Страница 261 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

1062. Торговец купил товар за $a$ р., продал его дороже — за $b$ р. Какова прибыль торговца в процентах, если:

а) $a = 8, b = 10;$

б) $a = 6, b = 7,2?$

Чтобы найти прибыль торговца в процентах, необходимо сначала вычислить разницу между ценой продажи ($b$) и ценой покупки ($a$). Эта разница является абсолютной прибылью. Затем, чтобы выразить эту прибыль в процентах, нужно разделить абсолютную прибыль на первоначальную цену покупки ($a$) и умножить результат на 100%.

Общая формула для расчета прибыли в процентах ($P$):

$P = \frac{b - a}{a} \times 100\%$

а)

Дано: цена покупки $a = 8$ р., цена продажи $b = 10$ р.

1. Находим абсолютную прибыль в рублях:

Прибыль = $b - a = 10 - 8 = 2$ р.

2. Находим прибыль в процентах. Для этого делим абсолютную прибыль на цену покупки и умножаем на 100%:

$P = \frac{2}{8} \times 100\% = 0,25 \times 100\% = 25\%$

Ответ: 25%

б)

Дано: цена покупки $a = 6$ р., цена продажи $b = 7,2$ р.

1. Находим абсолютную прибыль в рублях:

Прибыль = $b - a = 7,2 - 6 = 1,2$ р.

2. Находим прибыль в процентах:

$P = \frac{1,2}{6} \times 100\% = 0,2 \times 100\% = 20\%$

Ответ: 20%

1063. Торговец купил товар за $a$ р., продал его дешевле — за $b$ р.

Каков убыток торговца в процентах, если:

а) $a = 8$, $b = 7$;

б) $a = 6$, $b = 5,1$?

Для того чтобы найти убыток в процентах, необходимо сначала вычислить абсолютный убыток (разницу между ценой покупки и ценой продажи), а затем разделить его на первоначальную цену покупки и умножить на 100%. Первоначальная цена покупки ($a$) принимается за 100%.

Формула для расчета процентного убытка: $Процентный\ убыток = \frac{a - b}{a} \times 100\%$

а)

Дано: цена покупки $a = 8$ р., цена продажи $b = 7$ р.

1. Найдем абсолютный убыток в рублях:
$Убыток = a - b = 8 - 7 = 1$ р.

2. Рассчитаем убыток в процентах. Для этого разделим абсолютный убыток на цену покупки и умножим на 100%:
$Процентный\ убыток = \frac{1}{8} \times 100\% = 0,125 \times 100\% = 12,5\%$

Ответ: 12,5%

б)

Дано: цена покупки $a = 6$ р., цена продажи $b = 5,1$ р.

1. Найдем абсолютный убыток в рублях:
$Убыток = a - b = 6 - 5,1 = 0,9$ р.

2. Рассчитаем убыток в процентах:
$Процентный\ убыток = \frac{0,9}{6} \times 100\% = 0,15 \times 100\% = 15\%$

Ответ: 15%

1064. Банк начисляет $p$% на вложенную сумму ежемесячно.

На сколько процентов увеличится сумма за год? Ответ округлите до целых с недостатком, если:

a) $p = 4$;

б) $p = 5$.

Пусть начальная сумма вклада равна $S$. Банк ежемесячно начисляет $p\%$ на текущую сумму на счете, что является примером начисления сложных процентов. Это означает, что каждый месяц сумма на счете увеличивается в $\left(1 + \frac{p}{100}\right)$ раз.

Поскольку в году 12 месяцев, итоговая сумма на счете через год, обозначим ее $S_{12}$, будет рассчитана по формуле сложных процентов: $S_{12} = S \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^{12}$

Чтобы найти, на сколько процентов увеличилась начальная сумма, нужно вычислить процентное изменение: $\text{Процентное увеличение} = \frac{S_{12} - S}{S} \cdot 100\%$ Подставив выражение для $S_{12}$, получим общую формулу: $\text{Процентное увеличение} = \frac{S \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^{12} - S}{S} \cdot 100\% = \left(\left(1 + \frac{p}{100}\right)^{12} - 1\right) \cdot 100\%$

Теперь применим эту формулу для каждого из заданных условий.

a)

При ежемесячном начислении $p = 4\%$, годовое увеличение составит: $\left(\left(1 + \frac{4}{100}\right)^{12} - 1\right) \cdot 100\% = \left((1.04)^{12} - 1\right) \cdot 100\%$ Вычислим значение $(1.04)^{12}$: $(1.04)^{12} \approx 1.601032218$ Теперь найдем процентное увеличение: $(1.601032218 - 1) \cdot 100\% = 0.601032218 \cdot 100\% = 60.1032218\%$ Согласно условию, ответ необходимо округлить до целых с недостатком, то есть отбросить дробную часть. $\lfloor 60.1032218 \rfloor = 60$. Таким образом, за год сумма увеличится на 60%.

