Страница 258 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

1030. Какой смысл имеет дробь $\frac{a}{b}$, если:

а) $a$ - расстояние, $b$ - время движения;

б) $a$ - расстояние, $b$ - скорость?

a) В данном случае дробь $\frac{a}{b}$ имеет числитель $a$, который обозначает расстояние, и знаменатель $b$, который обозначает время движения. В физике отношение пройденного пути ко времени, за которое этот путь был пройден, определяет скорость объекта.
Основная формула для равномерного прямолинейного движения связывает расстояние ($s$), скорость ($v$) и время ($t$) следующим образом: $s = v \cdot t$
Чтобы найти скорость, нужно расстояние разделить на время: $v = \frac{s}{t}$
Если мы заменим $s$ на $a$ и $t$ на $b$, то получим:
скорость = $\frac{a}{b}$
Следовательно, данная дробь имеет физический смысл скорости движения.
Ответ: Скорость движения.

б) В этом случае числитель дроби $a$ по-прежнему обозначает расстояние, но знаменатель $b$ теперь представляет собой скорость движения. Нам нужно определить смысл дроби $\frac{a}{b}$.
Вновь обратимся к основной формуле движения: $s = v \cdot t$
где $s$ — расстояние, $v$ — скорость, $t$ — время.
Чтобы найти время, необходимое для преодоления расстояния $s$ со скоростью $v$, нужно расстояние разделить на скорость: $t = \frac{s}{v}$
Подставив в эту формулу наши переменные ($a$ вместо $s$ и $b$ вместо $v$), получаем:
время = $\frac{a}{b}$
Таким образом, данная дробь представляет собой время движения.
Ответ: Время движения.

1031. Пешеход прошёл расстояние $s$ км со скоростью $v$ км/ч. Сколько это заняло времени в часах; в минутах?

Для решения этой задачи воспользуемся основной физической формулой, которая связывает расстояние, скорость и время: $s = v \cdot t$. В этой формуле $s$ — это пройденное расстояние, $v$ — скорость движения, а $t$ — время, затраченное на путь.

Чтобы найти время $t$, необходимо выразить его из этой формулы. Для этого мы разделим расстояние $s$ на скорость $v$:

$t = \frac{s}{v}$

в часах

Согласно условию, расстояние $s$ измеряется в километрах (км), а скорость $v$ — в километрах в час (км/ч). Когда мы делим расстояние в км на скорость в км/ч, единицы измерения ($ \frac{\text{км}}{\text{км/ч}} $) сокращаются, и в результате мы получаем время в часах (ч). Следовательно, выведенная нами формула $t = \frac{s}{v}$ сразу даёт ответ в часах.

Ответ: $\frac{s}{v}$ часов.

в минутах

Теперь найдём, сколько времени это займёт в минутах. Мы знаем, что в одном часе содержится 60 минут. Чтобы перевести время из часов в минуты, нужно полученное нами значение времени в часах умножить на 60.

Время в минутах = (Время в часах) $ \cdot 60 $.

Подставим в это соотношение найденное ранее выражение для времени в часах:

Время в минутах = $ \frac{s}{v} \cdot 60 = \frac{60s}{v} $.

Таким образом, пешеход затратит на путь $\frac{60s}{v}$ минут.

Ответ: $\frac{60s}{v}$ минут.

1032. Два пешехода вышли из двух пунктов одновременно навстречу друг другу со скоростями 4 км/ч и 5 км/ч. Через сколько часов они встретятся, если расстояние между пунктами равно $s$ км?

Для решения этой задачи необходимо найти скорость сближения пешеходов. Поскольку они движутся навстречу друг другу, их скорости складываются. Затем, зная общее расстояние и скорость сближения, можно найти время до встречи.

Пусть $v_1$ — скорость первого пешехода, а $v_2$ — скорость второго пешехода.
$v_1 = 4$ км/ч
$v_2 = 5$ км/ч
Расстояние между пунктами равно $s$ км.

