Номер 1121, страница 267 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Текстовые задачи. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 1121, страница 267.

Условие.

1121. Путник вышел из пункта А в пункт В. Первую половину времени, затраченного им на переход, он шёл со скоростью 5 км/ч, а затем пошёл со скоростью 4 км/ч. Второй путник вышел из пункта А в пункт В одновременно с первым, но он половину пути шёл со скоростью 4 км/ч, а затем пошёл со скоростью 5 км/ч. Кто из путников раньше пришёл в пункт В?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Для решения этой задачи нам нужно сравнить общее время, которое каждый путник затратил на дорогу из пункта А в пункт В. Обозначим общее расстояние от А до В как $S$.

1. Расчет времени для первого путника

Первый путник первую половину времени своего пути шел со скоростью $v_1 = 5$ км/ч, а вторую половину времени — со скоростью $v_2 = 4$ км/ч.
Пусть общее время в пути для первого путника равно $T_1$. Тогда первую половину времени, $\frac{T_1}{2}$, он шел со скоростью 5 км/ч, а вторую половину, $\frac{T_1}{2}$, — со скоростью 4 км/ч.
Расстояние, пройденное за первую половину времени: $S_1 = v_1 \cdot \frac{T_1}{2} = 5 \cdot \frac{T_1}{2}$.
Расстояние, пройденное за вторую половину времени: $S_2 = v_2 \cdot \frac{T_1}{2} = 4 \cdot \frac{T_1}{2}$.
Общее расстояние $S$ равно сумме этих двух расстояний:
$S = S_1 + S_2 = 5 \frac{T_1}{2} + 4 \frac{T_1}{2} = (5+4)\frac{T_1}{2} = \frac{9}{2}T_1$.
Отсюда мы можем выразить время $T_1$ через расстояние $S$:
$T_1 = \frac{2S}{9}$.
Также можно найти среднюю скорость первого путника. Средняя скорость — это общее расстояние, деленное на общее время:
$\bar{v}_1 = \frac{S}{T_1} = \frac{(v_1+v_2)/2 \cdot T_1}{T_1} = \frac{v_1+v_2}{2} = \frac{5+4}{2} = 4.5$ км/ч.

2. Расчет времени для второго путника

Второй путник первую половину пути шел со скоростью $v_2 = 4$ км/ч, а вторую половину пути — со скоростью $v_1 = 5$ км/ч.
Общее расстояние равно $S$. Первую половину пути, $\frac{S}{2}$, он шел со скоростью 4 км/ч, а вторую половину, $\frac{S}{2}$, — со скоростью 5 км/ч.
Время, затраченное на первую половину пути: $t_1 = \frac{S/2}{v_2} = \frac{S/2}{4} = \frac{S}{8}$ ч.
Время, затраченное на вторую половину пути: $t_2 = \frac{S/2}{v_1} = \frac{S/2}{5} = \frac{S}{10}$ ч.
Общее время в пути для второго путника $T_2$ равно сумме этих двух времен:
$T_2 = t_1 + t_2 = \frac{S}{8} + \frac{S}{10}$.
Приведем дроби к общему знаменателю (40):
$T_2 = \frac{5S}{40} + \frac{4S}{40} = \frac{9S}{40}$.
Средняя скорость второго путника:
$\bar{v}_2 = \frac{S}{T_2} = \frac{S}{9S/40} = \frac{40}{9} \approx 4.44$ км/ч.

3. Сравнение времени

Теперь сравним общее время, затраченное каждым путником.
Время первого путника: $T_1 = \frac{2S}{9}$.
Время второго путника: $T_2 = \frac{9S}{40}$.
Чтобы сравнить эти два выражения, нам нужно сравнить дроби $\frac{2}{9}$ и $\frac{9}{40}$. Приведем их к общему знаменателю $9 \cdot 40 = 360$:
$\frac{2}{9} = \frac{2 \cdot 40}{9 \cdot 40} = \frac{80}{360}$.
$\frac{9}{40} = \frac{9 \cdot 9}{40 \cdot 9} = \frac{81}{360}$.
Поскольку $\frac{80}{360} < \frac{81}{360}$, то и $T_1 < T_2$.
Это означает, что первый путник затратил на дорогу меньше времени, чем второй. Также можно было сравнить их средние скорости: средняя скорость первого путника $\bar{v}_1 = 4.5$ км/ч, а второго $\bar{v}_2 \approx 4.44$ км/ч. Так как $\bar{v}_1 > \bar{v}_2$, первый путник двигался в среднем быстрее и, следовательно, пришел раньше.

Ответ: Первый путник пришел в пункт В раньше.