Страница 269 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

1. Из бочки, содержащей 100 л сока, отливают 10 л сока и вливают в неё 10 л воды. Перемешав полученную смесь, из бочки отливают 10 л смеси и опять вливают в неё 10 л воды, и так делают неоднократно. Можно ли в результате таких операций получить смесь, содержащую 72,9 л сока?

Для решения задачи проследим за изменением количества сока в бочке после каждой операции. Общий объем жидкости в бочке всегда остается равным 100 л, так как 10 л отливают и 10 л вливают.

Пусть $V_n$ — объем сока в бочке после $n$-ой операции. Изначально, при $n=0$, в бочке было 100 л сока, то есть $V_0 = 100$ л.

Шаг 1. Первая операция ($n=1$): Из бочки отливают 10 л чистого сока. Остается $100 - 10 = 90$ л сока. Затем вливают 10 л воды. Количество сока не меняется. Таким образом, после первой операции в бочке $V_1 = 90$ л сока.

Шаг 2. Вторая операция ($n=2$): Перед второй операцией в бочке находится смесь из 90 л сока и 10 л воды. Концентрация сока в смеси составляет $\frac{90 \text{ л}}{100 \text{ л}} = 0.9$. Когда отливают 10 л смеси, количество отлитого сока составляет $10 \text{ л} \times 0.9 = 9$ л. Количество сока, оставшееся в бочке: $90 - 9 = 81$ л. После вливания 10 л воды, объем сока не меняется. Таким образом, после второй операции в бочке $V_2 = 81$ л сока.

Общая формула: Заметим, что после каждой операции количество сока умножается на один и тот же коэффициент. Если перед операцией в бочке было $V_{n-1}$ литров сока, то после отливания 10 л смеси (что составляет $\frac{10}{100} = \frac{1}{10}$ часть от общего объема), количество сока уменьшается на $\frac{1}{10}$ и становится равным: $V_n = V_{n-1} - \frac{1}{10} V_{n-1} = V_{n-1} \times (1 - 0.1) = 0.9 \times V_{n-1}$

Количество сока в бочке после $n$ операций образует геометрическую прогрессию с первым членом $V_0 = 100$ и знаменателем $q = 0.9$. Формула для $n$-го члена этой прогрессии: $V_n = V_0 \times q^n = 100 \times (0.9)^n$

Проверка возможности получения 72,9 л сока: Нам нужно выяснить, существует ли такое целое число операций $n$, при котором объем сока станет равен 72,9 л. Подставим это значение в нашу формулу: $72.9 = 100 \times (0.9)^n$

Решим это уравнение относительно $n$: $(0.9)^n = \frac{72.9}{100}$ $(0.9)^n = 0.729$

Вычислим несколько степеней числа 0.9: $(0.9)^1 = 0.9$ $(0.9)^2 = 0.81$ $(0.9)^3 = 0.81 \times 0.9 = 0.729$

Мы получили, что $(0.9)^n = (0.9)^3$, следовательно, $n=3$. Поскольку мы нашли целое положительное значение $n$, это означает, что требуемое количество сока можно получить. Это произойдет ровно после третьей операции.

Ответ: Да, можно. Это будет достигнуто в результате трех таких операций.

2. Из бочки, содержащей 100 л сока, отливают 1 л сока и вливают в неё 1 л воды. Перемешав полученную смесь, из бочки отливают 1 л смеси и опять вливают в неё 1 л воды, и так делают неоднократно. Можно ли в результате таких операций получить смесь, содержащую 50 л сока?

Для решения этой задачи давайте проанализируем, как изменяется количество сока в бочке после каждой операции. Пусть $V_n$ — это объем сока (в литрах) в бочке после $n$-ой операции. Изначально в бочке 100 литров сока, то есть $V_0 = 100$. Общий объем жидкости в бочке всегда остается равным 100 л.

После первой операции из бочки отливают 1 л чистого сока. В бочке остается $100 - 1 = 99$ л сока. Затем вливают 1 л воды. Таким образом, объем сока в бочке составляет $V_1 = 99$ л.

Перед второй операцией в бочке находится 100 л смеси, из которых 99 л — это сок. Концентрация сока в смеси составляет $\frac{99}{100}$. Когда из бочки отливают 1 л смеси, количество отлитого сока равно $1 \text{ л} \times \frac{99}{100} = 0.99$ л. Количество сока, оставшегося в бочке, будет $V_2 = 99 - 0.99 = 98.01$ л.