1. Находим скорость сближения ($v_{сбл}$). Она равна сумме скоростей пешеходов:
$v_{сбл} = v_1 + v_2 = 4 \text{ км/ч} + 5 \text{ км/ч} = 9 \text{ км/ч}$
Это означает, что за каждый час расстояние между пешеходами сокращается на 9 км.

2. Находим время до встречи ($t$). Для этого нужно разделить общее расстояние ($s$) на скорость сближения ($v_{сбл}$):
$t = \frac{s}{v_{сбл}}$
Подставляем значение скорости сближения:
$t = \frac{s}{9}$

Ответ: пешеходы встретятся через $\frac{s}{9}$ часов.

1033. Два пешехода отправляются одновременно из одного пункта в противоположных направлениях. Их скорости $x$ км/ч и $y$ км/ч.

а) Какое расстояние будет между пешеходами через 2 ч?

б) Через сколько часов расстояние между пешеходами будет $s$ км?

Два пешехода движутся из одного пункта в противоположных направлениях. Это означает, что расстояние между ними увеличивается. Скорость, с которой они удаляются друг от друга, называется скоростью удаления. Она равна сумме скоростей пешеходов.

Скорость первого пешехода: $v_1 = x$ км/ч.
Скорость второго пешехода: $v_2 = y$ км/ч.
Скорость удаления: $v_{уд} = v_1 + v_2 = (x + y)$ км/ч.

а) Какое расстояние будет между пешеходами через 2 ч?

Чтобы найти расстояние, нужно скорость умножить на время. В данном случае мы используем скорость удаления и заданное время $t = 2$ ч.

Расстояние $S$ вычисляется по формуле: $S = v_{уд} \cdot t$.
Подставляем наши значения:
$S = (x + y) \cdot 2 = 2(x + y)$ км.

Ответ: расстояние между пешеходами через 2 часа будет $2(x+y)$ км.

б) Через сколько часов расстояние между пешеходами будет s км?

В этом случае нам известно расстояние $S = s$ км и скорость удаления $v_{уд} = (x+y)$ км/ч. Нам нужно найти время $t$.

Из формулы расстояния $S = v_{уд} \cdot t$ выразим время: $t = \frac{S}{v_{уд}}$.
Подставим известные значения:
$t = \frac{s}{x + y}$ ч.

Ответ: расстояние между пешеходами будет $s$ км через $\frac{s}{x+y}$ часов.

1034. Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу из двух пунктов, удалённых на расстояние $s$ км. Скорости пешеходов $x$ км/ч и $y$ км/ч. Через сколько часов они встретятся?

Для решения этой задачи используется понятие скорости сближения. Поскольку пешеходы движутся навстречу друг другу, их скорости складываются.

Введем обозначения:

$s$ — начальное расстояние между пешеходами в км.

$x$ — скорость первого пешехода в км/ч.

$y$ — скорость второго пешехода в км/ч.

$t$ — время, через которое они встретятся, в часах.

Скорость сближения $v_{сбл}$ равна сумме скоростей пешеходов:

$v_{сбл} = x + y$ (км/ч)

Время до встречи можно найти, разделив начальное расстояние на скорость сближения. Общая формула времени: $t = \frac{S}{v}$.

Подставим в эту формулу наши данные:

$t = \frac{s}{v_{сбл}} = \frac{s}{x + y}$

Ответ: через $\frac{s}{x+y}$ часов.

1035. Два поезда одновременно вышли из одного пункта в противоположных направлениях, и через 2 ч расстояние между ними было $s$ км. Скорость одного поезда $v$ км/ч. Определите скорость другого.

Для решения задачи введем следующие обозначения:
$v_1$ – скорость первого поезда, по условию $v_1 = v$ км/ч.
$v_2$ – искомая скорость второго поезда в км/ч.
$t$ – время движения, по условию $t = 2$ ч.
$s$ – расстояние между поездами через 2 часа.

За время $t$ первый поезд проедет расстояние $s_1 = v_1 \times t$. Подставив известные значения, получим:
$s_1 = v \times 2 = 2v$ км.

За то же время $t$ второй поезд проедет расстояние $s_2 = v_2 \times t$. Подставив известное время, получим:
$s_2 = v_2 \times 2 = 2v_2$ км.

