Страница 253 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

991. Брат и сестра коллекционируют открытки. У брата в 2 раза больше открыток, чем у сестры, а всего у них 60 открыток. Сколько открыток у каждого?

Для решения этой задачи можно использовать алгебраический метод или решить ее по действиям.

Способ 1: Решение с помощью уравнения

1. Пусть $x$ — это количество открыток у сестры.

2. Согласно условию, у брата в 2 раза больше открыток. Значит, у брата $2 \cdot x$ или $2x$ открыток.

3. Всего у них 60 открыток. Составим и решим уравнение, сложив количество открыток сестры и брата:
$x + 2x = 60$
$3x = 60$
$x = 60 / 3$
$x = 20$
Таким образом, у сестры 20 открыток.

4. Теперь найдем, сколько открыток у брата:
$2x = 2 \cdot 20 = 40$
У брата 40 открыток.

Проверка: $20 + 40 = 60$.

Ответ: у сестры 20 открыток, у брата 40 открыток.

Способ 2: Решение по действиям

1. Примем количество открыток у сестры за 1 часть. Тогда количество открыток у брата, у которого их в 2 раза больше, составит 2 части.

2. Найдем, сколько всего частей приходится на 60 открыток:
$1 \text{ (часть сестры)} + 2 \text{ (части брата)} = 3 \text{ (части)}$

3. Узнаем, сколько открыток составляет одна часть (это и будет количество открыток у сестры):
$60 / 3 = 20$ (открыток) — у сестры.

4. Узнаем, сколько открыток у брата (две части):
$20 \cdot 2 = 40$ (открыток) — у брата.

Ответ: у сестры 20 открыток, у брата 40 открыток.

992. Старинная задача. Три швеи заработали в одном доме 21 р. 15 к., причём первая работала 4 дня по 10 ч ежедневно, вторая — 5 дней по 9 ч и третья — 7 дней по 8 ч. Сколько получит каждая из заработанной суммы сообразно времени, употреблённому на работу?

Для решения этой задачи необходимо распределить общую сумму заработка пропорционально времени, которое каждая швея потратила на работу. Следуем по шагам:

1. Определим общее количество часов, отработанных каждой швеей.

• Первая швея: $4 \text{ дня} \times 10 \text{ часов/день} = 40 \text{ часов}$
• Вторая швея: $5 \text{ дней} \times 9 \text{ часов/день} = 45 \text{ часов}$
• Третья швея: $7 \text{ дней} \times 8 \text{ часов/день} = 56 \text{ часов}$

2. Найдем общее количество отработанных часов всеми швеями.

$40 + 45 + 56 = 141 \text{ час}$

3. Переведем общую сумму заработка в копейки для удобства вычислений.

В одном рубле 100 копеек, поэтому:

$21 \text{ р. } 15 \text{ к.} = 21 \times 100 + 15 = 2115 \text{ копеек}$

4. Найдем стоимость одного часа работы.

Для этого разделим общую сумму заработка на общее количество часов:

$2115 \text{ копеек} \div 141 \text{ час} = 15 \text{ копеек/час}$

5. Рассчитаем заработок каждой швеи.

Первая швея

Она отработала 40 часов. Её заработок составляет:

$40 \text{ часов} \times 15 \text{ копеек/час} = 600 \text{ копеек}$

600 копеек — это 6 рублей 00 копеек.

Ответ: первая швея получит 6 рублей.

Вторая швея

Она отработала 45 часов. Её заработок составляет:

$45 \text{ часов} \times 15 \text{ копеек/час} = 675 \text{ копеек}$

675 копеек — это 6 рублей 75 копеек.

Ответ: вторая швея получит 6 рублей 75 копеек.

Третья швея

Она отработала 56 часов. Её заработок составляет:

$56 \text{ часов} \times 15 \text{ копеек/час} = 840 \text{ копеек}$

840 копеек — это 8 рублей 40 копеек.

Ответ: третья швея получит 8 рублей 40 копеек.

Для проверки сложим полученные суммы: $600 + 675 + 840 = 2115$ копеек, что равно 21 рублю 15 копейкам. Расчеты верны.

993. За две книги заплатили 150 р. Определите стоимость каждой книги, если известно, что одна из них на 40 р. дешевле.

Для решения этой задачи можно использовать два способа: алгебраический, с помощью уравнения, или арифметический, по действиям.