Можно заметить общую закономерность. Если после $(n-1)$-ой операции в бочке было $V_{n-1}$ литров сока, то его концентрация составляла $\frac{V_{n-1}}{100}$. На $n$-ом шаге отливают 1 л смеси, то есть $\frac{V_{n-1}}{100}$ литров сока. Новый объем сока $V_n$ будет равен: $V_n = V_{n-1} - \frac{V_{n-1}}{100} = V_{n-1} \left(1 - \frac{1}{100}\right) = V_{n-1} \cdot \frac{99}{100}$.

Мы получили рекуррентную формулу для геометрической прогрессии. Зная начальный объем $V_0 = 100$, мы можем записать явную формулу для объема сока после $n$ операций: $V_n = V_0 \cdot \left(\frac{99}{100}\right)^n = 100 \cdot \left(\frac{99}{100}\right)^n$.

Теперь ответим на главный вопрос: существует ли такое целое число операций $n$, при котором объем сока станет равен 50 л? Для этого проверим, имеет ли целое решение уравнение: $V_n = 50$ $100 \cdot \left(\frac{99}{100}\right)^n = 50$

Разделим обе части уравнения на 100: $\left(\frac{99}{100}\right)^n = \frac{50}{100} = \frac{1}{2}$

Преобразуем уравнение, чтобы избавиться от дробей: $99^n = \frac{1}{2} \cdot 100^n$ $2 \cdot 99^n = 100^n$

Докажем, что это равенство невозможно для целого $n \ge 1$, используя разложение на простые множители.
Левая часть: $2 \cdot 99^n = 2 \cdot (3^2 \cdot 11)^n = 2^1 \cdot 3^{2n} \cdot 11^n$. Простые множители: 2, 3, 11.
Правая часть: $100^n = (2^2 \cdot 5^2)^n = 2^{2n} \cdot 5^{2n}$. Простые множители: 2, 5.

Согласно основной теореме арифметики, разложение любого натурального числа на простые множители единственно. Чтобы равенство выполнялось, наборы простых множителей в обеих частях должны быть идентичны. Однако в разложении левой части есть множители 3 и 11, которых нет в правой. А в правой части есть множитель 5, которого нет в левой. Это противоречие означает, что равенство не может быть верным ни для какого натурального числа $n$.

Ответ: Нет, в результате таких операций невозможно получить смесь, содержащую ровно 50 л сока.

3. a) При каком наибольшем натуральном числе $n$ число $10!$ делится на $n^n$? ($10! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots 9 \cdot 10$.)

б) При каком наименьшем натуральном числе $n$ число $10!$ не делится на $n^n$?

а) При каком наибольшем натуральном числе n число 10! делится на nⁿ?

Нам необходимо найти наибольшее натуральное число n, для которого $10!$ делится на $n^n$. Число $10!$ представляет собой произведение всех натуральных чисел от 1 до 10: $10! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10$.

Для решения задачи разложим $10!$ на простые множители. Простыми числами, не превосходящими 10, являются 2, 3, 5, 7. Найдем степень каждого простого множителя в разложении $10!$ с помощью формулы Лежандра $E_p(k!) = \sum_{i=1}^{\infty} \lfloor \frac{k}{p^i} \rfloor$.

• Степень 2: $E_2(10!) = \lfloor \frac{10}{2} \rfloor + \lfloor \frac{10}{4} \rfloor + \lfloor \frac{10}{8} \rfloor = 5 + 2 + 1 = 8$.
• Степень 3: $E_3(10!) = \lfloor \frac{10}{3} \rfloor + \lfloor \frac{10}{9} \rfloor = 3 + 1 = 4$.
• Степень 5: $E_5(10!) = \lfloor \frac{10}{5} \rfloor = 2$.
• Степень 7: $E_7(10!) = \lfloor \frac{10}{7} \rfloor = 1$.

Таким образом, каноническое разложение числа $10!$ на простые множители имеет вид: $10! = 2^8 \cdot 3^4 \cdot 5^2 \cdot 7^1$.

Теперь будем проверять условие делимости $10!$ на $n^n$ для различных натуральных n. Так как мы ищем наибольшее значение n, начнем проверку с бо́льших чисел. Очевидно, что $n \le 10$, поскольку если $n > 10$, то n не является делителем $10!$, а значит и $n^n$ тем более.