Ответ: 60%.

б)

При ежемесячном начислении $p = 5\%$, годовое увеличение составит: $\left(\left(1 + \frac{5}{100}\right)^{12} - 1\right) \cdot 100\% = \left((1.05)^{12} - 1\right) \cdot 100\%$ Вычислим значение $(1.05)^{12}$: $(1.05)^{12} \approx 1.795856326$ Теперь найдем процентное увеличение: $(1.795856326 - 1) \cdot 100\% = 0.795856326 \cdot 100\% = 79.5856326\%$ Округляем результат до целых с недостатком: $\lfloor 79.5856326 \rfloor = 79$. Таким образом, за год сумма увеличится на 79%.

Ответ: 79%.

1065. На сколько процентов число $b$ меньше числа $a$, если:

а) $a = 50$, $b = 40$;

б) $a = 80$, $b = 40$?

а)

Чтобы определить, на сколько процентов число $b$ меньше числа $a$, необходимо найти их разность ($a - b$), разделить эту разность на число $a$ (так как число $a$ является базой для сравнения, то есть принимается за 100%) и затем умножить результат на 100%.

Общая формула для расчёта выглядит так: $\frac{a-b}{a} \cdot 100\%$.

Подставим в формулу заданные значения: $a = 50$ и $b = 40$.

1. Находим разность между числами $a$ и $b$: $50 - 40 = 10$.

2. Находим, какую часть разность составляет от числа $a$, и выражаем в процентах: $\frac{10}{50} \cdot 100\% = 0,2 \cdot 100\% = 20\%$.

Следовательно, число 40 меньше числа 50 на 20%.

Ответ: на 20%.

б)

Используем тот же подход для значений $a = 80$ и $b = 40$.

1. Находим разность между числами $a$ и $b$: $80 - 40 = 40$.

2. Находим, какую часть разность составляет от числа $a$, и выражаем в процентах: $\frac{40}{80} \cdot 100\% = 0,5 \cdot 100\% = 50\%$.

Следовательно, число 40 меньше числа 80 на 50%.

Ответ: на 50%.

1066. Число увеличили на $p\%$. Во сколько раз увеличили число, если:

а) $p = 50$;

б) $p = 100$?

Чтобы определить, во сколько раз увеличили число, нужно найти отношение нового числа к исходному. Увеличение числа на $p\%$ означает, что новое число составляет $(100 + p)\%$ от исходного.

Пусть исходное число равно $A$. После увеличения на $p\%$ новое число $B$ станет равным:

$B = A + \frac{p}{100} \cdot A = A \cdot (1 + \frac{p}{100})$

Отношение нового числа к исходному равно:

$\frac{B}{A} = 1 + \frac{p}{100}$

Это и есть искомый коэффициент увеличения.

а)
В данном случае $p = 50$. Подставим это значение в формулу, чтобы найти, во сколько раз увеличили число:
$1 + \frac{50}{100} = 1 + 0.5 = 1.5$
Таким образом, если число увеличить на 50%, оно увеличится в 1,5 раза.
Ответ: в 1,5 раза.

б)
В данном случае $p = 100$. Подставим это значение в формулу:
$1 + \frac{100}{100} = 1 + 1 = 2$
Таким образом, если число увеличить на 100% (то есть вдвое), оно увеличится в 2 раза.
Ответ: в 2 раза.

1067. Число увеличили в $n$ раз. На сколько процентов увеличили число, если:

а) $n = 1,3$;

б) $n = 3$?

Чтобы найти, на сколько процентов увеличилось число, нужно определить, какую часть от исходного числа составляет само увеличение. Если исходное число принять за 100%, то увеличение в $n$ раз означает, что новое число составит $n \times 100\%$ от исходного. Процентное увеличение будет разницей между новым и исходным процентом.

