Номер 1, страница 269 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Задания на исследование. Глава 3. Линейные уравнения - номер 1, страница 269.

Условие.

1. Из бочки, содержащей 100 л сока, отливают 10 л сока и вливают в неё 10 л воды. Перемешав полученную смесь, из бочки отливают 10 л смеси и опять вливают в неё 10 л воды, и так делают неоднократно. Можно ли в результате таких операций получить смесь, содержащую 72,9 л сока?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Для решения задачи проследим за изменением количества сока в бочке после каждой операции. Общий объем жидкости в бочке всегда остается равным 100 л, так как 10 л отливают и 10 л вливают.

Пусть $V_n$ — объем сока в бочке после $n$-ой операции. Изначально, при $n=0$, в бочке было 100 л сока, то есть $V_0 = 100$ л.

Шаг 1. Первая операция ($n=1$): Из бочки отливают 10 л чистого сока. Остается $100 - 10 = 90$ л сока. Затем вливают 10 л воды. Количество сока не меняется. Таким образом, после первой операции в бочке $V_1 = 90$ л сока.

Шаг 2. Вторая операция ($n=2$): Перед второй операцией в бочке находится смесь из 90 л сока и 10 л воды. Концентрация сока в смеси составляет $\frac{90 \text{ л}}{100 \text{ л}} = 0.9$. Когда отливают 10 л смеси, количество отлитого сока составляет $10 \text{ л} \times 0.9 = 9$ л. Количество сока, оставшееся в бочке: $90 - 9 = 81$ л. После вливания 10 л воды, объем сока не меняется. Таким образом, после второй операции в бочке $V_2 = 81$ л сока.

Общая формула: Заметим, что после каждой операции количество сока умножается на один и тот же коэффициент. Если перед операцией в бочке было $V_{n-1}$ литров сока, то после отливания 10 л смеси (что составляет $\frac{10}{100} = \frac{1}{10}$ часть от общего объема), количество сока уменьшается на $\frac{1}{10}$ и становится равным: $V_n = V_{n-1} - \frac{1}{10} V_{n-1} = V_{n-1} \times (1 - 0.1) = 0.9 \times V_{n-1}$

Количество сока в бочке после $n$ операций образует геометрическую прогрессию с первым членом $V_0 = 100$ и знаменателем $q = 0.9$. Формула для $n$-го члена этой прогрессии: $V_n = V_0 \times q^n = 100 \times (0.9)^n$

Проверка возможности получения 72,9 л сока: Нам нужно выяснить, существует ли такое целое число операций $n$, при котором объем сока станет равен 72,9 л. Подставим это значение в нашу формулу: $72.9 = 100 \times (0.9)^n$

Решим это уравнение относительно $n$: $(0.9)^n = \frac{72.9}{100}$ $(0.9)^n = 0.729$

Вычислим несколько степеней числа 0.9: $(0.9)^1 = 0.9$ $(0.9)^2 = 0.81$ $(0.9)^3 = 0.81 \times 0.9 = 0.729$

Мы получили, что $(0.9)^n = (0.9)^3$, следовательно, $n=3$. Поскольку мы нашли целое положительное значение $n$, это означает, что требуемое количество сока можно получить. Это произойдет ровно после третьей операции.

Ответ: Да, можно. Это будет достигнуто в результате трех таких операций.