Номер 1128, страница 268 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Текстовые задачи. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 1128, страница 268.

Условие.

1128. Если разделить двухзначное число на сумму его цифр, то получится частное 6 и остаток 3. Если же разделить это число на сумму его цифр, увеличенную на 2, то получится частное 5 и остаток 5. Найдите это двухзначное число.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Пусть искомое двузначное число можно представить в виде $10a + b$, где $a$ — цифра десятков ($a \in \{1, 2, ..., 9\}$), а $b$ — цифра единиц ($b \in \{0, 1, ..., 9\}$). Сумма его цифр равна $a + b$.

Из первого условия задачи следует, что при делении числа $10a + b$ на сумму его цифр $a + b$ получается частное 6 и остаток 3. Это можно записать в виде равенства, основанного на правиле деления с остатком:

$10a + b = 6(a + b) + 3$

Раскроем скобки и упростим это уравнение:

$10a + b = 6a + 6b + 3$

$10a - 6a = 6b - b + 3$

$4a = 5b + 3$ (1)

Из второго условия следует, что при делении числа $10a + b$ на сумму его цифр, увеличенную на 2, то есть на $(a + b + 2)$, получается частное 5 и остаток 5. Составим второе уравнение:

$10a + b = 5(a + b + 2) + 5$

Раскроем скобки и упростим:

$10a + b = 5a + 5b + 10 + 5$

$10a + b = 5a + 5b + 15$

$10a - 5a = 5b - b + 15$

$5a = 4b + 15$ (2)

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} 4a = 5b + 3 \\ 5a = 4b + 15 \end{cases}$

Для решения системы выразим $a$ из первого уравнения:

$a = \frac{5b + 3}{4}$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$5 \left( \frac{5b + 3}{4} \right) = 4b + 15$

Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от дроби:

$5(5b + 3) = 4(4b + 15)$

$25b + 15 = 16b + 60$

Перенесем переменные в одну сторону, а константы в другую:

$25b - 16b = 60 - 15$

$9b = 45$

$b = \frac{45}{9} = 5$

Теперь найдем значение $a$, подставив $b = 5$ в выражение для $a$:

$a = \frac{5 \cdot 5 + 3}{4} = \frac{25 + 3}{4} = \frac{28}{4} = 7$

Таким образом, цифра десятков $a = 7$, а цифра единиц $b = 5$. Искомое двузначное число равно $10 \cdot 7 + 5 = 75$.

Выполним проверку:

1. Сумма цифр числа 75 равна $7 + 5 = 12$. Делим 75 на 12: $75 = 6 \cdot 12 + 3$. Частное 6, остаток 3. Условие выполнено.

2. Сумма цифр, увеличенная на 2, равна $12 + 2 = 14$. Делим 75 на 14: $75 = 5 \cdot 14 + 5$. Частное 5, остаток 5. Условие выполнено.

Ответ: 75