Номер 1069, страница 261 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Текстовые задачи. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 1069, страница 261.

Условие.

1069. Через первую трубу бассейн наполняется за $a$ часов, через вторую трубу — за $b$ часов, через третью трубу — за $c$ часов. За сколько часов бассейн наполнится через три трубы при их совместной работе?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Для решения задачи воспользуемся понятием производительности (скорости выполнения работы). Примем весь объем бассейна за 1 условную единицу.

Производительность первой трубы (часть бассейна, наполняемая за 1 час) составляет $V_1 = \frac{1}{a}$.
Производительность второй трубы составляет $V_2 = \frac{1}{b}$.
Производительность третьей трубы составляет $V_3 = \frac{1}{c}$.

При совместной работе трех труб их производительности складываются. Общая производительность $V_{общ}$ будет равна сумме производительностей каждой трубы:$V_{общ} = V_1 + V_2 + V_3 = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$

Приведем дроби к общему знаменателю $abc$:$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{bc}{abc} + \frac{ac}{abc} + \frac{ab}{abc} = \frac{ab+ac+bc}{abc}$

Таким образом, общая производительность трех труб равна $\frac{ab+ac+bc}{abc}$ бассейна в час.

Время $t$, необходимое для наполнения всего бассейна (объем 1) при совместной работе, можно найти, разделив объем на общую производительность:$t = \frac{1}{V_{общ}} = \frac{1}{\frac{ab+ac+bc}{abc}} = \frac{abc}{ab+ac+bc}$

Ответ: $\frac{abc}{ab+ac+bc}$ часов.