• При n=10: нужно проверить, делится ли $10!$ на $10^{10} = (2 \cdot 5)^{10} = 2^{10} \cdot 5^{10}$. Степень 5 в разложении $10!$ равна 2, что меньше 10. Условие не выполняется.
• При n=9: нужно проверить, делится ли $10!$ на $9^9 = (3^2)^9 = 3^{18}$. Степень 3 в разложении $10!$ равна 4, что меньше 18. Условие не выполняется.
• При n=8: нужно проверить, делится ли $10!$ на $8^8 = (2^3)^8 = 2^{24}$. Степень 2 в разложении $10!$ равна 8, что меньше 24. Условие не выполняется.
• При n=7: нужно проверить, делится ли $10!$ на $7^7$. Степень 7 в разложении $10!$ равна 1, что меньше 7. Условие не выполняется.
• При n=6: нужно проверить, делится ли $10!$ на $6^6 = (2 \cdot 3)^6 = 2^6 \cdot 3^6$. Степень 3 в разложении $10!$ равна 4, что меньше 6. Условие не выполняется.
• При n=5: нужно проверить, делится ли $10!$ на $5^5$. Степень 5 в разложении $10!$ равна 2, что меньше 5. Условие не выполняется.
• При n=4: нужно проверить, делится ли $10!$ на $4^4 = (2^2)^4 = 2^8$. Степень 2 в разложении $10!$ равна 8. Так как $8 \ge 8$, условие выполняется.

Мы ищем наибольшее n. Мы установили, что для $n=4$ условие выполняется, а для всех целых n от 5 до 10 — нет. Следовательно, наибольшее такое число — это 4.

Ответ: 4.

б) При каком наименьшем натуральном числе n число 10! не делится на nⁿ?

Нам необходимо найти наименьшее натуральное число n, для которого $10!$ не делится на $n^n$. Для этого будем последовательно проверять натуральные числа n, начиная с 1. Воспользуемся разложением числа $10!$ на простые множители из пункта а): $10! = 2^8 \cdot 3^4 \cdot 5^2 \cdot 7^1$.

• При n=1: $n^n = 1^1 = 1$. Любое натуральное число делится на 1, поэтому $10!$ делится на $1^1$.
• При n=2: $n^n = 2^2$. Степень 2 в разложении $10!$ равна 8, а $8 \ge 2$. Следовательно, $10!$ делится на $2^2$.
• При n=3: $n^n = 3^3$. Степень 3 в разложении $10!$ равна 4, а $4 \ge 3$. Следовательно, $10!$ делится на $3^3$.
• При n=4: $n^n = 4^4 = (2^2)^4 = 2^8$. Степень 2 в разложении $10!$ равна 8, а $8 \ge 8$. Следовательно, $10!$ делится на $4^4$.
• При n=5: $n^n = 5^5$. Степень 5 в разложении $10!$ равна 2. Так как $2 < 5$, число $10!$ не может делиться на $5^5$.

Мы нашли первое натуральное число $n=5$, для которого условие делимости не выполняется. Следовательно, 5 и есть искомое наименьшее натуральное число.

Ответ: 5.

4. Обыкновенную дробь с числителем 1 называют аликвотной дробью. Например, дроби $ \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4} $ — аликвотные дроби.

а) Сколькими различными способами, не учитывая порядка слагаемых, можно представить дробь $ \frac{1}{6} $ в виде суммы двух аликвотных дробей, знаменатели которых — различные числа?

б) Придумайте способ записи аликвотной дроби в виде суммы двух аликвотных дробей. Рассмотрите случаи: знаменатель дроби — простое число; знаменатель дроби — составное число.

а)

Требуется найти количество способов представить дробь $ \frac{1}{6} $ в виде суммы двух аликвотных дробей с различными знаменателями. Пусть эти дроби $ \frac{1}{x} $ и $ \frac{1}{y} $, где $x$ и $y$ — различные натуральные числа. Так как порядок слагаемых не важен, будем считать, что $ x < y $.