Общая формула для нахождения процентного увеличения: $(n - 1) \times 100\%$, где $n$ — это множитель, показывающий, во сколько раз увеличили число.

а)

В данном случае число увеличили в $n = 1,3$ раза.

Примем исходное число за 100%.

Новое число составит $1,3 \times 100\% = 130\%$ от исходного.

Чтобы найти, на сколько процентов увеличилось число, вычтем из процентного значения нового числа процентное значение исходного:

$130\% - 100\% = 30\%$

Таким образом, число увеличили на 30%.

Используя общую формулу:

$(1,3 - 1) \times 100\% = 0,3 \times 100\% = 30\%$

Ответ: на 30%.

б)

В данном случае число увеличили в $n = 3$ раза.

Примем исходное число за 100%.

Новое число составит $3 \times 100\% = 300\%$ от исходного.

Чтобы найти, на сколько процентов увеличилось число, вычтем из процентного значения нового числа процентное значение исходного:

$300\% - 100\% = 200\%$

Таким образом, число увеличили на 200%.

Используя общую формулу:

$(3 - 1) \times 100\% = 2 \times 100\% = 200\%$

Ответ: на 200%.

1068. Через первую трубу бассейн наполняется за $a$ часов, через вторую трубу — за $b$ часов, через обе трубы — за $x$ часов.

а) Какое равенство связывает $a$, $b$ и $x$?

б) Выразите $x$ через $a$ и $b$.

в) Выразите $a$ через $x$ и $b$.

а) Чтобы найти равенство, связывающее переменные $a$, $b$ и $x$, введем понятие производительности (скорости) наполнения бассейна. Примем весь объем бассейна за 1 условную единицу.
Производительность первой трубы, то есть часть бассейна, которую она наполняет за 1 час, равна $P_1 = \frac{1}{a}$.
Аналогично, производительность второй трубы равна $P_2 = \frac{1}{b}$.
Когда обе трубы работают вместе, их производительности складываются. Совместная производительность двух труб равна $P_{1+2} = P_1 + P_2 = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$.
С другой стороны, по условию задачи, обе трубы вместе наполняют бассейн за $x$ часов. Следовательно, их совместная производительность также равна $\frac{1}{x}$.
Приравнивая два выражения для совместной производительности, получаем искомое равенство.
Ответ: $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{x}$

б) Чтобы выразить $x$ через $a$ и $b$, воспользуемся равенством, полученным в пункте а):
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{x}$
Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $ab$:
$\frac{b}{ab} + \frac{a}{ab} = \frac{1}{x}$
$\frac{a+b}{ab} = \frac{1}{x}$
Теперь, чтобы найти $x$, воспользуемся свойством пропорции (или, что то же самое, "перевернем" дроби в обеих частях уравнения).
Ответ: $x = \frac{ab}{a+b}$

в) Чтобы выразить $a$ через $x$ и $b$, снова используем исходное равенство:
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{x}$
Для того чтобы выразить $a$, сначала изолируем слагаемое $\frac{1}{a}$. Для этого перенесем $\frac{1}{b}$ в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:
$\frac{1}{a} = \frac{1}{x} - \frac{1}{b}$
Приведем дроби в правой части к общему знаменателю $xb$:
$\frac{1}{a} = \frac{b}{xb} - \frac{x}{xb}$
$\frac{1}{a} = \frac{b-x}{xb}$
Наконец, чтобы найти $a$, "перевернем" дроби в обеих частях уравнения.
Ответ: $a = \frac{xb}{b-x}$

1069. Через первую трубу бассейн наполняется за $a$ часов, через вторую трубу — за $b$ часов, через третью трубу — за $c$ часов. За сколько часов бассейн наполнится через три трубы при их совместной работе?

Для решения задачи воспользуемся понятием производительности (скорости выполнения работы). Примем весь объем бассейна за 1 условную единицу.

Производительность первой трубы (часть бассейна, наполняемая за 1 час) составляет $V_1 = \frac{1}{a}$.
Производительность второй трубы составляет $V_2 = \frac{1}{b}$.
Производительность третьей трубы составляет $V_3 = \frac{1}{c}$.

