Страница 268 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

1128. Если разделить двухзначное число на сумму его цифр, то получится частное 6 и остаток 3. Если же разделить это число на сумму его цифр, увеличенную на 2, то получится частное 5 и остаток 5. Найдите это двухзначное число.

Пусть искомое двузначное число можно представить в виде $10a + b$, где $a$ — цифра десятков ($a \in \{1, 2, ..., 9\}$), а $b$ — цифра единиц ($b \in \{0, 1, ..., 9\}$). Сумма его цифр равна $a + b$.

Из первого условия задачи следует, что при делении числа $10a + b$ на сумму его цифр $a + b$ получается частное 6 и остаток 3. Это можно записать в виде равенства, основанного на правиле деления с остатком:

$10a + b = 6(a + b) + 3$

Раскроем скобки и упростим это уравнение:

$10a + b = 6a + 6b + 3$

$10a - 6a = 6b - b + 3$

$4a = 5b + 3$ (1)

Из второго условия следует, что при делении числа $10a + b$ на сумму его цифр, увеличенную на 2, то есть на $(a + b + 2)$, получается частное 5 и остаток 5. Составим второе уравнение:

$10a + b = 5(a + b + 2) + 5$

Раскроем скобки и упростим:

$10a + b = 5a + 5b + 10 + 5$

$10a + b = 5a + 5b + 15$

$10a - 5a = 5b - b + 15$

$5a = 4b + 15$ (2)

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} 4a = 5b + 3 \\ 5a = 4b + 15 \end{cases}$

Для решения системы выразим $a$ из первого уравнения:

$a = \frac{5b + 3}{4}$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$5 \left( \frac{5b + 3}{4} \right) = 4b + 15$

Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от дроби:

$5(5b + 3) = 4(4b + 15)$

$25b + 15 = 16b + 60$

Перенесем переменные в одну сторону, а константы в другую:

$25b - 16b = 60 - 15$

$9b = 45$

$b = \frac{45}{9} = 5$

Теперь найдем значение $a$, подставив $b = 5$ в выражение для $a$:

$a = \frac{5 \cdot 5 + 3}{4} = \frac{25 + 3}{4} = \frac{28}{4} = 7$

Таким образом, цифра десятков $a = 7$, а цифра единиц $b = 5$. Искомое двузначное число равно $10 \cdot 7 + 5 = 75$.

Выполним проверку:

1. Сумма цифр числа 75 равна $7 + 5 = 12$. Делим 75 на 12: $75 = 6 \cdot 12 + 3$. Частное 6, остаток 3. Условие выполнено.

2. Сумма цифр, увеличенная на 2, равна $12 + 2 = 14$. Делим 75 на 14: $75 = 5 \cdot 14 + 5$. Частное 5, остаток 5. Условие выполнено.

Ответ: 75

1129. У мальчика было 75 р. пяти- и десятирублёвыми монетами. Если бы пятирублёвых монет было столько, сколько десятирублёвых, а десятирублёвых — столько, сколько пятирублёвых, то всего у него оказалось бы 90 р. Сколько было у мальчика в отдельности пяти- и десятирублёвых монет?

Для решения задачи введём переменные. Пусть $x$ — это первоначальное количество пятирублёвых монет, а $y$ — первоначальное количество десятирублёвых монет.

По первому условию, общая сумма денег у мальчика была 75 рублей. Это можно выразить следующим уравнением:
$5x + 10y = 75$

По второму условию, если бы количество пятирублёвых монет стало равно $y$, а количество десятирублёвых — $x$, то общая сумма составила бы 90 рублей. Это даёт нам второе уравнение:
$5y + 10x = 90$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:

$$ \begin{cases} 5x + 10y = 75 \\ 10x + 5y = 90 \end{cases} $$

Для упрощения разделим обе части первого уравнения на 5, а второго — на 5:

$$ \begin{cases} x + 2y = 15 \\ 2x + y = 18 \end{cases} $$

Решим эту систему методом подстановки. Выразим $x$ из первого уравнения:
$x = 15 - 2y$

Теперь подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение:
$2(15 - 2y) + y = 18$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $y$:
$30 - 4y + y = 18$
$30 - 3y = 18$
$3y = 30 - 18$
$3y = 12$
$y = 4$

Итак, у мальчика было 4 десятирублёвых монеты. Теперь найдём количество пятирублёвых монет, подставив значение $y=4$ в выражение для $x$:
$x = 15 - 2 \cdot 4 = 15 - 8 = 7$

Таким образом, у мальчика было 7 пятирублёвых монет.