Способ 1: Решение с помощью уравнения

Пусть $x$ — стоимость более дорогой книги в рублях. Так как вторая книга на 40 рублей дешевле, ее стоимость будет $(x - 40)$ рублей. Вместе две книги стоят 150 рублей. Составим и решим уравнение:
$x + (x - 40) = 150$
Раскроем скобки:
$2x - 40 = 150$
Перенесем 40 в правую часть уравнения:
$2x = 150 + 40$
$2x = 190$
Найдем $x$:
$x = 190 / 2$
$x = 95$

Итак, стоимость дорогой книги составляет 95 рублей.
Теперь найдем стоимость дешевой книги:
$95 - 40 = 55$ рублей.

Проверка: Сумма стоимостей $95 + 55 = 150$ рублей. Разница в стоимости $95 - 55 = 40$ рублей. Условия задачи соблюдены.

Ответ: стоимость одной книги — 95 рублей, а другой — 55 рублей.

Способ 2: Арифметическое решение (по действиям)

1. Если убрать разницу в цене, то стоимость двух книг стала бы равной удвоенной цене более дешевой книги. Найдем эту стоимость:
$150 - 40 = 110$ рублей.

2. Разделим полученную сумму на 2, чтобы найти стоимость одной (более дешевой) книги:
$110 / 2 = 55$ рублей.

3. Теперь найдем стоимость второй (более дорогой) книги, прибавив разницу в цене:
$55 + 40 = 95$ рублей.

Ответ: стоимость одной книги — 95 рублей, а другой — 55 рублей.

994. а) Сумма двух чисел равна 106, а их разность равна 42. Найдите числа.

б) Сумма двух чисел равна 201, а их разность равна 99. Найдите числа.

а) Пусть искомые числа – это $x$ и $y$. По условию задачи

995. a) Одно число больше другого на 56. Сумма этих чисел равна 420. Найдите числа.

б) Одно число меньше другого на 105. Сумма этих чисел равна 203. Найдите числа.

а)

Для решения этой задачи введем переменную. Пусть меньшее из двух чисел будет $x$.
По условию, одно число больше другого на 56, значит, большее число будет равно $x + 56$.
Сумма этих чисел равна 420. Составим и решим уравнение:
$x + (x + 56) = 420$
$2x + 56 = 420$
Перенесем 56 в правую часть уравнения, изменив знак:
$2x = 420 - 56$
$2x = 364$
Найдем $x$:
$x = 364 / 2$
$x = 182$
Итак, меньшее число равно 182.
Теперь найдем второе (большее) число:
$182 + 56 = 238$
Проверим: сумма чисел $182 + 238 = 420$, разность чисел $238 - 182 = 56$. Условия задачи выполнены.
Ответ: 182 и 238.

б)

Пусть меньшее число равно $x$.
По условию, одно число меньше другого на 105, что то же самое, что второе число больше первого на 105. Значит, большее число равно $x + 105$.
Сумма этих чисел равна 203. Составим и решим уравнение:
$x + (x + 105) = 203$
$2x + 105 = 203$
Перенесем 105 в правую часть уравнения:
$2x = 203 - 105$
$2x = 98$
Найдем $x$:
$x = 98 / 2$
$x = 49$
Итак, меньшее число равно 49.
Теперь найдем второе (большее) число:
$49 + 105 = 154$
Проверим: сумма чисел $49 + 154 = 203$, разность чисел $154 - 49 = 105$. Условия задачи выполнены.
Ответ: 49 и 154.

996. a) На первой полке в 2 раза больше книг, чем на второй, но на 23 книги меньше, чем на двух полках вместе. Сколько книг на каждой полке?

б) В субботу магазин продал в 3 раза больше конфет, чем в пятницу, но на 50 кг меньше, чем за оба эти дня. Сколько килограммов конфет продано в каждый из этих дней?

а) Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — это количество книг на второй полке. Из условия следует, что на первой полке в 2 раза больше книг, то есть $2x$. Суммарное количество книг на двух полках равно $x + 2x = 3x$.
В условии также сказано, что на первой полке на 23 книги меньше, чем на двух полках вместе. Это можно выразить уравнением:
$2x = 3x - 23$
Теперь решим это уравнение, чтобы найти значение $x$:
$3x - 2x = 23$
$x = 23$
Таким образом, на второй полке находится 23 книги. Теперь можно найти количество книг на первой полке:
$2 \times x = 2 \times 23 = 46$ (книг).
Проведем проверку: общее количество книг $46 + 23 = 69$. Количество книг на первой полке (46) действительно на 23 меньше общего количества ($69 - 46 = 23$).
Ответ: на первой полке 46 книг, на второй полке 23 книги.

