Страница 271 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

1. Расположите в порядке убывания числа: $-16.7$; $-17.6$; $-17.06$; $-17.76$.

1. Чтобы расположить отрицательные числа в порядке убывания (от наибольшего к наименьшему), необходимо их сравнить. Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше. Даны числа: $-16,7$; $-17,6$; $-17,06$; $-17,76$.
Сначала найдем модули этих чисел:
$|-16,7| = 16,7$
$|-17,6| = 17,6$
$|-17,06| = 17,06$
$|-17,76| = 17,76$
Теперь расположим полученные модули в порядке возрастания (от наименьшего к наибольшему). Для наглядности приведем все десятичные дроби к одному виду с двумя знаками после запятой: $16,70$; $17,60$; $17,06$; $17,76$.
Сравнивая их, получаем следующую последовательность: $16,70 < 17,06 < 17,60 < 17,76$.
Поскольку для отрицательных чисел зависимость обратная (чем меньше модуль, тем больше число), то исходные числа в порядке убывания будут располагаться в следующем порядке: $-16,7 > -17,06 > -17,6 > -17,76$.
Таким образом, искомый ряд чисел: -16,7; -17,06; -17,6; -17,76.
Ответ: -16,7; -17,06; -17,6; -17,76.

2. Расположите выражения в порядке возрастания их значений. В ответе укажите последовательность их номеров.

1) $\frac{1}{2} - \frac{1}{6}$

2) $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3}$

3) $\frac{0.9}{4}$

4) $0.48 \cdot 0.25$

Для того чтобы расположить выражения в порядке возрастания их значений, необходимо вычислить значение каждого выражения. Удобнее всего для сравнения представить все результаты в виде десятичных дробей.

1) Вычислим значение выражения $ \frac{1}{2} - \frac{1}{6} $.

Чтобы выполнить вычитание, приведем дроби к общему знаменателю, который равен 6.

$ \frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{1}{6} = \frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{3-1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $

Переведем полученную обыкновенную дробь в десятичную:

$ \frac{1}{3} = 1 \div 3 = 0,333... $

2) Вычислим значение выражения $ \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} $.

Для умножения дробей перемножим их числители и знаменатели:

$ \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 1}{4 \cdot 3} = \frac{1}{12} $

Переведем полученную обыкновенную дробь в десятичную:

$ \frac{1}{12} = 1 \div 12 = 0,08333... $

3) Вычислим значение выражения $ \frac{0,9}{4} $.

Данное выражение представляет собой деление:

$ \frac{0,9}{4} = 0,9 \div 4 = 0,225 $

4) Вычислим значение выражения $ 0,48 \cdot 0,25 $.

Выполним умножение десятичных дробей. Можно заметить, что $ 0,25 = \frac{1}{4} $, поэтому умножение можно заменить делением на 4:

$ 0,48 \cdot 0,25 = 0,48 \cdot \frac{1}{4} = \frac{0,48}{4} = 0,12 $

Теперь сравним полученные значения:

• Значение 1: $ 0,333... $
• Значение 2: $ 0,083... $
• Значение 3: $ 0,225 $
• Значение 4: $ 0,12 $

Расположим эти значения в порядке возрастания (от наименьшего к наибольшему):

$ 0,083... < 0,12 < 0,225 < 0,333... $

Этой последовательности значений соответствует следующая последовательность номеров исходных выражений: 2, 4, 3, 1.

Ответ: 2431

3. Три тетради и две ручки стоят 24 р. Сколько стоит тетрадь, если она на 2 р. дешевле ручки?

Пусть тетрадь стоит $x$ р. Какое уравнение соответствует условиям задачи?

1) $3(x - 2) + 2x = 24$

2) $3x + 2(x + 2) = 24$

3) $3(x + 2) + 2x = 24$

4) $3x + 2(x - 2) = 24$

Для решения задачи сначала определим переменные и составим уравнение на основе предоставленных данных.

Пусть $x$ — стоимость одной тетради в рублях (р.).

Согласно условию, тетрадь на 2 рубля дешевле ручки. Это означает, что ручка стоит на 2 рубля дороже тетради. Следовательно, стоимость одной ручки можно выразить как $(x + 2)$ р.