Проверим найденные значения.
Первоначальная сумма: $7 \cdot 5 \, \text{р.} + 4 \cdot 10 \, \text{р.} = 35 + 40 = 75 \, \text{р.}$
Сумма после гипотетического обмена: $4 \cdot 5 \, \text{р.} + 7 \cdot 10 \, \text{р.} = 20 + 70 = 90 \, \text{р.}$
Оба условия задачи выполняются.

Ответ: у мальчика было 7 пятирублёвых и 4 десятирублёвых монеты.

1130. В одном бидоне на 5 л молока больше, чем в другом. Если из первого бидона перелить во второй 8 л, то во втором бидоне станет в два раза больше молока, чем останется в первом. Сколько литров молока в каждом бидоне?

Для решения задачи составим уравнение. Обозначим количество молока во втором бидоне (в котором, согласно условию, молока меньше) через $x$ литров. Тогда в первом бидоне будет $(x + 5)$ литров молока.

Далее, из первого бидона переливают 8 литров во второй. После этого количество молока в бидонах изменится:

• В первом бидоне останется: $(x + 5) - 8 = x - 3$ литров.
• Во втором бидоне станет: $x + 8$ литров.

По условию задачи, после переливания количество молока во втором бидоне стало в два раза больше, чем в первом. На основании этого составим уравнение:

$x + 8 = 2 \cdot (x - 3)$

Решим полученное уравнение:

$x + 8 = 2x - 6$

Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в правую часть уравнения, а свободные члены — в левую:

$8 + 6 = 2x - x$

$14 = x$

Таким образом, первоначальное количество молока во втором бидоне составляет 14 литров.

Теперь найдем первоначальное количество молока в первом бидоне:

$x + 5 = 14 + 5 = 19$ литров.

Выполним проверку:

Изначально в первом бидоне было 19 л, а во втором — 14 л. В первом на $19 - 14 = 5$ л больше, что соответствует условию.

После того как из первого бидона перелили 8 л, в нем осталось $19 - 8 = 11$ л. Во второй бидон добавили 8 л, и в нем стало $14 + 8 = 22$ л.

Сравниваем количество молока: $22$ л в два раза больше, чем $11$ л ($22 = 2 \cdot 11$). Условие выполняется.

Ответ: в первом бидоне было 19 литров молока, во втором — 14 литров.

1131. Составьте задачу, которая решалась бы с помощью уравнения или системы уравнений:

а) $16 - (x + 1) = 5;$

б) $16 - (x - 1) = 5;$

в) $\begin{cases} x + y = 13, \\ x - y = 3; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 3x + 5y = 28, \\ 2x + 4y = 22. \end{cases}$

а)

Задача: В вазе лежало 16 яблок. Сначала из вазы взяли несколько яблок, а затем взяли еще одно яблоко. После этого в вазе осталось 5 яблок. Сколько яблок взяли из вазы в первый раз?

Решение: Пусть $x$ — это количество яблок, которое взяли из вазы в первый раз. Тогда общее количество взятых яблок равно $(x + 1)$. Изначально в вазе было 16 яблок, а осталось 5. Составим уравнение, соответствующее условию задачи:

$16 - (x + 1) = 5$

Раскроем скобки:

$16 - x - 1 = 5$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$15 - x = 5$

Найдем $x$:

$x = 15 - 5$

$x = 10$

Следовательно, в первый раз из вазы взяли 10 яблок.

Ответ: 10 яблок.

б)

Задача: На парковке стояло 16 автомобилей. В течение часа с парковки уехало несколько автомобилей, а один новый автомобиль припарковался. В итоге на парковке стало 5 автомобилей. Сколько автомобилей уехало с парковки?

Решение: Пусть $x$ — это количество автомобилей, которые уехали с парковки. Поскольку один автомобиль приехал, то чистое уменьшение количества автомобилей на парковке составляет $(x - 1)$. Изначально было 16 автомобилей, а стало 5. Составим уравнение:

$16 - (x - 1) = 5$

Раскроем скобки:

$16 - x + 1 = 5$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$17 - x = 5$

Найдем $x$:

$x = 17 - 5$

$x = 12$

Значит, с парковки уехало 12 автомобилей.

Ответ: 12 автомобилей.

в)

Задача: Сумма двух чисел равна 13, а их разность равна 3. Найдите эти числа.

Решение: Обозначим первое число через $x$, а второе — через $y$. Согласно условию задачи, мы можем составить систему из двух уравнений:

$\begin{cases} x + y = 13, \\ x - y = 3. \end{cases}$

Решим эту систему методом сложения. Сложим левые и правые части уравнений:

$(x + y) + (x - y) = 13 + 3$

$2x = 16$

$x = \frac{16}{2}$

$x = 8$

Теперь подставим найденное значение $x$ в первое уравнение системы, чтобы найти $y$:

$8 + y = 13$

$y = 13 - 8$

$y = 5$

Итак, первое число равно 8, а второе — 5.