б) Решим задачу по аналогии с предыдущей. Пусть $y$ — это количество килограммов конфет, проданных в пятницу. Тогда в субботу магазин продал в 3 раза больше, то есть $3y$ кг. За оба дня было продано $y + 3y = 4y$ кг конфет.
Согласно условию, количество конфет, проданных в субботу ($3y$), на 50 кг меньше, чем общее количество проданных конфет за два дня ($4y$). Составим уравнение:
$3y = 4y - 50$
Решим полученное уравнение:
$4y - 3y = 50$
$y = 50$
Следовательно, в пятницу было продано 50 кг конфет. Теперь вычислим, сколько килограммов конфет было продано в субботу:
$3 \times y = 3 \times 50 = 150$ (кг).
Проведем проверку: всего за два дня продано $50 + 150 = 200$ кг. Количество, проданное в субботу (150 кг), на 50 кг меньше общего количества ($200 - 150 = 50$).
Ответ: в пятницу продано 50 кг конфет, в субботу — 150 кг.

997. a) Сумма двух чисел, одно из которых на 5 больше другого, равна 19. Найдите эти числа.

б) Сумма двух чисел, одно из которых на 5 меньше другого, равна 19. Найдите эти числа.

в) Сумма двух чисел, одно из которых в 5 раз больше другого, равна 19. Найдите эти числа.

г) Сумма двух чисел, одно из которых в 5 раз меньше другого, равна 19. Найдите эти числа.

а) Пусть меньшее число равно $x$. Тогда второе число, которое на 5 больше, равно $x + 5$. По условию, их сумма равна 19. Составим и решим уравнение:

$x + (x + 5) = 19$

$2x + 5 = 19$

$2x = 19 - 5$

$2x = 14$

$x = 14 \div 2$

$x = 7$

Итак, меньшее число равно 7. Второе число равно $7 + 5 = 12$.

Проверка: $7 + 12 = 19$.

Ответ: 7 и 12.

б) Пусть большее число равно $y$. Тогда второе число, которое на 5 меньше, равно $y - 5$. По условию, их сумма равна 19. Составим и решим уравнение:

$y + (y - 5) = 19$

$2y - 5 = 19$

$2y = 19 + 5$

$2y = 24$

$y = 24 \div 2$

$y = 12$

Итак, большее число равно 12. Второе число равно $12 - 5 = 7$. (Заметим, что эта задача идентична предыдущей).

Проверка: $12 + 7 = 19$.

Ответ: 12 и 7.

в) Пусть меньшее число равно $x$. Тогда второе число, которое в 5 раз больше, равно $5x$. По условию, их сумма равна 19. Составим и решим уравнение:

$x + 5x = 19$

$6x = 19$

$x = \frac{19}{6}$

$x = 3 \frac{1}{6}$

Итак, меньшее число равно $\frac{19}{6}$. Второе число равно $5 \times \frac{19}{6} = \frac{95}{6} = 15 \frac{5}{6}$.

Проверка: $\frac{19}{6} + \frac{95}{6} = \frac{19+95}{6} = \frac{114}{6} = 19$.

Ответ: $3 \frac{1}{6}$ и $15 \frac{5}{6}$.

г) Пусть большее число равно $y$. Тогда второе число, которое в 5 раз меньше, равно $\frac{y}{5}$. По условию, их сумма равна 19. Составим и решим уравнение:

$y + \frac{y}{5} = 19$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 5:

$5y + y = 19 \times 5$

$6y = 95$

$y = \frac{95}{6}$

$y = 15 \frac{5}{6}$

Итак, большее число равно $\frac{95}{6}$. Второе число равно $\frac{95}{6} \div 5 = \frac{95}{6 \times 5} = \frac{19}{6} = 3 \frac{1}{6}$. (Заметим, что эта задача идентична предыдущей).

Проверка: $\frac{95}{6} + \frac{19}{6} = \frac{95+19}{6} = \frac{114}{6} = 19$.

Ответ: $15 \frac{5}{6}$ и $3 \frac{1}{6}$.

998. Задачи С. А. Рачинского¹.

а) Два мальчика играли в шашки. Через несколько минут на доске осталось пустых чёрных клеток втрое больше, чем занятых шашками, а у одного мальчика на 2 шашки больше, чем у другого. Сколько шашек осталось у каждого?