Так как поезда вышли из одного пункта и двигались в противоположных направлениях, общее расстояние $s$ между ними равно сумме расстояний, пройденных каждым поездом. Это можно выразить формулой:
$s = s_1 + s_2$

Подставим в это уравнение выражения для $s_1$ и $s_2$:
$s = 2v + 2v_2$

Теперь выразим из полученного уравнения неизвестную скорость $v_2$. Для этого сначала найдем, чему равно слагаемое $2v_2$, вычтя $2v$ из обеих частей уравнения:
$2v_2 = s - 2v$

Чтобы найти $v_2$, разделим обе части равенства на 2:
$v_2 = \frac{s - 2v}{2}$

Эту дробь можно также представить в виде разности, разделив каждый член числителя на знаменатель:
$v_2 = \frac{s}{2} - \frac{2v}{2} = \frac{s}{2} - v$

Ответ: Скорость второго поезда равна $(\frac{s}{2} - v)$ км/ч или, что то же самое, $\frac{s - 2v}{2}$ км/ч.

1036. Два поезда одновременно вышли из одного пункта в одном направлении и через 3 ч расстояние между ними было $s$ км. Скорость одного поезда $v$ км/ч. Определите скорость другого, если известно, что она:

а) больше $v$;

б) меньше $v$.

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $v$ (км/ч) — скорость первого поезда.
• $v_2$ (км/ч) — искомая скорость второго поезда.
• $t = 3$ ч — время движения.
• $s$ (км) — расстояние между поездами через 3 часа.

Поскольку поезда вышли одновременно из одного пункта и движутся в одном направлении, расстояние между ними возникает из-за разницы в их скоростях. Расстояние $s$ можно найти по формуле $s = v_{отн} \times t$, где $v_{отн}$ — это относительная скорость поездов (модуль разности их скоростей).

а) больше v;
В этом случае скорость второго поезда $v_2$ больше скорости первого поезда $v$, то есть $v_2 > v$. Это означает, что второй поезд обгоняет первый. Относительная скорость (скорость удаления) поездов равна разности их скоростей: $v_{отн} = v_2 - v$.
Расстояние $s$ между поездами через 3 часа можно выразить формулой:
$s = (v_2 - v) \times 3$
Чтобы найти скорость второго поезда $v_2$, выразим ее из этой формулы. Сначала найдем разность скоростей, разделив обе части уравнения на 3:
$v_2 - v = \frac{s}{3}$
Теперь найдем $v_2$, прибавив $v$ к обеим частям:
$v_2 = v + \frac{s}{3}$
Ответ: скорость второго поезда равна $v + \frac{s}{3}$ км/ч.

б) меньше v.
В этом случае скорость второго поезда $v_2$ меньше скорости первого поезда $v$, то есть $v_2 < v$. Это означает, что первый поезд обгоняет второй. Относительная скорость поездов равна разности их скоростей: $v_{отн} = v - v_2$.
Расстояние $s$ между поездами через 3 часа вычисляется аналогично:
$s = (v - v_2) \times 3$
Выразим из этой формулы искомую скорость $v_2$. Сначала найдем разность скоростей:
$v - v_2 = \frac{s}{3}$
Теперь выразим $v_2$:
$v_2 = v - \frac{s}{3}$
Ответ: скорость второго поезда равна $v - \frac{s}{3}$ км/ч.

1037. Задача Ариабхаты (V–VI вв.). Два светила находятся на данном расстоянии $d$ друг от друга, движутся одно к другому с данными скоростями $x$ и $y$. Определите точку их встречи (т. е. расстояние от места встречи до первоначального положения светил).

Для решения этой задачи необходимо найти время, через которое светила встретятся, и затем, зная это время, вычислить расстояния, которые они пройдут от своих первоначальных положений.

Пусть $d$ — это начальное расстояние между двумя светилами. Пусть первое светило движется со скоростью $x$, а второе — со скоростью $y$.

Поскольку светила движутся навстречу друг другу, их относительная скорость сближения равна сумме их скоростей: $v_{сбл} = x + y$.