Ответ: 8 и 5.

г)

Задача: Для класса купили 3 альбома и 5 карандашей, заплатив за всю покупку 28 гривен. Для другого класса купили 2 таких же альбома и 4 таких же карандаша, заплатив 22 гривны. Сколько стоит один альбом и сколько стоит один карандаш?

Решение: Пусть $x$ — цена одного альбома в гривнах, а $y$ — цена одного карандаша в гривнах. Исходя из условия, составим систему уравнений:

$\begin{cases} 3x + 5y = 28, \\ 2x + 4y = 22. \end{cases}$

Упростим второе уравнение, разделив обе его части на 2:

$x + 2y = 11$

Выразим $x$ из этого уравнения:

$x = 11 - 2y$

Подставим полученное выражение для $x$ в первое уравнение системы:

$3(11 - 2y) + 5y = 28$

$33 - 6y + 5y = 28$

$33 - y = 28$

$y = 33 - 28$

$y = 5$

Теперь найдем $x$, подставив значение $y$ в выражение $x = 11 - 2y$:

$x = 11 - 2 \cdot 5$

$x = 11 - 10$

$x = 1$

Таким образом, цена одного альбома — 1 гривна, а цена одного карандаша — 5 гривен.

Ответ: альбом стоит 1 гривну, карандаш стоит 5 гривен.

1132. Бассейн заполняют горячей и холодной водой, текущей из двух кранов. Оба крана заполняют бассейн за 1 ч 20 мин. Если первый кран работает 10 мин, а второй — 12 мин, то заполняется $\frac{2}{15}$ бассейна. За какое время заполнит бассейн кран с холодной водой?

Для решения задачи примем весь объем бассейна за 1. Обозначим производительность крана с горячей водой (первого крана) как $x$ (часть бассейна, заполняемая в минуту), а производительность крана с холодной водой (второго крана) — как $y$ (часть бассейна, заполняемая в минуту).

Согласно первому условию, оба крана вместе заполняют бассейн за 1 час 20 минут. Переведем это время в минуты:
$1 \text{ час } 20 \text{ минут} = 60 + 20 = 80 \text{ минут}$.
Совместная производительность двух кранов равна $x + y$. Работа, выполненная за 80 минут, равна объему всего бассейна, то есть 1. Составим первое уравнение:
$(x + y) \cdot 80 = 1$
$x + y = \frac{1}{80}$

Согласно второму условию, если первый кран работает 10 минут, а второй — 12 минут, то заполняется $\frac{2}{15}$ бассейна. Работа, выполненная первым краном за 10 минут, составляет $10x$. Работа, выполненная вторым краном за 12 минут, составляет $12y$. Суммарно они выполняют работу, равную $\frac{2}{15}$. Составим второе уравнение:
$10x + 12y = \frac{2}{15}$

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:
$\begin{cases} x + y = \frac{1}{80} \\ 10x + 12y = \frac{2}{15} \end{cases}$
Для решения системы выразим $x$ из первого уравнения: $x = \frac{1}{80} - y$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$10 \cdot (\frac{1}{80} - y) + 12y = \frac{2}{15}$
Раскроем скобки и упростим выражение:
$\frac{10}{80} - 10y + 12y = \frac{2}{15}$
$\frac{1}{8} + 2y = \frac{2}{15}$
Теперь найдем $2y$:
$2y = \frac{2}{15} - \frac{1}{8}$
Приведем дроби к общему знаменателю, который равен 120:
$2y = \frac{2 \cdot 8}{120} - \frac{1 \cdot 15}{120}$
$2y = \frac{16 - 15}{120}$
$2y = \frac{1}{120}$
Отсюда находим производительность крана с холодной водой $y$:
$y = \frac{1}{120 \cdot 2} = \frac{1}{240}$

Мы выяснили, что производительность крана с холодной водой составляет $\frac{1}{240}$ бассейна в минуту. Чтобы найти время, за которое этот кран заполнит весь бассейн (то есть выполнит работу, равную 1), нужно разделить работу на производительность:
Время $T = \frac{1}{y} = \frac{1}{\frac{1}{240}} = 240 \text{ минут}$.
Переведем полученное время в часы:
$240 \text{ минут} \div 60 \text{ минут/час} = 4 \text{ часа}$.

Ответ: кран с холодной водой заполнит бассейн за 4 часа.