Общая стоимость покупки состоит из стоимости трех тетрадей и двух ручек, и она равна 24 рублям. Запишем это в виде математического выражения:

Стоимость 3 тетрадей: $3 \cdot x$

Стоимость 2 ручек: $2 \cdot (x + 2)$

Общая стоимость: $3x + 2(x + 2) = 24$

Теперь, имея уравнение, мы можем ответить на оба вопроса задачи.

Сколько стоит тетрадь, если она на 2 р. дешевле ручки?

Для нахождения стоимости тетради ($x$) необходимо решить составленное выше уравнение:

$3x + 2(x + 2) = 24$

Сначала раскроем скобки в левой части уравнения:

$3x + 2x + 4 = 24$

Затем приведем подобные слагаемые:

$5x + 4 = 24$

Перенесем число 4 в правую часть уравнения, изменив его знак:

$5x = 24 - 4$

$5x = 20$

Теперь найдем значение $x$, разделив обе части уравнения на 5:

$x = \frac{20}{5}$

$x = 4$

Таким образом, стоимость одной тетради равна 4 рублям.

Ответ: тетрадь стоит 4 р.

Пусть тетрадь стоит x р. Какое уравнение соответствует условиям задачи?

Как мы установили ранее, уравнение, которое описывает условие задачи, имеет вид: $3x + 2(x + 2) = 24$.

Сравним полученное нами уравнение с предложенными вариантами ответа:

1) $3(x - 2) + 2x = 24$

2) $3x + 2(x + 2) = 24$

3) $3(x + 2) + 2x = 24$

4) $3x + 2(x - 2) = 24$

Наше уравнение в точности совпадает с вариантом под номером 2.

Ответ: 2) $3x + 2(x + 2) = 24$.

4. От города до посёлка автомобиль доехал за 3 ч. Если бы его скорость была на 25 км/ч выше, он затратил бы на этот путь на 1 ч меньше. Чему равно расстояние от города до посёлка? Пусть x км — расстояние от города до посёлка. Какое уравнение соответствует условию задачи?

1) $ \frac{x}{2} - \frac{x}{3} = 25 $

2) $ \frac{x}{3} - \frac{x}{2} = 25 $

3) $ \frac{2}{x} - \frac{3}{x} = 25 $

4) $ \frac{3}{x} - \frac{2}{x} = 25 $

Чему равно расстояние от города до посёлка?
Для решения задачи обозначим искомое расстояние через $x$ км.
По условию, первоначальное время в пути $t_1 = 3$ часа.
Следовательно, первоначальная скорость автомобиля $v_1$ равна отношению расстояния ко времени:
$v_1 = \frac{x}{t_1} = \frac{x}{3}$ км/ч.
Рассмотрим второй (гипотетический) случай. Если бы скорость автомобиля была на 25 км/ч выше, то она бы составила $v_2 = v_1 + 25$ км/ч. Время в пути $t_2$ при этом было бы на 1 час меньше.
Новое время: $t_2 = t_1 - 1 = 3 - 1 = 2$ часа.
Расстояние $x$ остается тем же. Новую скорость $v_2$ можно также выразить через расстояние $x$ и новое время $t_2$:
$v_2 = \frac{x}{t_2} = \frac{x}{2}$ км/ч.
Мы знаем, что разница между новой и первоначальной скоростью составляет 25 км/ч: $v_2 - v_1 = 25$.
Подставим в это равенство выражения для $v_1$ и $v_2$ через $x$:
$\frac{x}{2} - \frac{x}{3} = 25$.
Теперь решим это уравнение, чтобы найти расстояние $x$.
Приведем дроби к общему знаменателю 6:
$\frac{3x}{6} - \frac{2x}{6} = 25$.
$\frac{3x - 2x}{6} = 25$.
$\frac{x}{6} = 25$.
$x = 25 \cdot 6$.
$x = 150$ км.
Таким образом, расстояние от города до посёлка составляет 150 км.
Ответ: 150 км.