б) Дочь ткала одна 4 дня по 3 аршина в день, но потом стала ткать и мать — по 5 аршин в день. Когда их тканьё стало поровну, они прекратили работу. Сколько аршин они соткали вдвоём?

в) Я всем своим ученикам дал орехов поровну. Четверо из них съели по 12 орехов, и тогда у этих четверых осталось столько

а)

Для решения этой задачи нужно использовать информацию о стандартной доске для игры в шашки. Игра ведется только на клетках одного цвета, обычно на чёрных. Стандартная доска 8x8 имеет 32 чёрные клетки.

1. Обозначим количество клеток, занятых шашками, как $x$. Согласно условию, пустых чёрных клеток осталось втрое больше, то есть $3x$.

2. Общее количество чёрных клеток на доске равно сумме занятых и пустых клеток: $x + 3x = 32$.

3. Решим это уравнение:
$4x = 32$
$x = 32 / 4$
$x = 8$

Таким образом, на доске осталось всего 8 шашек.

4. Теперь найдем, сколько шашек у каждого мальчика. Пусть у одного мальчика $y$ шашек, тогда у другого, у которого на 2 шашки больше, будет $y+2$ шашек.

5. Сумма их шашек равна общему количеству шашек на доске:
$y + (y + 2) = 8$
$2y + 2 = 8$
$2y = 6$
$y = 3$

6. Значит, у одного мальчика осталось 3 шашки, а у второго $3 + 2 = 5$ шашек.

Ответ: У одного мальчика осталось 5 шашек, а у другого — 3 шашки.

б)

1. Сначала дочь работала одна в течение 4 дней и ткала по 3 аршина в день. За это время она успела соткать:
$4 \text{ дня} \times 3 \text{ аршина/день} = 12 \text{ аршин}$

2. Затем к ней присоединилась мать, которая ткала по 5 аршин в день. Дочь продолжала ткать со своей скоростью 3 аршина в день. Обозначим количество дней, которые они работали вместе, как $d$.

3. За $d$ дней совместной работы дочь соткала $3d$ аршин, а мать — $5d$ аршин.

4. Общее количество ткани, которое соткала дочь за всё время, равно $12 + 3d$ аршин. Мать за всё время соткала $5d$ аршин.

5. Они прекратили работу, когда количество сотканной ими ткани стало равным. Составим уравнение:
$12 + 3d = 5d$

6. Решим уравнение, чтобы найти количество дней совместной работы:
$12 = 5d - 3d$
$12 = 2d$
$d = 6$

7. Они работали вместе 6 дней. Вопрос задачи — "Сколько аршин они соткали вдвоём?". Это можно понять как общее количество ткани, произведенное их совместными усилиями к моменту остановки работы.
Мать соткала: $5 \text{ аршин/день} \times 6 \text{ дней} = 30 \text{ аршин}$.
Дочь к этому моменту соткала столько же: $12 + 3 \times 6 = 12 + 18 = 30 \text{ аршин}$.
Общее количество сотканной ткани равно сумме их результатов: $30 + 30 = 60 \text{ аршин}$.

Ответ: Вдвоём они соткали 60 аршин.

в)

1. В условии этой задачи, скорее всего, есть опечатка. Если прочитать условие буквально, то оно приводит к противоречию. Пусть $N$ — количество орехов, которое получил каждый из 28 учеников.
У 4 учеников, съевших по 12 орехов, осталось $4 \times (N - 12)$ орехов.
У остальных 24 учеников было $24 \times N$ орехов.
Уравнение $4(N - 12) = 24N$ не имеет положительных решений, что физически невозможно.

2. Более вероятная и известная формулировка этой задачи звучит так: "Четверо из них съели по 12 орехов, и тогда у всех 28 учеников вместе осталось столько орехов, сколько было роздано остальным 24 ученикам". Решим задачу в этой формулировке.

3. Пусть $N$ — количество орехов, которое изначально дали каждому ученику.

4. Всего учеников 28. Общее количество выданных орехов составляет $28N$.

5. Четыре ученика съели по 12 орехов, то есть всего было съедено $4 \times 12 = 48$ орехов.

6. Общее количество орехов, которое осталось у всех учеников после этого, равно $28N - 48$.

7. Количество орехов, которое было роздано остальным 24 ученикам, равно $24N$.

8. Согласно исправленному условию, приравняем эти два значения:
$28N - 48 = 24N$

9. Решим полученное уравнение:
$28N - 24N = 48$
$4N = 48$
$N = 48 / 4$
$N = 12$

Ответ: Каждому ученику дали 12 орехов.