При совместной работе трех труб их производительности складываются. Общая производительность $V_{общ}$ будет равна сумме производительностей каждой трубы:$V_{общ} = V_1 + V_2 + V_3 = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$

Приведем дроби к общему знаменателю $abc$:$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{bc}{abc} + \frac{ac}{abc} + \frac{ab}{abc} = \frac{ab+ac+bc}{abc}$

Таким образом, общая производительность трех труб равна $\frac{ab+ac+bc}{abc}$ бассейна в час.

Время $t$, необходимое для наполнения всего бассейна (объем 1) при совместной работе, можно найти, разделив объем на общую производительность:$t = \frac{1}{V_{общ}} = \frac{1}{\frac{ab+ac+bc}{abc}} = \frac{abc}{ab+ac+bc}$

Ответ: $\frac{abc}{ab+ac+bc}$ часов.

1070. Бак наполняют три трубы: через первую трубу — за $a$ часов, через вторую трубу — за $b$ часов, а через все три трубы — за $x$ часов. За сколько часов бак наполнится через третью трубу?

Для решения этой задачи используется понятие производительности (скорости выполнения работы). В данном случае работа — это наполнение одного бака, а производительность — это доля бака, наполняемая за один час.

1. Определим производительность каждой трубы и их совместную производительность.

Примем объем всего бака за 1.

• Первая труба наполняет бак за $a$ часов, следовательно, ее производительность $P_1 = \frac{1}{a}$ бака/час.
• Вторая труба наполняет бак за $b$ часов, ее производительность $P_2 = \frac{1}{b}$ бака/час.
• Три трубы вместе наполняют бак за $x$ часов, их общая производительность $P_{общ} = \frac{1}{x}$ бака/час.

2. Найдем производительность третьей трубы.

Пусть третья труба в одиночку наполняет бак за $t$ часов. Тогда ее производительность $P_3 = \frac{1}{t}$ бака/час.

Общая производительность трех труб равна сумме их производительностей:

$P_{общ} = P_1 + P_2 + P_3$

Подставим известные значения в формулу:

$\frac{1}{x} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{t}$

3. Выразим время $t$ из полученного уравнения.

Сначала выразим производительность третьей трубы $\frac{1}{t}$:

$\frac{1}{t} = \frac{1}{x} - \frac{1}{a} - \frac{1}{b}$

Приведем дроби в правой части уравнения к общему знаменателю. Общий знаменатель для $x, a, b$ равен $abx$.

$\frac{1}{t} = \frac{ab}{abx} - \frac{bx}{abx} - \frac{ax}{abx}$

Объединим дроби в правой части:

$\frac{1}{t} = \frac{ab - bx - ax}{abx}$

Чтобы найти время $t$, нужно взять величину, обратную производительности (то есть, "перевернуть" дробь):

$t = \frac{abx}{ab - bx - ax}$

Это выражение определяет время в часах, за которое третья труба наполнит бак, работая в одиночку.

Ответ: $\frac{abx}{ab - bx - ax}$ часов.

1071. Старинная задача. А и Б вместе могут выполнить некоторую работу за $a$ дней, А и В — за $b$ дней, Б и В — за $c$ дней. За сколько дней А, Б и В порознь выполнили бы эту работу?

Для решения этой задачи введем понятие производительности — это объем работы, выполняемый за единицу времени (в данном случае, за один день). Примем всю работу, которую необходимо выполнить, за 1.

Пусть $P_А$, $P_Б$ и $P_В$ — производительности работников А, Б и В соответственно. То есть, это та часть работы, которую каждый из них выполняет за один день.

Если работник выполняет всю работу за $t$ дней, то его производительность равна $P = 1/t$. Следовательно, время, за которое работник выполнит работу в одиночку, равно $T = 1/P$. Наша цель — найти время $T_А$, $T_Б$ и $T_В$.

