним деление полученных выражений:
$(\frac{(x+y)(x^2-xy+y^2)}{xy^2}) : (\frac{x^2-xy+y^2}{xy^2}) = \frac{(x+y)(x^2-xy+y^2)}{xy^2} \cdot \frac{xy^2}{x^2-xy+y^2}$.
Сократим одинаковые множители $(x^2-xy+y^2)$ и $xy^2$ в числителе и знаменателе. В результате получаем $x+y$.
Левая часть тождества равна правой, что и требовалось доказать.
Ответ: $x+y$.

б) Преобразуем левую часть выражения по действиям.
1) Выполним вычитание в первой скобке. Общий знаменатель $xy$:
$\frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{x^2 - y^2}{xy} = \frac{(x-y)(x+y)}{xy}$.
2) Упростим выражение во второй скобке. Общий знаменатель $xy$:
$\frac{x}{y} + \frac{y}{x} - 2 = \frac{x^2+y^2-2xy}{xy} = \frac{(x-y)^2}{xy}$.
3) Упростим выражение в третьей скобке. Общий знаменатель $x$:
$1 + \frac{y}{x} = \frac{x+y}{x}$.
4) Выполним деление последовательно. Сначала результат первого действия разделим на результат второго:
$\frac{(x-y)(x+y)}{xy} : \frac{(x-y)^2}{xy} = \frac{(x-y)(x+y)}{xy} \cdot \frac{xy}{(x-y)^2} = \frac{x+y}{x-y}$.
5) Теперь полученный результат разделим на результат третьего действия:
$\frac{x+y}{x-y} : \frac{x+y}{x} = \frac{x+y}{x-y} \cdot \frac{x}{x+y} = \frac{x}{x-y}$.
Левая часть тождества равна правой, что и требовалось доказать.
Ответ: $\frac{x}{x-y}$.

в) Преобразуем левую часть тождества.
1) Упростим выражение в первой скобке. Заметим, что $1-m = -(m-1)$, поэтому $-\frac{1}{1-m} = \frac{1}{m-1}$.
$m + 1 - \frac{1}{1-m} = m + 1 + \frac{1}{m-1}$.
Приведем к общему знаменателю $m-1$:
$\frac{(m+1)(m-1)}{m-1} + \frac{1}{m-1} = \frac{m^2-1+1}{m-1} = \frac{m^2}{m-1}$.
2) Упростим выражение во второй скобке. Общий знаменатель $m-1$:
$m - \frac{m^2}{m-1} = \frac{m(m-1)}{m-1} - \frac{m^2}{m-1} = \frac{m^2-m-m^2}{m-1} = \frac{-m}{m-1}$.
3) Выполним деление результатов:
$(\frac{m^2}{m-1}) : (\frac{-m}{m-1}) = \frac{m^2}{m-1} \cdot \frac{m-1}{-m} = \frac{m^2}{-m} = -m$.
Левая часть тождества равна правой, что и требовалось доказать.
Ответ: $-m$.

г) Преобразуем левую часть тождества по действиям.
1) Упростим выражение в первой скобке. Сгруппируем $a$ и $b$ и приведем к общему знаменателю $a+b$:
$(a+b) - \frac{4ab}{a+b} = \frac{(a+b)(a+b)}{a+b} - \frac{4ab}{a+b} = \frac{(a+b)^2 - 4ab}{a+b}$.
Раскроем скобки в числителе: $\frac{a^2+2ab+b^2-4ab}{a+b} = \frac{a^2-2ab+b^2}{a+b} = \frac{(a-b)^2}{a+b}$.
2) Упростим выражение во второй скобке. Заметим, что $b-a = -(a-b)$ и $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.
$\frac{a}{a+b} - \frac{b}{b-a} - \frac{2ab}{a^2-b^2} = \frac{a}{a+b} + \frac{b}{a-b} - \frac{2ab}{(a-b)(a+b)}$.
Общий знаменатель $(a-b)(a+b)$. Приводим дроби к нему:
$\frac{a(a-b) + b(a+b) - 2ab}{(a-b)(a+b)} = \frac{a^2-ab+ab+b^2-2ab}{(a-b)(a+b)} = \frac{a^2-2ab+b^2}{(a-b)(a+b)} = \frac{(a-b)^2}{(a-b)(a+b)}$.
Сократив на $(a-b)$, получим $\frac{a-b}{a+b}$.
3) Выполним деление результатов:
$(\frac{(a-b)^2}{a+b}) : (\frac{a-b}{a+b}) = \frac{(a-b)^2}{a+b} \cdot \frac{a+b}{a-b} = a-b$.
Левая часть тождества равна правой, что и требовалось доказать.
Ответ: $a-b$.