Запишем уравнение:
$ \frac{1}{6} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} $

Приведём правую часть к общему знаменателю:
$ \frac{1}{6} = \frac{x+y}{xy} $
Из этого следует:
$ xy = 6(x+y) $
$ xy - 6x - 6y = 0 $

Это уравнение можно преобразовать, чтобы разложить на множители. Для этого прибавим к обеим частям $36$:
$ xy - 6x - 6y + 36 = 36 $
$ x(y-6) - 6(y-6) = 36 $
$ (x-6)(y-6) = 36 $

Поскольку $ \frac{1}{x} < \frac{1}{6} $ и $ \frac{1}{y} < \frac{1}{6} $, то $ x > 6 $ и $ y > 6 $. Это означает, что $x-6$ и $y-6$ являются натуральными числами. Из условия $ x < y $ следует, что $ x-6 < y-6 $.

Теперь задача сводится к поиску пар натуральных множителей числа 36, которые мы обозначим как $a = x-6$ и $b = y-6$, при условии $a < b$.
Найдем все такие пары $(a, b)$:
1) $a=1, b=36$. Тогда $x=a+6=7$, $y=b+6=42$. Решение: $ \frac{1}{6} = \frac{1}{7} + \frac{1}{42} $.
2) $a=2, b=18$. Тогда $x=a+6=8$, $y=b+6=24$. Решение: $ \frac{1}{6} = \frac{1}{8} + \frac{1}{24} $.
3) $a=3, b=12$. Тогда $x=a+6=9$, $y=b+6=18$. Решение: $ \frac{1}{6} = \frac{1}{9} + \frac{1}{18} $.
4) $a=4, b=9$. Тогда $x=a+6=10$, $y=b+6=15$. Решение: $ \frac{1}{6} = \frac{1}{10} + \frac{1}{15} $.

Других пар множителей, удовлетворяющих условию $a < b$, нет (случай $a=6, b=6$ привел бы к $x=y$, что противоречит условию). Таким образом, существует 4 различных способа.

Ответ: 4.

б)

Требуется придумать способ записи аликвотной дроби $ \frac{1}{n} $ в виде суммы двух других аликвотных дробей.

Универсальным способом, который подходит для любого натурального $ n > 1 $, является использование следующего тождества:
$ \frac{1}{n} = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n(n+1)} $
Проверим справедливость этого тождества, приведя правую часть к общему знаменателю:
$ \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n(n+1)} = \frac{n}{n(n+1)} + \frac{1}{n(n+1)} = \frac{n+1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} $
Знаменатели $ x=n+1 $ и $ y=n(n+1) $ всегда будут различными натуральными числами при $ n > 1 $.

Рассмотрим этот способ для указанных случаев.

Случай, когда знаменатель дроби — простое число.
Пусть знаменатель $ n=p $, где $p$ — простое число. Применяя предложенный способ, получаем:
$ \frac{1}{p} = \frac{1}{p+1} + \frac{1}{p(p+1)} $
Например, для простого числа $p=3$: $ \frac{1}{3} = \frac{1}{3+1} + \frac{1}{3(3+1)} = \frac{1}{4} + \frac{1}{12} $.

Случай, когда знаменатель дроби — составное число.
Пусть знаменатель $ n=c $, где $c$ — составное число. Способ также работает:
$ \frac{1}{c} = \frac{1}{c+1} + \frac{1}{c(c+1)} $
Например, для составного числа $c=6$: $ \frac{1}{6} = \frac{1}{6+1} + \frac{1}{6(6+1)} = \frac{1}{7} + \frac{1}{42} $.
Для составных чисел могут существовать и другие разложения (как было показано в пункте а), но предложенный способ является наиболее простым и универсальным.

Ответ: Способ заключается в использовании тождества $ \frac{1}{n} = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n(n+1)} $, которое справедливо для любого натурального $ n > 1 $. Этот способ применим как для дробей с простыми, так и с составными знаменателями.

Сколькими различными способами, не учитывая порядка слагаемых, можно представить дробь $\frac{1}{25}$ в виде суммы двух различных аликвотных дробей?

Пусть искомые различные аликвотные дроби (дроби вида $1/n$) равны $1/x$ и $1/y$, где $x$ и $y$ — различные натуральные числа ($x \ne y$). По условию, их сумма равна $1/25$:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{25}$

Поскольку в задаче указано не учитывать порядок слагаемых, пара решений $(x, y)$ и $(y, x)$ считается за один способ. Для определенности будем считать, что $x < y$.