Время $t$, через которое светила встретятся, можно найти, разделив первоначальное расстояние на скорость сближения: $t = \frac{d}{x + y}$

Теперь мы можем определить, какое расстояние пройдёт каждое светило за это время $t$. Это и будет расстоянием от точки встречи до первоначального положения каждого из светил.

Расстояние $d_1$, пройденное первым светилом (со скоростью $x$): $d_1 = x \cdot t = x \cdot \frac{d}{x + y} = \frac{dx}{x + y}$

Расстояние $d_2$, пройденное вторым светилом (со скоростью $y$): $d_2 = y \cdot t = y \cdot \frac{d}{x + y} = \frac{dy}{x + y}$

Проверка: сумма этих расстояний должна быть равна начальному расстоянию $d$. $d_1 + d_2 = \frac{dx}{x + y} + \frac{dy}{x + y} = \frac{dx + dy}{x + y} = \frac{d(x + y)}{x + y} = d$. Равенство выполняется, что подтверждает корректность решения.

Ответ: Точка встречи находится на расстоянии $\frac{dx}{x+y}$ от первоначального положения первого светила и на расстоянии $\frac{dy}{x+y}$ от первоначального положения второго светила.

1038. Скорость катера по течению реки $x$ км/ч, против течения — $y$ км/ч. Какова скорость течения реки и собственная скорость катера?

Для решения этой задачи введем следующие обозначения:

• $v_{с}$ – собственная скорость катера (скорость в стоячей воде), км/ч.
• $v_{т}$ – скорость течения реки, км/ч.

Скорость катера по течению реки складывается из его собственной скорости и скорости течения. По условию задачи, эта скорость равна $x$ км/ч. Составим первое уравнение:

$v_{с} + v_{т} = x$

Скорость катера против течения реки равна разности его собственной скорости и скорости течения. По условию, эта скорость равна $y$ км/ч. Составим второе уравнение:

$v_{с} - v_{т} = y$

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$ \begin{cases} v_{с} + v_{т} = x \\ v_{с} - v_{т} = y \end{cases} $

Теперь решим эту систему, чтобы выразить $v_{с}$ и $v_{т}$ через $x$ и $y$.

Скорость течения реки

Чтобы найти скорость течения реки ($v_{т}$), вычтем второе уравнение из первого:

$(v_{с} + v_{т}) - (v_{с} - v_{т}) = x - y$

Раскроем скобки:

$v_{с} + v_{т} - v_{с} + v_{т} = x - y$

Приведем подобные слагаемые:

$2v_{т} = x - y$

Отсюда выразим $v_{т}$:

$v_{т} = \frac{x - y}{2}$

Ответ: скорость течения реки равна $\frac{x - y}{2}$ км/ч.

Собственная скорость катера

Чтобы найти собственную скорость катера ($v_{с}$), сложим первое и второе уравнения системы:

$(v_{с} + v_{т}) + (v_{с} - v_{т}) = x + y$

Раскроем скобки:

$v_{с} + v_{т} + v_{с} - v_{т} = x + y$

Приведем подобные слагаемые:

$2v_{с} = x + y$

Отсюда выразим $v_{с}$:

$v_{с} = \frac{x + y}{2}$

Ответ: собственная скорость катера равна $\frac{x + y}{2}$ км/ч.

1039. Доказываем. Докажите, что сумма скорости катера по течению реки и его скорости против течения есть удвоенная собственная скорость катера.

Для доказательства введем следующие обозначения:
$v_{с}$ — собственная скорость катера (то есть его скорость в стоячей воде);
$v_{т}$ — скорость течения реки.

