Номер 1068, страница 261 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Текстовые задачи. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 1068, страница 261.

Условие.

1068. Через первую трубу бассейн наполняется за $a$ часов, через вторую трубу — за $b$ часов, через обе трубы — за $x$ часов.

а) Какое равенство связывает $a$, $b$ и $x$?

б) Выразите $x$ через $a$ и $b$.

в) Выразите $a$ через $x$ и $b$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а) Чтобы найти равенство, связывающее переменные $a$, $b$ и $x$, введем понятие производительности (скорости) наполнения бассейна. Примем весь объем бассейна за 1 условную единицу.
Производительность первой трубы, то есть часть бассейна, которую она наполняет за 1 час, равна $P_1 = \frac{1}{a}$.
Аналогично, производительность второй трубы равна $P_2 = \frac{1}{b}$.
Когда обе трубы работают вместе, их производительности складываются. Совместная производительность двух труб равна $P_{1+2} = P_1 + P_2 = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$.
С другой стороны, по условию задачи, обе трубы вместе наполняют бассейн за $x$ часов. Следовательно, их совместная производительность также равна $\frac{1}{x}$.
Приравнивая два выражения для совместной производительности, получаем искомое равенство.
Ответ: $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{x}$

б) Чтобы выразить $x$ через $a$ и $b$, воспользуемся равенством, полученным в пункте а):
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{x}$
Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $ab$:
$\frac{b}{ab} + \frac{a}{ab} = \frac{1}{x}$
$\frac{a+b}{ab} = \frac{1}{x}$
Теперь, чтобы найти $x$, воспользуемся свойством пропорции (или, что то же самое, "перевернем" дроби в обеих частях уравнения).
Ответ: $x = \frac{ab}{a+b}$

в) Чтобы выразить $a$ через $x$ и $b$, снова используем исходное равенство:
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{x}$
Для того чтобы выразить $a$, сначала изолируем слагаемое $\frac{1}{a}$. Для этого перенесем $\frac{1}{b}$ в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:
$\frac{1}{a} = \frac{1}{x} - \frac{1}{b}$
Приведем дроби в правой части к общему знаменателю $xb$:
$\frac{1}{a} = \frac{b}{xb} - \frac{x}{xb}$
$\frac{1}{a} = \frac{b-x}{xb}$
Наконец, чтобы найти $a$, "перевернем" дроби в обеих частях уравнения.
Ответ: $a = \frac{xb}{b-x}$