Номер 1114, страница 266 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Текстовые задачи. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 1114, страница 266.

Условие.

1114. Старинная задача. Торговец, имея сотню лимонов, раздал их трём разносчикам, с тем чтобы они продавали их по одной и той же цене. Возвратясь домой, первый отдаёт хозяину вырученные от продажи 1 р. 80 к. и оставшиеся непроданными 4 лимона, второй отдаёт 1 р. 60 к. и 3 лимона, третий отдаёт 1 р. 20 к. и 1 лимон. Сколько лимонов дано было каждому для продажи?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Для решения этой задачи введем переменные и составим систему уравнений. Пусть $x_1$, $x_2$ и $x_3$ — количество лимонов, которое получил каждый из трёх разносчиков соответственно. По условию, общее количество лимонов равно 100, значит:

$x_1 + x_2 + x_3 = 100$

Все разносчики продавали лимоны по одной и той же цене, обозначим эту цену как $p$ копеек за один лимон. Переведем выручку каждого разносчика в копейки:

• Первый: 1 р. 80 к. = 180 копеек.
• Второй: 1 р. 60 к. = 160 копеек.
• Третий: 1 р. 20 к. = 120 копеек.

Теперь определим, сколько лимонов продал каждый разносчик:

• Первый разносчик получил $x_1$ лимонов и у него осталось 4. Значит, он продал $(x_1 - 4)$ лимонов.
• Второй разносчик получил $x_2$ лимонов и у него осталось 3. Значит, он продал $(x_2 - 3)$ лимона.
• Третий разносчик получил $x_3$ лимонов и у него остался 1. Значит, он продал $(x_3 - 1)$ лимон.

Составим уравнения, связывающие количество проданных лимонов, цену и выручку для каждого разносчика:

1. $(x_1 - 4) \cdot p = 180$
2. $(x_2 - 3) \cdot p = 160$
3. $(x_3 - 1) \cdot p = 120$

Из этих уравнений видно, что цена $p$ должна быть общим делителем чисел 180, 160 и 120. Найдем наибольший общий делитель (НОД) этих чисел:

НОД(180, 160, 120) = НОД(НОД(180, 160), 120) = НОД(20, 120) = 20.

Таким образом, возможные значения цены $p$ (в копейках) являются делителями числа 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20.

Проверим эти возможные значения цены, чтобы найти количество лимонов у каждого разносчика и проверить, сходится ли их сумма к 100.

Выразим количество проданных лимонов через цену $p$:

• Продано первым: $x_1 - 4 = 180/p$
• Продано вторым: $x_2 - 3 = 160/p$
• Продано третьим: $x_3 - 1 = 120/p$

Отсюда, начальное количество лимонов у каждого:

• $x_1 = 180/p + 4$
• $x_2 = 160/p + 3$
• $x_3 = 120/p + 1$

Подставим эти выражения в основное уравнение $x_1 + x_2 + x_3 = 100$:

$(180/p + 4) + (160/p + 3) + (120/p + 1) = 100$

$(180 + 160 + 120)/p + (4 + 3 + 1) = 100$

$460/p + 8 = 100$

$460/p = 92$

$p = 460 / 92$

$p = 5$

Мы нашли, что цена одного лимона составляет 5 копеек. Это значение является одним из делителей числа 20, так что оно допустимо.

Теперь, зная цену, найдем, сколько лимонов было у каждого разносчика:

• Первый разносчик: $x_1 = 180/5 + 4 = 36 + 4 = 40$ лимонов.
• Второй разносчик: $x_2 = 160/5 + 3 = 32 + 3 = 35$ лимонов.
• Третий разносчик: $x_3 = 120/5 + 1 = 24 + 1 = 25$ лимонов.

Проверим, равно ли общее количество лимонов 100:

$40 + 35 + 25 = 100$

Условие выполняется.

Ответ: Первому разносчику было дано 40 лимонов, второму — 35 лимонов, а третьему — 25 лимонов.