Преобразуем исходное уравнение. Приведем дроби в левой части к общему знаменателю:

$\frac{x+y}{xy} = \frac{1}{25}$

Используя основное свойство пропорции, получаем:

$25(x+y) = xy$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

$xy - 25x - 25y = 0$

Для того чтобы разложить левую часть на множители, прибавим к обеим частям уравнения число $25 \cdot 25 = 625$:

$xy - 25x - 25y + 625 = 625$

Теперь сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:

$x(y - 25) - 25(y - 25) = 625$

$(x - 25)(y - 25) = 625$

Так как $x$ и $y$ являются натуральными числами, то множители $(x - 25)$ и $(y - 25)$ должны быть целыми числами. Из исходного равенства $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{25}$ и того факта, что $x$ и $y$ — натуральные, следует, что $\frac{1}{x} < \frac{1}{25}$ и $\frac{1}{y} < \frac{1}{25}$. Это означает, что $x > 25$ и $y > 25$.

Следовательно, $(x - 25)$ и $(y - 25)$ являются натуральными числами, произведение которых равно 625. Нам нужно найти все пары таких натуральных чисел.

Найдем все натуральные делители числа 625. Так как $625 = 5^4$, его делителями являются числа 1, 5, 25, 125, 625.

Пусть $A = x - 25$ и $B = y - 25$. Тогда $A \cdot B = 625$. Из нашего предположения $x < y$ следует, что $x - 25 < y - 25$, то есть $A < B$. Найдем все пары натуральных делителей $(A, B)$ числа 625, для которых выполняется это условие:

• Пара 1: $A = 1, B = 625$.
  Тогда $x = A + 25 = 1 + 25 = 26$, а $y = B + 25 = 625 + 25 = 650$.
  Получаем первое решение: $\frac{1}{26} + \frac{1}{650} = \frac{1}{25}$.
• Пара 2: $A = 5, B = 125$.
  Тогда $x = A + 25 = 5 + 25 = 30$, а $y = B + 25 = 125 + 25 = 150$.
  Получаем второе решение: $\frac{1}{30} + \frac{1}{150} = \frac{1}{25}$.

Следующая возможная пара делителей — $A = 25, B = 25$. Однако в этом случае $A = B$, что привело бы к $x = y = 50$. Это противоречит условию, что аликвотные дроби должны быть различными. Других пар делителей с условием $A < B$ нет.

Таким образом, существует ровно два различных способа представить дробь $\frac{1}{25}$ в виде суммы двух различных аликвотных дробей.

Ответ: 2

6. Сколькими различными способами, не учитывая порядка слагаемых, можно представить дробь $\frac{1}{12}$ в виде суммы двух аликвотных дробей с разными знаменателями?

Пусть искомое представление дроби $\frac{1}{12}$ в виде суммы двух аликвотных дробей с разными знаменателями имеет вид: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12}$, где $x$ и $y$ — натуральные числа и $x \neq y$.

Поскольку порядок слагаемых не имеет значения, для получения уникальных пар слагаемых мы можем принять, что $x < y$.

Выразим $y$ из исходного уравнения:
$\frac{1}{y} = \frac{1}{12} - \frac{1}{x}$
$\frac{1}{y} = \frac{x - 12}{12x}$
$y = \frac{12x}{x - 12}$

Чтобы $y$ было целым числом, знаменатель $x - 12$ должен быть делителем числителя $12x$. Для удобства анализа преобразуем это выражение:
$y = \frac{12(x - 12) + 144}{x - 12} = \frac{12(x - 12)}{x - 12} + \frac{144}{x - 12} = 12 + \frac{144}{x - 12}$

Из полученной формулы видно, что $y$ будет натуральным числом тогда и только тогда, когда выражение $x - 12$ является натуральным делителем числа 144. Обозначим $d = x - 12$. Поскольку $\frac{1}{y} > 0$, то $\frac{1}{12} - \frac{1}{x} > 0$, откуда $x > 12$. Следовательно, $d$ — натуральное число.

Наше условие $x < y$ теперь можно переписать через $d$:
$x < 12 + \frac{144}{x-12}$
$x - 12 < \frac{144}{x-12}$
$d < \frac{144}{d}$
$d^2 < 144$
$d < 12$ (поскольку $d$ — натуральное число).

Таким образом, задача сводится к нахождению количества натуральных делителей числа 144, которые строго меньше 12.

