Страница 272 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

9. В каком случае выражение преобразовано в тождественно равное?

1) $(x - 4)^2 = x^2 - 4x + 16$

2) $-2(x - y) = -2y - 2x$

3) $(x - y)(y - x) = -x^2 + 2xy - y^2$

4) $(-x - 3y)2 = -2x - 3y$

Чтобы определить, в каком случае выражение преобразовано в тождественно равное, необходимо проверить каждое из предложенных равенств.

1) $(x - 4)^2 = x^2 - 4x + 16$
Преобразуем левую часть равенства, используя формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В данном случае $a = x$ и $b = 4$.
$(x - 4)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = x^2 - 8x + 16$.
Сравним полученное выражение с правой частью равенства: $x^2 - 8x + 16 \neq x^2 - 4x + 16$.
Следовательно, данное равенство не является тождеством.
Ответ: неверно.

2) $-2(x - y) = -2y - 2x$
Раскроем скобки в левой части равенства, применив распределительный закон умножения:
$-2(x - y) = (-2) \cdot x + (-2) \cdot (-y) = -2x + 2y$.
Сравним полученное выражение с правой частью равенства: $-2x + 2y \neq -2y - 2x$.
Следовательно, данное равенство не является тождеством.
Ответ: неверно.

3) $(x - y)(y - x) = -x^2 + 2xy - y^2$
Преобразуем левую часть равенства. Вынесем множитель $-1$ из второй скобки:
$(x - y)(y - x) = (x - y) \cdot (-(x - y)) = -(x - y)^2$.
Теперь применим формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:
$-(x - y)^2 = -(x^2 - 2xy + y^2) = -x^2 + 2xy - y^2$.
Полученное выражение совпадает с правой частью равенства.
Следовательно, данное равенство является тождеством.
Ответ: верно.

4) $(-x - 3y)2 = -2x - 3y$
Преобразуем левую часть, умножив каждый член в скобках на 2:
$(-x - 3y) \cdot 2 = -x \cdot 2 - 3y \cdot 2 = -2x - 6y$.
Сравним полученное выражение с правой частью равенства: $-2x - 6y \neq -2x - 3y$.
Следовательно, данное равенство не является тождеством.
Ответ: неверно.

Таким образом, тождественно верное преобразование представлено в пункте 3.

10. Чему равна плотность тела (в кг/м³), если его масса равна a кг, а его объём 700 дм³?

1) 0,7a кг/м³

2) 700a кг/м³

3) $ \frac{10a}{7} $ кг/м³

4) $ \frac{a}{7} $ кг/м³

Плотность тела ($\rho$) определяется как отношение его массы ($m$) к его объёму ($V$). Формула для расчёта плотности выглядит следующим образом:

$\rho = \frac{m}{V}$

В условии задачи даны следующие величины:

• Масса тела: $m = a$ кг
• Объём тела: $V = 700$ дм³

Плотность необходимо выразить в системных единицах СИ, то есть в кг/м³. Масса уже дана в килограммах, а объём — в кубических дециметрах. Следовательно, необходимо перевести объём из дм³ в м³.

Соотношение между метрами и дециметрами:

$1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$

Для кубических единиц соотношение будет следующим:

$1 \text{ м}^3 = (10 \text{ дм})^3 = 1000 \text{ дм}^3$

Теперь переведём объём тела в м³:

$V = 700 \text{ дм}^3 = \frac{700}{1000} \text{ м}^3 = 0,7 \text{ м}^3$

Теперь, когда все величины выражены в нужных единицах, можно рассчитать плотность, подставив значения в формулу:

$\rho = \frac{m}{V} = \frac{a}{0,7} \text{ кг/м}^3$

Чтобы упростить выражение, представим десятичную дробь 0,7 в виде обыкновенной дроби $\frac{7}{10}$:

$\rho = \frac{a}{\frac{7}{10}} = a \cdot \frac{10}{7} = \frac{10a}{7} \text{ кг/м}^3$

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что он соответствует варианту №3.

Ответ: 3) $\frac{10a}{7}$ кг/м³

11. За x граммов печенья заплатили a р. Составьте выражение для вычисления цены одного килограмма этого печенья (в рублях).

1) $\frac{1000a}{x}$

2) $\frac{ax}{1000}$

3) $\frac{a}{x}$

4) $\frac{1000x}{a}$

Для того чтобы составить выражение для вычисления цены одного килограмма печенья, выполним следующие действия.

1. Найдем цену одного грамма печенья. Согласно условию, за $x$ граммов печенья заплатили $a$ рублей. Значит, цена одного грамма равна отношению стоимости к массе:
Цена за 1 грамм = $\frac{a}{x}$ рублей/грамм.

2. Теперь вычислим цену одного килограмма. В одном килограмме содержится 1000 граммов. Чтобы найти цену за килограмм, необходимо цену одного грамма умножить на 1000:
Цена за 1 кг = (Цена за 1 грамм) × 1000 = $\frac{a}{x} \cdot 1000$.

Таким образом, итоговое выражение для цены одного килограмма печенья в рублях: $\frac{1000a}{x}$.