Какое уравнение соответствует условию задачи?
Как было показано в решении выше, пусть $x$ км — расстояние от города до посёлка.
Первоначальная скорость автомобиля $v_1 = \frac{x}{3}$ км/ч.
Новое время в пути $t_2 = 3 - 1 = 2$ часа.
Новая скорость автомобиля $v_2 = \frac{x}{2}$ км/ч.
Разница между новой и первоначальной скоростью по условию составляет 25 км/ч, поэтому можно составить уравнение:
$v_2 - v_1 = 25$.
Подставив выражения для скоростей, получаем:
$\frac{x}{2} - \frac{x}{3} = 25$.
Это уравнение соответствует варианту ответа под номером 1.
Ответ: 1) $\frac{x}{2} - \frac{x}{3} = 25$.

5. Группа из двенадцати детей и двоих взрослых идёт на экскурсию в музей. Взрослый билет стоит 200 р. Билет для школьника продаётся со скидкой 50%. Сколько нужно заплатить за билеты для всей группы? Ответ дайте в рублях.

Для решения задачи нужно рассчитать стоимость билетов для взрослых и для детей отдельно, а затем сложить эти суммы.

1. Рассчитаем стоимость билетов для взрослых. В группе 2 взрослых, стоимость взрослого билета — 200 рублей.

$2 \times 200 = 400$ рублей.

2. Рассчитаем стоимость билета для школьника. Билет для школьника продаётся со скидкой 50% от полной стоимости в 200 рублей. Скидка составляет половину цены, значит, билет стоит:

$200 \times \frac{50}{100} = 100$ рублей.

Или можно рассчитать остаточную стоимость:

$200 \times (1 - 0.5) = 100$ рублей.

3. Рассчитаем общую стоимость билетов для всех детей. В группе 12 детей, стоимость одного билета для школьника — 100 рублей.

$12 \times 100 = 1200$ рублей.

4. Найдём общую стоимость билетов для всей группы, сложив стоимость билетов для взрослых и для детей:

$400 \text{ (взрослые)} + 1200 \text{ (дети)} = 1600$ рублей.

Ответ: 1600

6. Суточная норма потребления углеводов составляет 280 г. Порция омлета в среднем содержит 39 г углеводов. Сколько примерно процентов от суточной нормы потребления углеводов получит человек, съев порцию омлета?

1) 7%

2) 0,7%

3) 14%

4) 0,14%

Для того чтобы вычислить, сколько процентов от суточной нормы составляет порция омлета, необходимо найти отношение массы углеводов в омлете к суточной норме и умножить его на 100%.

Сначала определим известные величины:
- Суточная норма углеводов (принимаем за 100%): $280$ г.
- Количество углеводов в порции омлета (часть от нормы): $39$ г.

Можно составить пропорцию, где $x$ — искомый процент:
$280 \text{ г} \quad — \quad 100\%$
$39 \text{ г} \quad — \quad x\%$

Чтобы найти $x$, нужно умножить количество углеводов в омлете на 100 и разделить на суточную норму:
$x = \frac{39 \cdot 100}{280}$

Произведем вычисления:
$x = \frac{3900}{280} = \frac{390}{28}$

Разделим $390$ на $28$:
$x \approx 13,92857...$

В вопросе требуется найти примерное значение. Округлим полученный результат до ближайшего целого числа:
$13,92857...\% \approx 14\%$

Таким образом, порция омлета содержит примерно 14% от суточной нормы потребления углеводов. Этот результат соответствует третьему варианту ответа.

Ответ: 14%

7. Площадь территории России составляет $1,7 \cdot 10^7$ км$^2$, а Германии — $3,6 \cdot 10^5$ км$^2$. Во сколько раз площадь территории России больше площади территории Германии?

1) примерно в 2,1 раза

2) примерно в 470 раз

3) примерно в 4,7 раза

4) примерно в 47 раз

Для того чтобы определить, во сколько раз площадь территории России больше площади территории Германии, необходимо разделить площадь России на площадь Германии.

Площадь России составляет $1,7 \cdot 10^7$ км², а площадь Германии — $3,6 \cdot 10^5$ км².

Выполним деление:

$\frac{1,7 \cdot 10^7}{3,6 \cdot 10^5}$

Разделим это выражение на две части: деление десятичных дробей и деление степеней.