Согласно условию задачи, можно составить систему уравнений. Когда работники трудятся вместе, их производительности складываются:

1. А и Б вместе выполняют работу за $a$ дней, значит, их совместная производительность: $P_А + P_Б = \frac{1}{a}$

2. А и В вместе выполняют работу за $b$ дней, значит, их совместная производительность: $P_А + P_В = \frac{1}{b}$

3. Б и В вместе выполняют работу за $c$ дней, значит, их совместная производительность: $P_Б + P_В = \frac{1}{c}$

Сложим все три уравнения, чтобы найти удвоенную суммарную производительность всех троих:

$(P_А + P_Б) + (P_А + P_В) + (P_Б + P_В) = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$

$2P_А + 2P_Б + 2P_В = \frac{bc + ac + ab}{abc}$

$2(P_А + P_Б + P_В) = \frac{ab + ac + bc}{abc}$

Отсюда найдем суммарную производительность всех трех работников, работающих вместе:

$P_А + P_Б + P_В = \frac{ab + ac + bc}{2abc}$

Теперь, имея суммарную производительность, мы можем найти производительность каждого работника по отдельности, вычитая из нее производительность двух других.

А

Чтобы найти производительность работника А ($P_А$), вычтем из суммарной производительности ($P_А + P_Б + P_В$) совместную производительность работников Б и В ($P_Б + P_В$):

$P_А = (P_А + P_Б + P_В) - (P_Б + P_В) = \frac{ab + ac + bc}{2abc} - \frac{1}{c}$

Приведем к общему знаменателю:

$P_А = \frac{ab + ac + bc}{2abc} - \frac{2ab}{2abc} = \frac{ac + bc - ab}{2abc}$

Время $T_А$, за которое работник А выполнит всю работу один, равно $T_А = 1/P_А$.

Ответ: Работник А выполнит работу за $\frac{2abc}{ac + bc - ab}$ дней.

Б

Чтобы найти производительность работника Б ($P_Б$), вычтем из суммарной производительности совместную производительность работников А и В ($P_А + P_В$):

$P_Б = (P_А + P_Б + P_В) - (P_А + P_В) = \frac{ab + ac + bc}{2abc} - \frac{1}{b}$

Приведем к общему знаменателю:

$P_Б = \frac{ab + ac + bc}{2abc} - \frac{2ac}{2abc} = \frac{ab + bc - ac}{2abc}$

Время $T_Б$, за которое работник Б выполнит всю работу один, равно $T_Б = 1/P_Б$.

Ответ: Работник Б выполнит работу за $\frac{2abc}{ab + bc - ac}$ дней.

В

Чтобы найти производительность работника В ($P_В$), вычтем из суммарной производительности совместную производительность работников А и Б ($P_А + P_Б$):

$P_В = (P_А + P_Б + P_В) - (P_А + P_Б) = \frac{ab + ac + bc}{2abc} - \frac{1}{a}$

Приведем к общему знаменателю:

$P_В = \frac{ab + ac + bc}{2abc} - \frac{2bc}{2abc} = \frac{ab + ac - bc}{2abc}$

Время $T_В$, за которое работник В выполнит всю работу один, равно $T_В = 1/P_В$.

Ответ: Работник В выполнит работу за $\frac{2abc}{ab + ac - bc}$ дней.

1072. Рядовой Степанов почистил бак картошки за 4 ч, и у него 20% всей картошки ушло в очистки. За сколько часов он начистит такой же (по массе) бак картошки?

Для решения этой задачи необходимо определить, сколько времени потребуется рядовому Степанову, чтобы получить массу чищеной картошки, равную массе исходного бака.

Пусть $M$ — это масса картошки в одном баке. По условию, рядовой Степанов почистил этот бак за 4 часа. В процессе чистки 20% от общей массы ушло в отходы. Это означает, что масса полученной чищеной картошки составляет $100\% - 20\% = 80\%$ от исходной массы $M$.

Масса чищеной картошки, полученная за 4 часа, равна: $M_{чищ} = M \times \frac{80}{100} = 0.8M$.

Таким образом, мы знаем, что для получения $0.8M$ чищеной картошки требуется 4 часа работы. Задача состоит в том, чтобы найти время, необходимое для получения $M$ чищеной картошки. Предполагается, что производительность работы постоянна.

Мы можем составить пропорцию, чтобы найти неизвестное время $t$:

$\frac{4 \text{ часа}}{0.8M} = \frac{t \text{ часов}}{M}$

Из этой пропорции выразим $t$:

$t = \frac{4 \times M}{0.8M}$

Сократив $M$ в числителе и знаменателе, получим:

$t = \frac{4}{0.8} = \frac{40}{8} = 5$ часов.