958. a) $ (\frac{m^2 + 2m}{4m^2 - n^2} - \frac{1}{2m + n}) : \frac{m^2 + n}{20m^2 + 10mn} + \frac{5n}{n - 2m} = 5; $

б) $ \frac{5a}{5a + 3b} + (\frac{5a + 3b}{5a - 3b} - \frac{25a^2}{25a^2 - 9b^2}) \cdot \frac{5a - 3b}{10a + 3b} = 1; $

в) $ (\frac{2a}{a^2 - 16} - \frac{4}{4 + a}) \cdot \frac{a + 4}{8 - a} + \frac{a^2}{32 - 8a} = - \frac{a + 4}{8}; $

г) $ \frac{1}{x} (\frac{y^2 - xy}{x + y})^2 : (\frac{x + y}{(x - y)^2} + \frac{x + y}{xy - y^2}) + \frac{x}{x + y} = 1; $

д) $ \frac{m}{m^2 - 2m + 1} - \frac{1}{1 - m} \cdot \frac{m}{m + 1} - \frac{2}{m + 1} = \frac{m}{(m - 1)^2} - \frac{m - 2}{m^2 - 1}; $

е) $ (\frac{a}{b^2 + ab} - \frac{a - b}{a^2 + ab}) : (\frac{b^2}{a^3 - ab^2} + \frac{1}{a + b}) = \frac{a}{b} - 1. $

Докажем тождество, упростив его левую часть. Сначала выполним действия в скобках. Разложим знаменатель первой дроби на множители: $4m^2 - n^2 = (2m - n)(2m + n)$.

$\frac{m^2 + 2m}{4m^2 - n^2} - \frac{1}{2m + n} = \frac{m^2 + 2m}{(2m - n)(2m + n)} - \frac{1 \cdot (2m - n)}{(2m + n)(2m - n)} = \frac{m^2 + 2m - 2m + n}{(2m - n)(2m + n)} = \frac{m^2 + n}{(2m - n)(2m + n)}.$

Теперь выполним деление. Упростим знаменатель делителя: $20m^2 + 10mn = 10m(2m + n)$.

$\left(\frac{m^2 + n}{(2m - n)(2m + n)}\right) : \frac{m^2 + n}{10m(2m + n)} = \frac{m^2 + n}{(2m - n)(2m + n)} \cdot \frac{10m(2m + n)}{m^2 + n} = \frac{10m}{2m - n}.$

Наконец, выполним сложение. Заметим, что $n - 2m = -(2m - n)$.

$\frac{10m}{2m - n} + \frac{5n}{n - 2m} = \frac{10m}{2m - n} - \frac{5n}{2m - n} = \frac{10m - 5n}{2m - n} = \frac{5(2m - n)}{2m - n} = 5.$

Левая часть тождества равна 5, что соответствует правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

Докажем тождество, упростив его левую часть. Сначала выполним действия в скобках. Разложим знаменатель второй дроби: $25a^2 - 9b^2 = (5a - 3b)(5a + 3b)$.

$\frac{5a + 3b}{5a - 3b} - \frac{25a^2}{25a^2 - 9b^2} = \frac{(5a + 3b)(5a + 3b)}{(5a - 3b)(5a + 3b)} - \frac{25a^2}{(5a - 3b)(5a + 3b)} = \frac{(5a + 3b)^2 - 25a^2}{(5a - 3b)(5a + 3b)} = \frac{25a^2 + 30ab + 9b^2 - 25a^2}{(5a - 3b)(5a + 3b)} = \frac{30ab + 9b^2}{(5a - 3b)(5a + 3b)} = \frac{3b(10a + 3b)}{(5a - 3b)(5a + 3b)}.$

Теперь выполним умножение:

$\left(\frac{3b(10a + 3b)}{(5a - 3b)(5a + 3b)}\right) \cdot \frac{5a - 3b}{10a + 3b} = \frac{3b}{5a + 3b}.$

Выполним сложение с первым членом:

$\frac{5a}{5a + 3b} + \frac{3b}{5a + 3b} = \frac{5a + 3b}{5a + 3b} = 1.$

Левая часть тождества равна 1, что соответствует правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

Докажем тождество, упростив его левую часть. Выполним действия в скобках. Разложим знаменатель первой дроби: $a^2 - 16 = (a - 4)(a + 4)$.

$\frac{2a}{a^2 - 16} - \frac{4}{4 + a} = \frac{2a}{(a - 4)(a + 4)} - \frac{4(a - 4)}{(a + 4)(a - 4)} = \frac{2a - 4a + 16}{(a - 4)(a + 4)} = \frac{16 - 2a}{(a - 4)(a + 4)} = \frac{2(8 - a)}{(a - 4)(a + 4)}.$

Теперь выполним умножение:

$\left(\frac{2(8 - a)}{(a - 4)(a + 4)}\right) \cdot \frac{a + 4}{8 - a} = \frac{2}{a - 4}.$

Выполним сложение с последним членом. Упростим его знаменатель: $32 - 8a = 8(4 - a) = -8(a - 4)$.