Найдём все делители числа 144: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 36, 48, 72, 144.

Выберем из них те, которые меньше 12: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9.

Всего таких делителей 7. Каждому из этих семи значений $d = x - 12$ соответствует одно уникальное решение $(x,y)$ с разными знаменателями, где $x < y$. Например, для $d=1$ имеем $x=13$ и $y=12+\frac{144}{1}=156$, что дает сумму $\frac{1}{13}+\frac{1}{156}=\frac{1}{12}$. Остальные 6 решений находятся аналогично.

Случай $d=12$ привел бы к $x=y=24$, что противоречит условию о разных знаменателях. Случаи $d>12$ привели бы к $x>y$, что является повторением уже найденных пар слагаемых, но в другом порядке.

Следовательно, существует ровно 7 различных способов.

Ответ: 7

7. Найдите все пары натуральных чисел $m$ и $n$, удовлетворяющие уравнению $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{1}{12}$, если одно из чисел чётное, а другое нечётное.

Дано уравнение $ \frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{1}{12} $, где $m$ и $n$ — натуральные числа, причем одно из них четное, а другое нечетное.

Преобразуем исходное уравнение. Приведем левую часть к общему знаменателю:

$ \frac{m+n}{mn} = \frac{1}{12} $

Используя свойство пропорции (перекрестное умножение), получаем:

$ 12(m+n) = mn $

Перенесем все члены в одну сторону и преобразуем уравнение, чтобы его можно было разложить на множители:

$ mn - 12m - 12n = 0 $

Для применения метода группировки прибавим к обеим частям уравнения $144$:

$ mn - 12m - 12n + 144 = 144 $

Теперь сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:

$ m(n-12) - 12(n-12) = 144 $

$ (m-12)(n-12) = 144 $

Поскольку $m$ и $n$ — натуральные числа, $ \frac{1}{m} > 0 $ и $ \frac{1}{n} > 0 $. Из исходного уравнения $ \frac{1}{m} < \frac{1}{12} $ и $ \frac{1}{n} < \frac{1}{12} $. Отсюда следует, что $ m > 12 $ и $ n > 12 $.

Таким образом, множители $ (m-12) $ и $ (n-12) $ являются натуральными числами, и их произведение равно 144.

По условию задачи, одно из чисел ($m$ или $n$) — четное, а другое — нечетное.

Рассмотрим четность множителей $m-12$ и $n-12$. Поскольку 12 — четное число, то:

- если $m$ четное, то $m-12$ четное;

- если $m$ нечетное, то $m-12$ нечетное.

Аналогично для $n$ и $n-12$. Следовательно, из условия задачи вытекает, что один из множителей ($m-12$ или $n-12$) должен быть четным, а другой — нечетным.

Разложим число 144 на простые множители: $ 144 = 12^2 = (2^2 \cdot 3)^2 = 2^4 \cdot 3^2 $.

Чтобы произведение двух натуральных чисел было равно 144, и при этом один множитель был нечетным, а другой четным, нечетный множитель должен состоять только из нечетных простых делителей числа 144, а четный — должен содержать все множители 2.

Нечетные делители числа 144 — это делители числа $3^2=9$. Такими делителями являются 1, 3, 9.

Рассмотрим все возможные пары множителей (один нечетный, другой четный), произведение которых равно 144.

1. Пусть один множитель равен 1. Тогда второй равен $144/1 = 144$. Это дает нам две пары для $ (m-12, n-12) $: (1, 144) и (144, 1).

- Если $m-12=1$ и $n-12=144$, то $m=13$ (нечетное) и $n=156$ (четное).

- Если $m-12=144$ и $n-12=1$, то $m=156$ (четное) и $n=13$ (нечетное).

Получаем пары решений: (13, 156) и (156, 13).

2. Пусть один множитель равен 3. Тогда второй равен $144/3 = 48$. Это дает нам две пары для $ (m-12, n-12) $: (3, 48) и (48, 3).

- Если $m-12=3$ и $n-12=48$, то $m=15$ (нечетное) и $n=60$ (четное).

- Если $m-12=48$ и $n-12=3$, то $m=60$ (четное) и $n=15$ (нечетное).

Получаем пары решений: (15, 60) и (60, 15).

3. Пусть один множитель равен 9. Тогда второй равен $144/9 = 16$. Это дает нам две пары для $ (m-12, n-12) $: (9, 16) и (16, 9).

