Номер 1071, страница 261 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Текстовые задачи. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 1071, страница 261.

Условие.

1071. Старинная задача. А и Б вместе могут выполнить некоторую работу за $a$ дней, А и В — за $b$ дней, Б и В — за $c$ дней. За сколько дней А, Б и В порознь выполнили бы эту работу?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Для решения этой задачи введем понятие производительности — это объем работы, выполняемый за единицу времени (в данном случае, за один день). Примем всю работу, которую необходимо выполнить, за 1.

Пусть $P_А$, $P_Б$ и $P_В$ — производительности работников А, Б и В соответственно. То есть, это та часть работы, которую каждый из них выполняет за один день.

Если работник выполняет всю работу за $t$ дней, то его производительность равна $P = 1/t$. Следовательно, время, за которое работник выполнит работу в одиночку, равно $T = 1/P$. Наша цель — найти время $T_А$, $T_Б$ и $T_В$.

Согласно условию задачи, можно составить систему уравнений. Когда работники трудятся вместе, их производительности складываются:

1. А и Б вместе выполняют работу за $a$ дней, значит, их совместная производительность: $P_А + P_Б = \frac{1}{a}$

2. А и В вместе выполняют работу за $b$ дней, значит, их совместная производительность: $P_А + P_В = \frac{1}{b}$

3. Б и В вместе выполняют работу за $c$ дней, значит, их совместная производительность: $P_Б + P_В = \frac{1}{c}$

Сложим все три уравнения, чтобы найти удвоенную суммарную производительность всех троих:

$(P_А + P_Б) + (P_А + P_В) + (P_Б + P_В) = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$

$2P_А + 2P_Б + 2P_В = \frac{bc + ac + ab}{abc}$

$2(P_А + P_Б + P_В) = \frac{ab + ac + bc}{abc}$

Отсюда найдем суммарную производительность всех трех работников, работающих вместе:

$P_А + P_Б + P_В = \frac{ab + ac + bc}{2abc}$

Теперь, имея суммарную производительность, мы можем найти производительность каждого работника по отдельности, вычитая из нее производительность двух других.

А

Чтобы найти производительность работника А ($P_А$), вычтем из суммарной производительности ($P_А + P_Б + P_В$) совместную производительность работников Б и В ($P_Б + P_В$):

$P_А = (P_А + P_Б + P_В) - (P_Б + P_В) = \frac{ab + ac + bc}{2abc} - \frac{1}{c}$

Приведем к общему знаменателю:

$P_А = \frac{ab + ac + bc}{2abc} - \frac{2ab}{2abc} = \frac{ac + bc - ab}{2abc}$

Время $T_А$, за которое работник А выполнит всю работу один, равно $T_А = 1/P_А$.

Ответ: Работник А выполнит работу за $\frac{2abc}{ac + bc - ab}$ дней.

Б

Чтобы найти производительность работника Б ($P_Б$), вычтем из суммарной производительности совместную производительность работников А и В ($P_А + P_В$):

$P_Б = (P_А + P_Б + P_В) - (P_А + P_В) = \frac{ab + ac + bc}{2abc} - \frac{1}{b}$

Приведем к общему знаменателю:

$P_Б = \frac{ab + ac + bc}{2abc} - \frac{2ac}{2abc} = \frac{ab + bc - ac}{2abc}$

Время $T_Б$, за которое работник Б выполнит всю работу один, равно $T_Б = 1/P_Б$.

Ответ: Работник Б выполнит работу за $\frac{2abc}{ab + bc - ac}$ дней.

В

Чтобы найти производительность работника В ($P_В$), вычтем из суммарной производительности совместную производительность работников А и Б ($P_А + P_Б$):

$P_В = (P_А + P_Б + P_В) - (P_А + P_Б) = \frac{ab + ac + bc}{2abc} - \frac{1}{a}$

Приведем к общему знаменателю:

$P_В = \frac{ab + ac + bc}{2abc} - \frac{2bc}{2abc} = \frac{ab + ac - bc}{2abc}$

Время $T_В$, за которое работник В выполнит всю работу один, равно $T_В = 1/P_В$.

Ответ: Работник В выполнит работу за $\frac{2abc}{ab + ac - bc}$ дней.