1. Деление степеней. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:

$\frac{10^7}{10^5} = 10^{7-5} = 10^2 = 100$

2. Деление десятичных дробей:

$\frac{1,7}{3,6} = \frac{17}{36}$

Выполним деление столбиком или на калькуляторе, чтобы найти приближенное значение:

$17 \div 36 \approx 0,4722...$

3. Теперь перемножим полученные результаты:

$0,4722... \cdot 100 = 47,22...$

Таким образом, площадь России больше площади Германии примерно в 47,22 раза. Округляя до целого числа, получаем 47.

Среди предложенных вариантов ответа наиболее близким является вариант "примерно в 47 раз".

Ответ: 4) примерно в 47 раз

8. В каком случае преобразование выполнено верно?

1) $(4 - b)(b + 4) = b^2 - 16$

2) $-(b - 1)(3 - 4b) = (1 - b)(4b - 3)$

3) $(b + 1)(3 - 2b) = 3 + b - 2b^2$

4) $(b - 4)^2 = b^2 - 4b + 16$

Чтобы определить, в каком случае преобразование выполнено верно, проверим каждое равенство по отдельности.

1) $(4 - b)(b + 4) = b^2 - 16$

Проверим это равенство, преобразовав его левую часть. В выражении $(4 - b)(b + 4)$ поменяем местами слагаемые во второй скобке, чтобы привести его к стандартному виду формулы разности квадратов: $(4 - b)(4 + b)$.

Используем формулу разности квадратов $(a-c)(a+c) = a^2 - c^2$, где $a=4$ и $c=b$.

Применим формулу: $(4 - b)(4 + b) = 4^2 - b^2 = 16 - b^2$.

Правая часть исходного равенства равна $b^2 - 16$.

Сравнивая полученное выражение с правой частью, видим, что $16 - b^2 \neq b^2 - 16$ (эти выражения являются противоположными). Преобразование выполнено неверно.

Ответ: неверно.

2) $-(b - 1)(3 - 4b) = (1 - b)(4b - 3)$

Преобразуем левую часть равенства. Внесем множитель $-1$ (знак "минус" перед скобками) в первую скобку:

$-(b - 1)(3 - 4b) = (-(b-1))(3 - 4b) = (-b + 1)(3 - 4b) = (1 - b)(3 - 4b)$.

Теперь сравним полученное выражение с правой частью равенства, которая равна $(1 - b)(4b - 3)$.

Равенство $(1 - b)(3 - 4b) = (1 - b)(4b - 3)$ не является тождеством, так как множители $(3 - 4b)$ и $(4b - 3)$ не равны (они противоположны). Следовательно, преобразование выполнено неверно.

Ответ: неверно.

3) $(b + 1)(3 - 2b) = 3 + b - 2b^2$

Раскроем скобки в левой части равенства, выполнив умножение многочленов (правило "фонтанчика"):

$(b + 1)(3 - 2b) = b \cdot 3 + b \cdot (-2b) + 1 \cdot 3 + 1 \cdot (-2b) = 3b - 2b^2 + 3 - 2b$.

Теперь приведем подобные слагаемые в полученном выражении:

$-2b^2 + (3b - 2b) + 3 = -2b^2 + b + 3$.

Правая часть исходного равенства: $3 + b - 2b^2$.

Сравнивая левую и правую части, видим, что $-2b^2 + b + 3 = 3 + b - 2b^2$. От перестановки мест слагаемых сумма не меняется, значит, выражения тождественно равны. Преобразование выполнено верно.

Ответ: верно.

4) $(b - 4)^2 = b^2 - 4b + 16$

Для преобразования левой части используем формулу сокращенного умножения "квадрат разности": $(a - c)^2 = a^2 - 2ac + c^2$.

В нашем случае $a = b$ и $c = 4$.

$(b - 4)^2 = b^2 - 2 \cdot b \cdot 4 + 4^2 = b^2 - 8b + 16$.

Правая часть исходного равенства: $b^2 - 4b + 16$.

Сравнивая полученный результат с правой частью, видим, что $b^2 - 8b + 16 \neq b^2 - 4b + 16$. Ошибка допущена в вычислении удвоенного произведения $(-8b$ вместо $-4b)$. Преобразование выполнено неверно.

Ответ: неверно.