$\frac{2}{a - 4} + \frac{a^2}{32 - 8a} = \frac{2}{a - 4} - \frac{a^2}{8(a - 4)} = \frac{2 \cdot 8 - a^2}{8(a - 4)} = \frac{16 - a^2}{8(a - 4)}.$

Разложим числитель на множители: $16 - a^2 = (4 - a)(4 + a) = -(a - 4)(a + 4)$.

$\frac{-(a - 4)(a + 4)}{8(a - 4)} = -\frac{a + 4}{8}.$

Левая часть тождества равна $-\frac{a + 4}{8}$, что соответствует правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

Докажем тождество, упростив его левую часть. Упростим выражения по частям. Сначала первое произведение:

$\frac{1}{x}\left(\frac{y^2 - xy}{x + y}\right)^2 = \frac{1}{x}\left(\frac{-y(x - y)}{x + y}\right)^2 = \frac{1}{x} \cdot \frac{y^2(x - y)^2}{(x + y)^2} = \frac{y^2(x - y)^2}{x(x + y)^2}.$

Теперь упростим выражение во второй скобке. Упростим знаменатель второй дроби: $xy - y^2 = y(x - y)$.

$\frac{x + y}{(x - y)^2} + \frac{x + y}{y(x - y)} = \frac{y(x + y) + (x + y)(x - y)}{y(x - y)^2} = \frac{(x + y)(y + x - y)}{y(x - y)^2} = \frac{x(x + y)}{y(x - y)^2}.$

Перемножим полученные выражения:

$\frac{y^2(x - y)^2}{x(x + y)^2} \cdot \frac{x(x + y)}{y(x - y)^2} = \frac{y}{x + y}.$

Теперь добавим последний член:

$\frac{y}{x + y} + \frac{x}{x + y} = \frac{y + x}{x + y} = 1.$

Левая часть тождества равна 1, что соответствует правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

Докажем тождество, упростив его левую и правую части.

Упростим левую часть (ЛЧ). $m^2 - 2m + 1 = (m-1)^2$ и $1 - m = -(m-1)$.

ЛЧ $= \frac{m}{(m-1)^2} - \frac{1}{-(m-1)} \cdot \frac{m}{m+1} - \frac{2}{m+1} = \frac{m}{(m-1)^2} + \frac{m}{(m-1)(m+1)} - \frac{2}{m+1}.$

Приведем к общему знаменателю $(m-1)^2(m+1)$:

ЛЧ $= \frac{m(m+1) + m(m-1) - 2(m-1)^2}{(m-1)^2(m+1)} = \frac{m^2+m+m^2-m-2(m^2-2m+1)}{(m-1)^2(m+1)} = \frac{2m^2-2m^2+4m-2}{(m-1)^2(m+1)} = \frac{4m-2}{(m-1)^2(m+1)}.$

Теперь упростим правую часть (ПЧ). $m^2-1=(m-1)(m+1)$.

ПЧ $= \frac{m}{(m-1)^2} - \frac{m-2}{(m-1)(m+1)}.$

Приведем к общему знаменателю $(m-1)^2(m+1)$:

ПЧ $= \frac{m(m+1) - (m-2)(m-1)}{(m-1)^2(m+1)} = \frac{m^2+m - (m^2-m-2m+2)}{(m-1)^2(m+1)} = \frac{m^2+m - m^2+3m-2}{(m-1)^2(m+1)} = \frac{4m-2}{(m-1)^2(m+1)}.$

Так как ЛЧ = ПЧ, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

Докажем тождество, упростив его левую часть. Сначала упростим выражение в первой скобке. $b^2+ab=b(a+b)$, $a^2+ab=a(a+b)$.

$\frac{a}{b(a+b)} - \frac{a-b}{a(a+b)} = \frac{a^2 - b(a-b)}{ab(a+b)} = \frac{a^2 - ab + b^2}{ab(a+b)}.$

Теперь упростим выражение во второй скобке. $a^3-ab^2 = a(a^2-b^2) = a(a-b)(a+b)$.

$\frac{b^2}{a(a-b)(a+b)} + \frac{1}{a+b} = \frac{b^2 + a(a-b)}{a(a-b)(a+b)} = \frac{b^2+a^2-ab}{a(a-b)(a+b)} = \frac{a^2-ab+b^2}{a(a-b)(a+b)}.$

Выполним деление полученных выражений:

$\frac{a^2 - ab + b^2}{ab(a+b)} : \frac{a^2-ab+b^2}{a(a-b)(a+b)} = \frac{a^2 - ab + b^2}{ab(a+b)} \cdot \frac{a(a-b)(a+b)}{a^2-ab+b^2} = \frac{a(a-b)}{ab} = \frac{a-b}{b}.$

Упростим правую часть тождества: $\frac{a}{b} - 1 = \frac{a}{b} - \frac{b}{b} = \frac{a-b}{b}$.

Левая и правая части равны. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.