Сравнив полученное выражение с предложенными вариантами, видим, что оно совпадает с вариантом под номером 1.

Ответ: 1) $\frac{1000a}{x}$

12. Упростите выражение $ \frac{2}{3x} - \frac{1}{x} $.

1) $ -\frac{1}{3x} $

2) $ \frac{1}{3x} $

3) $ -\frac{1}{3} $

4) $ -\frac{1}{3x^2} $

Чтобы упростить выражение $\frac{2}{3x} - \frac{1}{x}$, необходимо привести дроби к общему знаменателю.

Знаменатели данных дробей — $3x$ и $x$. Наименьшим общим знаменателем для них является $3x$.

Первая дробь $\frac{2}{3x}$ уже приведена к этому знаменателю.

Вторую дробь $\frac{1}{x}$ нужно привести к знаменателю $3x$. Для этого умножим ее числитель и знаменатель на дополнительный множитель. Дополнительный множитель равен результату деления общего знаменателя на знаменатель второй дроби: $3x \div x = 3$.

Получаем:
$\frac{1}{x} = \frac{1 \cdot 3}{x \cdot 3} = \frac{3}{3x}$

Теперь выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$\frac{2}{3x} - \frac{3}{3x} = \frac{2 - 3}{3x}$

Выполним вычитание в числителе:

$\frac{-1}{3x} = -\frac{1}{3x}$

Полученный результат соответствует варианту ответа под номером 1.

Ответ: $-\frac{1}{3x}$

13. Упростите выражение $\frac{2}{3x} - \frac{3}{11x}$.

1) $\frac{13}{33x}$

2) $\frac{1}{8x}$

3) $8x$

4) $\frac{19}{33x}$

Чтобы упростить выражение $\frac{2}{3x} - \frac{3}{11x}$, необходимо привести дроби к общему знаменателю.

1. Находим наименьший общий знаменатель (НОЗ) для знаменателей $3x$ и $11x$. Для этого находим наименьшее общее кратное (НОК) коэффициентов 3 и 11, и домножаем на переменную $x$.

НОК(3, 11) = 33.

Таким образом, наименьший общий знаменатель равен $33x$.

2. Находим дополнительные множители для каждой дроби. Для первой дроби $\frac{2}{3x}$ дополнительный множитель равен $11$ (так как $33x \div 3x = 11$). Для второй дроби $\frac{3}{11x}$ дополнительный множитель равен $3$ (так как $33x \div 11x = 3$).

3. Умножаем числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель:

$\frac{2 \cdot 11}{3x \cdot 11} - \frac{3 \cdot 3}{11x \cdot 3} = \frac{22}{33x} - \frac{9}{33x}$

4. Выполняем вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, вычитая их числители:

$\frac{22 - 9}{33x} = \frac{13}{33x}$

Полученный результат $\frac{13}{33x}$ соответствует варианту ответа 1).

Ответ: $\frac{13}{33x}$

14. Решите уравнение $10 - 2(x + 1) = 5 - 4x$.

Для решения данного линейного уравнения необходимо выполнить следующие шаги:

1. Раскрыть скобки в левой части уравнения.
Исходное уравнение: $10 - 2(x + 1) = 5 - 4x$
Чтобы раскрыть скобки, умножим множитель $-2$ на каждый член внутри скобок $(x + 1)$:
$10 - (2 \cdot x + 2 \cdot 1) = 5 - 4x$
$10 - 2x - 2 = 5 - 4x$

2. Упростить левую часть уравнения, приведя подобные слагаемые.
Сгруппируем и вычислим числовые значения в левой части:
$(10 - 2) - 2x = 5 - 4x$
$8 - 2x = 5 - 4x$

3. Перенести все слагаемые с переменной $x$ в одну часть уравнения, а все числовые слагаемые — в другую. При переносе слагаемого из одной части в другую его знак меняется на противоположный.
Перенесем $-4x$ из правой части в левую (знак изменится на "+") и число $8$ из левой части в правую (знак изменится на "−"):
$-2x + 4x = 5 - 8$

4. Привести подобные слагаемые в обеих частях уравнения.
$2x = -3$

5. Найти значение $x$, разделив обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 2.
$x = \frac{-3}{2}$
$x = -1.5$

Выполним проверку, подставив найденное значение $x = -1.5$ в исходное уравнение:
$10 - 2(-1.5 + 1) = 5 - 4(-1.5)$
$10 - 2(-0.5) = 5 + 6$
$10 + 1 = 11$
$11 = 11$
Равенство верное, следовательно, корень уравнения найден правильно.

Ответ: $-1.5$

15. Решите уравнение $4 - 5x = 17 - 3(x + 1)$.

15.