- Если $m-12=9$ и $n-12=16$, то $m=21$ (нечетное) и $n=28$ (четное).

- Если $m-12=16$ и $n-12=9$, то $m=28$ (четное) и $n=21$ (нечетное).

Получаем пары решений: (21, 28) и (28, 21).

Других нечетных делителей у числа 144 нет, следовательно, мы нашли все возможные решения.

Ответ: (13, 156), (156, 13), (15, 60), (60, 15), (21, 28), (28, 21).

8. Учитель хочет составить несколько вариантов задачи на совместную работу: «Первая бригада может выполнить задание за $a$ дней, а вторая — за $b$ дней. За сколько дней они выполнят это задание при совместной работе?» При этом он хочет, чтобы в каждом варианте был один и тот же ответ — «за 24 дня». Сколько различных вариантов задачи он может составить, если $a > b$?

Пусть вся работа равна 1. Тогда производительность первой бригады равна $P_1 = 1/a$ (часть работы в день), а производительность второй бригады — $P_2 = 1/b$ (часть работы в день).

При совместной работе их производительности складываются, и общая производительность составляет $P_{общ} = P_1 + P_2 = 1/a + 1/b$.

Время $t$, необходимое для выполнения всей работы совместно, определяется по формуле $t = 1 / P_{общ}$. По условию задачи, это время равно 24 дням. Таким образом, мы получаем уравнение:

$24 = \frac{1}{1/a + 1/b}$

Преобразуем это уравнение:

$\frac{1}{24} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю:

$\frac{1}{24} = \frac{a+b}{ab}$

Отсюда следует:

$ab = 24(a+b)$

$ab - 24a - 24b = 0$

Для решения этого уравнения в целых числах применим метод разложения на множители. Прибавим к обеим частям уравнения $24 \cdot 24 = 576$:

$ab - 24a - 24b + 576 = 576$

Теперь левую часть можно сгруппировать и разложить на множители:

$a(b - 24) - 24(b - 24) = 576$

$(a - 24)(b - 24) = 576$

Поскольку $a$ и $b$ — это количество дней, они должны быть натуральными числами. Из уравнения $\frac{1}{24} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ следует, что $\frac{1}{a} < \frac{1}{24}$ и $\frac{1}{b} < \frac{1}{24}$, так как оба слагаемых положительны. Это означает, что $a > 24$ и $b > 24$.

Следовательно, множители $(a - 24)$ и $(b - 24)$ являются натуральными числами. Наша задача свелась к тому, чтобы найти все пары натуральных чисел, произведение которых равно 576.

Также в условии сказано, что $a > b$. Это означает, что $a - 24 > b - 24$.

Таким образом, нам нужно найти количество пар делителей числа 576, таких что один делитель больше другого. Найдем все делители числа 576. Для этого разложим его на простые множители:

$576 = 24^2 = (8 \cdot 3)^2 = (2^3 \cdot 3)^2 = 2^6 \cdot 3^2$

Количество всех натуральных делителей числа 576 равно $(6+1)(2+1) = 7 \cdot 3 = 21$.

Эти 21 делитель можно разбить на пары, произведение в которых дает 576. Один из делителей — это $\sqrt{576} = 24$. Он образует пару сам с собой: $24 \cdot 24 = 576$. В этом случае мы бы получили $a - 24 = 24$ и $b - 24 = 24$, что дает $a = 48$ и $b = 48$. Этот вариант не удовлетворяет строгому неравенству $a > b$.

Оставшиеся $21 - 1 = 20$ делителей образуют $20 / 2 = 10$ пар. В каждой такой паре один множитель будет меньше другого. Если мы положим $a - 24$ равным большему множителю, а $b - 24$ — меньшему, то условие $a > b$ будет выполнено автоматически.

Каждая такая пара дает уникальный вариант задачи. Например:

$1 \cdot 576 = 576 \implies b-24=1, a-24=576 \implies b=25, a=600$.

$2 \cdot 288 = 576 \implies b-24=2, a-24=288 \implies b=26, a=312$.

$...$

$18 \cdot 32 = 576 \implies b-24=18, a-24=32 \implies b=42, a=56$.

Общее количество таких пар равно 10. Следовательно, учитель может составить 10 различных вариантов задачи.

Ответ: 10