Номер 1070, страница 261 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Текстовые задачи. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 1070, страница 261.

Условие.

1070. Бак наполняют три трубы: через первую трубу — за $a$ часов, через вторую трубу — за $b$ часов, а через все три трубы — за $x$ часов. За сколько часов бак наполнится через третью трубу?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Для решения этой задачи используется понятие производительности (скорости выполнения работы). В данном случае работа — это наполнение одного бака, а производительность — это доля бака, наполняемая за один час.

1. Определим производительность каждой трубы и их совместную производительность.

Примем объем всего бака за 1.

• Первая труба наполняет бак за $a$ часов, следовательно, ее производительность $P_1 = \frac{1}{a}$ бака/час.
• Вторая труба наполняет бак за $b$ часов, ее производительность $P_2 = \frac{1}{b}$ бака/час.
• Три трубы вместе наполняют бак за $x$ часов, их общая производительность $P_{общ} = \frac{1}{x}$ бака/час.

2. Найдем производительность третьей трубы.

Пусть третья труба в одиночку наполняет бак за $t$ часов. Тогда ее производительность $P_3 = \frac{1}{t}$ бака/час.

Общая производительность трех труб равна сумме их производительностей:

$P_{общ} = P_1 + P_2 + P_3$

Подставим известные значения в формулу:

$\frac{1}{x} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{t}$

3. Выразим время $t$ из полученного уравнения.

Сначала выразим производительность третьей трубы $\frac{1}{t}$:

$\frac{1}{t} = \frac{1}{x} - \frac{1}{a} - \frac{1}{b}$

Приведем дроби в правой части уравнения к общему знаменателю. Общий знаменатель для $x, a, b$ равен $abx$.

$\frac{1}{t} = \frac{ab}{abx} - \frac{bx}{abx} - \frac{ax}{abx}$

Объединим дроби в правой части:

$\frac{1}{t} = \frac{ab - bx - ax}{abx}$

Чтобы найти время $t$, нужно взять величину, обратную производительности (то есть, "перевернуть" дробь):

$t = \frac{abx}{ab - bx - ax}$

Это выражение определяет время в часах, за которое третья труба наполнит бак, работая в одиночку.

Ответ: $\frac{abx}{ab - bx - ax}$ часов.