Чтобы решить уравнение $4 - 5x = 17 - 3(x + 1)$, сначала необходимо раскрыть скобки в правой части. Для этого умножим $-3$ на каждый член внутри скобок:

$4 - 5x = 17 - 3x - 3$

Далее, упростим правую часть уравнения, объединив числовые значения $17$ и $-3$:

$4 - 5x = 14 - 3x$

Теперь необходимо собрать все слагаемые с переменной $x$ на одной стороне уравнения, а все постоянные числа — на другой. Перенесем $-3x$ из правой части в левую (при этом знак изменится на противоположный, то есть на плюс) и число $4$ из левой части в правую (знак также изменится на минус):

$-5x + 3x = 14 - 4$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

$-2x = 10$

Наконец, чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, который равен $-2$:

$x = \frac{10}{-2}$

$x = -5$

Ответ: -5.

16. Найдите значение выражения $\frac{a-b}{c}$ при $a=3,25$; $b=2,65$; $c=7,5$.

Для того чтобы найти значение выражения $\frac{a-b}{c}$, необходимо подставить в него заданные значения переменных $a=3,25$, $b=2,65$ и $c=7,5$.

1. Подставляем значения в выражение:
$\frac{3,25 - 2,65}{7,5}$

2. Выполняем вычитание в числителе:
$3,25 - 2,65 = 0,60 = 0,6$

3. Подставляем результат обратно в дробь и выполняем деление:
$\frac{0,6}{7,5}$

Чтобы упростить деление, можно избавиться от десятичных дробей, умножив числитель и знаменатель на 10:
$\frac{0,6 \times 10}{7,5 \times 10} = \frac{6}{75}$

4. Сократим полученную дробь. И числитель, и знаменатель делятся на 3:
$\frac{6 \div 3}{75 \div 3} = \frac{2}{25}$

5. Переведем обыкновенную дробь в десятичную. Для этого можно умножить числитель и знаменатель на 4, чтобы в знаменателе получилось 100:
$\frac{2 \times 4}{25 \times 4} = \frac{8}{100} = 0,08$

Ответ: $0,08$

17. Найдите частное $\frac{12,1 \cdot 10^{-5}}{0,11 \cdot 10^{-3}}$. Ответ запишите в виде десятичной дроби.

Чтобы найти значение частного, необходимо разделить числитель на знаменатель. Запишем выражение и преобразуем его для удобства вычислений.

Исходное выражение:

$$ \frac{12,1 \cdot 10^{-5}}{0,11 \cdot 10^{-3}} $$

Разделим вычисление на два этапа: сначала разделим десятичные дроби, а затем степени с основанием 10.

$$ \left(\frac{12,1}{0,11}\right) \cdot \left(\frac{10^{-5}}{10^{-3}}\right) $$

1. Вычислим частное десятичных дробей. Чтобы упростить деление, можно умножить и делимое, и делитель на 100, чтобы избавиться от дроби в делителе:

$$ \frac{12,1}{0,11} = \frac{12,1 \cdot 100}{0,11 \cdot 100} = \frac{1210}{11} $$

Теперь выполним деление:

$$ \frac{1210}{11} = 110 $$

2. Вычислим частное степеней. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются, согласно свойству $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $:

$$ \frac{10^{-5}}{10^{-3}} = 10^{-5 - (-3)} = 10^{-5+3} = 10^{-2} $$

3. Теперь перемножим результаты обоих действий:

$$ 110 \cdot 10^{-2} $$

Чтобы записать результат в виде десятичной дроби, вспомним, что $10^{-2} = \frac{1}{100} = 0,01$. Следовательно:

$$ 110 \cdot 0,01 = 1,1 $$

Или, что то же самое, умножение на $10^{-2}$ означает перенос запятой на два знака влево: $110,0 \rightarrow 1,1$.

Ответ: 1,1

18. Найдите наименьшее значение выражения

$(3x - 4y - 2)^2 + (x - 5y + 3)^2$

и значения $x$ и $y$, при которых оно достигается.

Данное выражение $S = (3x - 4y - 2)^2 + (x - 5y + 3)^2$ представляет собой сумму двух квадратов.

Поскольку квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $(3x - 4y - 2)^2 \ge 0$ и $(x - 5y + 3)^2 \ge 0$, то и их сумма всегда будет неотрицательной: $S \ge 0$.

Следовательно, наименьшее возможное значение выражения равно 0. Это значение достигается только в том случае, когда оба слагаемых одновременно равны нулю. Для нахождения соответствующих значений $x$ и $y$ составим и решим систему уравнений:

$ \begin{cases} 3x - 4y - 2 = 0 \\ x - 5y + 3 = 0 \end{cases} $

Решим систему методом подстановки. Из второго уравнения выразим $x$ через $y$:
$x = 5y - 3$

Подставим полученное выражение для $x$ в первое уравнение системы:
$3(5y - 3) - 4y - 2 = 0$

Раскроем скобки и найдем значение $y$:
$15y - 9 - 4y - 2 = 0$
$11y - 11 = 0$
$11y = 11$
$y = 1$

Теперь найдем значение $x$, подставив $y = 1$ в выражение $x = 5y - 3$:
$x = 5(1) - 3 = 5 - 3 = 2$

Таким образом, наименьшее значение выражения, равное 0, достигается при $x=2$ и $y=1$.

Ответ: наименьшее значение выражения равно 0; оно достигается при $x=2$ и $y=1$.