Следовательно, чтобы начистить бак картошки такой же массы, что и исходный (то есть получить $M$ чищеной картошки), рядовому Степанову потребуется 5 часов.

Ответ: 5 часов.

1073. Рядовой Кузнецов начистил бак картошки за 4 ч, и у него 20% всей картошки ушло в очистки. За сколько часов он почистит такой же (по массе) бак картошки?

Согласно условию задачи, рядовой Кузнецов выполнил работу по чистке одного бака картошки за 4 часа. Эта работа включает в себя весь процесс: взятие нечищеной картошки и получение очищенной картошки и очистков.

Информация о том, что 20% картошки ушло в очистки, является характеристикой самой картошки или процесса чистки, но не влияет на время выполнения задачи, если условия остаются теми же. Если обозначить начальную массу картошки в баке как $M$, то масса очистков составляет $0.2 \times M$, а масса полученной чищеной картошки — $M - 0.2 \times M = 0.8 \times M$. Весь этот процесс занимает 4 часа.

Вопрос состоит в том, сколько времени потребуется, чтобы почистить «такой же (по массе) бак картошки». Это означает, что нужно выполнить ту же самую работу (почистить бак картошки) с тем же самым объемом исходного продукта (бак картошки той же массы $M$).

Поскольку условия работы и объем работы не изменились, а производительность труда рядового Кузнецова предполагается постоянной, время на выполнение этой работы останется прежним.

Таким образом, на чистку еще одного такого же бака картошки уйдет 4 часа.

Ответ: 4 часа.

1074. Рядовой Смирнов может почистить бак картошки за 3 ч, а начистит такой же (по массе) бак картошки за 4 ч. Сколько процентов картошки идёт у него в очистки?

Для решения этой задачи давайте определим, что означают действия «почистить» и «начистить» в контексте производительности труда. Мы можем предположить, что производительность рядового Смирнова, то есть скорость, с которой он обрабатывает килограммы неочищенной картошки, постоянна.

Введем следующие переменные:
Пусть $v$ — производительность Смирнова (в кг/ч неочищенной картошки).
Пусть $M$ — масса картошки в одном баке (в кг).
Пусть $k$ — коэффициент, показывающий, какую долю от исходной массы картошки составляют очистки. Это и есть искомая величина.
Тогда $(1-k)$ — это доля, которая остается в виде очищенной картошки.

Из первого условия: «рядовой Смирнов может почистить бак картошки за 3 ч». Это означает, что для обработки бака неочищенной картошки массой $M$ ему требуется 3 часа. Отсюда мы можем выразить его производительность:
$v = \frac{M}{3}$ (кг/ч)

Из второго условия: «начистить такой же (по массе) бак картошки за 4 ч». Это означает, что для получения $M$ кг очищенной картошки ему требуется 4 часа.
Чтобы получить $M$ кг очищенной картошки, ему нужно переработать большее количество неочищенной картошки. Обозначим эту массу неочищенной картошки как $M_{исходная}$.
Масса полученной очищенной картошки связана с исходной массой через коэффициент $(1-k)$:
$M = M_{исходная} \cdot (1-k)$
Следовательно, исходная масса, которую нужно было почистить, равна:
$M_{исходная} = \frac{M}{1-k}$

Время, затраченное на чистку этой исходной массы, равно отношению этой массы к производительности Смирнова:
$T = \frac{M_{исходная}}{v}$
Мы знаем, что $T = 4$ часа. Теперь подставим в это уравнение выражения для $M_{исходная}$ и $v$:
$4 = \frac{\frac{M}{1-k}}{\frac{M}{3}}$

Решим полученное уравнение, чтобы найти $k$:
$4 = \frac{M}{1-k} \cdot \frac{3}{M}$
Величина $M$ (масса бака) сокращается, что логично, так как ответ не должен от неё зависеть:
$4 = \frac{3}{1-k}$
Умножим обе части на $(1-k)$:
$4(1-k) = 3$
$4 - 4k = 3$
$4k = 4 - 3$
$4k = 1$
$k = \frac{1}{4}$

Мы нашли долю, которую составляют очистки. Чтобы выразить её в процентах, умножим на 100%:
$k_{\%} = \frac{1}{4} \cdot 100\% = 25\%$
Таким образом, 25% картошки уходит в очистки.

Ответ: 25%.