Когда катер движется по течению, его скорость относительно берега равна сумме его собственной скорости и скорости течения, так как течение помогает движению. Запишем это в виде формулы:
Скорость по течению = $v_{с} + v_{т}$

Когда катер движется против течения, его скорость относительно берега равна разности его собственной скорости и скорости течения, так как течение замедляет движение. Формула для этого случая:
Скорость против течения = $v_{с} - v_{т}$

Теперь, согласно условию задачи, нам необходимо найти сумму скорости катера по течению и его скорости против течения. Сложим полученные выражения:
Сумма скоростей = (Скорость по течению) + (Скорость против течения) = $(v_{с} + v_{т}) + (v_{с} - v_{т})$

Раскроем скобки и упростим выражение, сгруппировав подобные слагаемые:
$(v_{с} + v_{т}) + (v_{с} - v_{т}) = v_{с} + v_{т} + v_{с} - v_{т} = (v_{с} + v_{с}) + (v_{т} - v_{т})$

Выполним вычисления:
$(v_{с} + v_{с}) + (v_{т} - v_{т}) = 2v_{с} + 0 = 2v_{с}$

Таким образом, мы получили, что сумма скорости катера по течению и его скорости против течения равна $2v_{с}$, что представляет собой удвоенную собственную скорость катера. Утверждение доказано.

Ответ: Доказано, что сумма скорости катера по течению $(v_{с} + v_{т})$ и его скорости против течения $(v_{с} - v_{т})$ равна их сумме $(v_{с} + v_{т}) + (v_{с} - v_{т}) = 2v_{с}$, что является удвоенной собственной скоростью катера.

1040. Катер прошёл $s$ км по течению реки за $x$ ч, а против течения — за $y$ ч. Какова скорость течения реки?

Для решения этой задачи введем следующие обозначения:

• $v_{к}$ — собственная скорость катера (скорость в стоячей воде), км/ч.
• $v_{т}$ — скорость течения реки, км/ч.
• $s$ — пройденное расстояние, равное $s$ км.
• $x$ — время движения по течению, равное $x$ ч.
• $y$ — время движения против течения, равное $y$ ч.

Скорость катера при движении по течению реки равна сумме его собственной скорости и скорости течения: $v_{по~течению} = v_{к} + v_{т}$.

Из условия задачи мы знаем, что катер прошел расстояние $s$ за время $x$. Используя основную формулу скорости $v = \frac{S}{t}$, можем выразить скорость по течению:

$v_{по~течению} = \frac{s}{x}$

Таким образом, мы получаем первое уравнение: $v_{к} + v_{т} = \frac{s}{x}$

Аналогично, скорость катера при движении против течения реки равна разности его собственной скорости и скорости течения: $v_{против~течения} = v_{к} - v_{т}$.

Это же расстояние $s$ против течения катер прошел за время $y$. Следовательно, его скорость против течения равна:

$v_{против~течения} = \frac{s}{y}$

Отсюда получаем второе уравнение: $v_{к} - v_{т} = \frac{s}{y}$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными ($v_{к}$ и $v_{т}$):

$\begin{cases} v_{к} + v_{т} = \frac{s}{x} \\ v_{к} - v_{т} = \frac{s}{y} \end{cases}$

Цель задачи — найти скорость течения реки, то есть $v_{т}$. Для этого удобно вычесть второе уравнение из первого. Эта операция позволит исключить неизвестную $v_{к}$:

$(v_{к} + v_{т}) - (v_{к} - v_{т}) = \frac{s}{x} - \frac{s}{y}$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$v_{к} + v_{т} - v_{к} + v_{т} = \frac{s}{x} - \frac{s}{y}$

После упрощения левой части получаем:

$2v_{т} = \frac{s}{x} - \frac{s}{y}$

Чтобы продолжить, приведем дроби в правой части к общему знаменателю, который равен $xy$:

$2v_{т} = \frac{s \cdot y}{xy} - \frac{s \cdot x}{xy}$

$2v_{т} = \frac{sy - sx}{xy}$

Вынесем общий множитель $s$ в числителе за скобки:

$2v_{т} = \frac{s(y - x)}{xy}$

Наконец, чтобы найти искомую скорость течения $v_{т}$, разделим обе части уравнения на 2:

$v_{т} = \frac{s(y - x)}{2xy}$

Поскольку движение против течения всегда занимает больше времени, чем по течению (при одинаковом расстоянии), то $y > x$, что обеспечивает положительное значение для скорости течения.

Ответ: $\frac{s(y-x)}{2xy}$ км/ч.